1、 安徽大学出版社安徽大学出版社 大学物理学 March 27, 2022Page1ANHUI UNIVERSITY 31 变力的功 功能定理 32 保守力与非保守力 势能 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 20222 31 变力的功 功能定理一、变力的功一、变力的功abOFrdsdrr 功功(work) 度量能量转换的基本物理量，度量能量转换的基本物理量， 描写力对空间积累作用描写力对空间积累作用. 定义：定义：力对质点所做的功为力在质点力对质点所做的功为力在质点 位移方向的分量与位移大小的乘
2、积。位移方向的分量与位移大小的乘积。sFrFrFAdcosddcosd元功元功(elementary work)*功的计算与具体过程相联系功的计算与具体过程相联系, , 功是一个过程量功是一个过程量. . 变力的总功：变力的总功：bababasFrFAAdcosdd 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 20223*合力的功等于各分力的功的代数和合力的功等于各分力的功的代数和niiniiArFA11ddd合力的元功合力的元功从从a到到b合力之功合力之功 niinibaibaniibaArFrFAA
3、111ddd单位单位(SI): 焦耳焦耳 (J)说明说明 (1) 功的计算与具体过程相联系功的计算与具体过程相联系, 功是功是过程量过程量, 不是不是状态量状态量, 表征表征力对空间的累积效应力对空间的累积效应. 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 20224 (2) 前式中涉及的位移是前式中涉及的位移是受力物体的位移受力物体的位移, 只有按此定只有按此定义义,才能得到后面的动能定理才能得到后面的动能定理. (3) 变力做功在直角坐标系中的数学表达式变力做功在直角坐标系中的数学表达式.bazyx
4、bazFyFxFrFAdddd(power)定义定义 单位时间内力所作的功称为功率单位时间内力所作的功称为功率(1) 平均功率平均功率tAP(2) 瞬时功率瞬时功率vFtrFtAtAPtddddlim0 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 20225功率的单位功率的单位(SI)：111W1WsJ秒焦耳瓦特瓦特 例例1 在一个深在一个深h=18m的坑里的坑里, 垂直垂直悬挂着一根长绳悬挂着一根长绳, 从从地面垂至坑底地面垂至坑底. 已知绳的质量线密度已知绳的质量线密度 =0.88kg/m, 试问试
5、问: 若若将此绳提到地面将此绳提到地面, 至少要做多少功至少要做多少功?yyh解解: 取如图坐标系取如图坐标系, ,绳运动到图示任意位绳运动到图示任意位置置y y 时时, ,所受重力所受重力(h - y)g . 要使做功最要使做功最少少, 作用于绳子的力刚好等于重力作用于绳子的力刚好等于重力, 通过通过dy距离时距离时, 元功为元功为: ygyhAd)(d 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 20226全部拉上绳子拉力所做的功至少为全部拉上绳子拉力所做的功至少为)(1040. 121d)(d32
6、0JghygyhAAh 例例2 质量为质量为2t 的卡车的卡车, 启动时在牵引力启动时在牵引力 的的作用下作用下, 自原点从静止开始沿自原点从静止开始沿 x 轴做直线运动轴做直线运动, 求在前求在前10s 内内牵引力所做的功牵引力所做的功.N1063tFx 解解: 由由 ttmFtx3102106dd33v得得 ttd3d v积分积分ttt0v0vd3d得得 25 . 1ddttxv所以牵引力前所以牵引力前10s10s做功为做功为: :tttd5 . 1dd2 vx 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March
7、27, 20227)(1025. 2d5 . 1106d710023JtttxFAx 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 20228二、动能定理二、动能定理 (theorem of kinetic energy)stmsFeseFeFAttnnttddddd)(dv在自然坐标系中在自然坐标系中, F 是作用在物体上的合力是作用在物体上的合力, 则则)21(ddddd2mvvvmvtsm从从 a 到到b 积分积分, 有有222121)21(ddabbammAAbavvmvvv2动能动能 (kine
8、tic energy)单位：焦耳单位：焦耳(J)2k21vmE 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 20229动能定理动能定理 合力对质点所作的功等于质点动能的增量合力对质点所作的功等于质点动能的增量. .kkakbEEEA221m2mimexiFiniF 研究质点系研究质点系, 对第对第i 个质点个质点运用动能定理运用动能定理,iaibiiiEEAAA(i)(e)内力功内力功外力功外力功求和求和, 有有kkakbiiiEEEAAA(i)(e)niniiaiibikakbkmmEEE112221
9、21vv动能增量动能增量 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202210质点系的动能定理质点系的动能定理 作用于质点系中各个质点上的外作用于质点系中各个质点上的外力和内力所做的功的代数和力和内力所做的功的代数和, ,等于质点系动能的增量等于质点系动能的增量. .注意注意1. 功是功是过程量过程量, 是能量变化的量度是能量变化的量度; 动能是动能是状态量状态量, 是是运动状态的单值函数运动状态的单值函数. 它们的单位和量纲相同它们的单位和量纲相同.2. 动能定理由牛顿第二定律导出动能定理由牛顿第
10、二定律导出, 只适用于只适用于惯性参考系惯性参考系, 动能也与参考系有关动能也与参考系有关. 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202211 例例1 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下端 , 绳的上端固定在天花板上. 起初把绳子放在与竖直线成60度角处, 然后放手使小球沿圆弧下落. 试求 绳与竖直线成 10度角时小球的速率 .PTsddl0v解解: 取如图所示中间时刻取如图所示中间时刻, , 小球受小球受拉力和重力作用拉力和重力作用, 则则:sPsTsFAddddspsPdco
11、sddsinmgl 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202212)cos(cosdsin00mglmglA由动能定理由动能定理2022121vvmmA得得)cos(cos20glv30,60 m,0 . 10l代入得代入得1sm)60cos30(cos0 . 18 . 92v1sm68. 2 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202213三、三、“一对力一对力” ” 的功的功 把作用力与反作
12、用力把作用力与反作用力, 更一般地更一般地, 把两个大小相等把两个大小相等, 方向相反方向相反, 在一条直线上的力称为在一条直线上的力称为“一对力一对力”.oijirdjrdijrdijfjifirjr研究如图的两质点系统研究如图的两质点系统, 相互作用力的元功为相互作用力的元功为:jjijiijirfArfAdd;dd其代数和其代数和jiAAAdddjjiiijrfrfddjiijff)(d)dd(djiijjiijrrfrrfAijijrfd 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202214
13、对于整个过程对于整个过程ijijrfAd物理意义物理意义 一对力的功等于以其中任一质点为参考系一对力的功等于以其中任一质点为参考系, 计计算它对另一个质点的作用力所做的功算它对另一个质点的作用力所做的功. 这说明一对力做这说明一对力做功与参考系无关功与参考系无关, 因此可选取最方便的参考系来计算一因此可选取最方便的参考系来计算一对力的功对力的功.常见的常见的“一对力一对力”的功的功一对正压力的功恒为零一对正压力的功恒为零. (更普遍的更普遍的, 无相对位移或相无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况对位移与一对力垂直的情况)一对静摩擦力的功恒为零一对静摩擦力的功恒为零.一对滑动摩擦力的功恒为负一
14、对滑动摩擦力的功恒为负. 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202215 32 保守力与非保守力 势能一、重力一、重力(gravity)所做的功所做的功baayPoxyzbyrd以地球为参考系以地球为参考系jmgPkzj yi xrddddymgrPAbayybadd )(abyymg二、万有引力二、万有引力(gravitation)所做的功所做的功以质点以质点M为参考系为参考系, , 如图如图万有引力的元功可写为万有引力的元功可写为: :OMmFrarbrabrd 大学物理学Page 第三章
15、第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202216rFrFrFrFAdcosdcosdddrrMmGF3rrMmGAdd2abrrrMmGrMmGrrGMmAba2d三、弹性力三、弹性力(elastic work)所做的功所做的功XOabxcaxbxd 建立如图所建立如图所示坐标系示坐标系, , 弹性弹性力的元功可写为力的元功可写为: : 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202217xkxi xikxi xFAd)d()
16、()d(d222221212121ddabbaxxbakxkxkxkxxkxAAba四、摩擦力所做的功四、摩擦力所做的功以地面为参考系以地面为参考系, , 元功元功: :sfrfrfAdcosdddabbafssfAdabs是曲线路径的长度是曲线路径的长度显然显然, ,从从a到到b, , 沿不同的路径沿不同的路径, ,摩擦力做功不同摩擦力做功不同. . 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202218五、保守力与非保守力五、保守力与非保守力 做功的多少仅由始末两点的位置决定做功的多少仅由始末两点
17、的位置决定, 而与中间所而与中间所经过的路径无关经过的路径无关, 这样的力称为这样的力称为保守力保守力(conservative force).而做功多少和物体的运动路径有关的力称为而做功多少和物体的运动路径有关的力称为非保守力非保守力(nonconservative force ).对于任意闭合路径对于任意闭合路径:0d LrF即做功为零即做功为零, 为保守力为保守力, 如如: 重力重力, 弹性力弹性力.0d LrF为非保守力为非保守力(耗散力耗散力). 如如:摩擦力摩擦力0d LrF为非保守力为非保守力(非耗散力非耗散力). 如如:爆炸力爆炸力 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机
18、械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202219六、势能六、势能(potential energy) 可以将保守力的功表示为与可以将保守力的功表示为与相互作用物体相对位置相互作用物体相对位置有关的某函数在起点和终点的取值之差有关的某函数在起点和终点的取值之差. . 将该函数定义为此物体系的将该函数定义为此物体系的势能势能, 势能只与质点位置势能只与质点位置有关有关, 是是状态函数状态函数.P)(dEEErFApapbba势能定理势能定理 势能增量的负值等于保守力所做的功势能增量的负值等于保守力所做的功. 保守力和势能的微分关系保守力和势能
19、的微分关系: :PddErF 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 2022202) 势能是势能是相对的相对的. 零势能位置的选取不同零势能位置的选取不同, 势能也不同势能也不同, 故势能是质点间相对位置的单值函数故势能是质点间相对位置的单值函数.注意注意1) 势能是属于系统的势能是属于系统的, 保守力做功应理解为保守力做功应理解为一对力一对力做功做功.3) 势能计算势能计算. 令令 即得任一点的势能为即得任一点的势能为: 0paEbapbrFEd4) 常见势能常见势能.弹性弹性势能势能引力引力势
20、能势能重力重力势能势能势能势能 表达式表达式 零势能位置零势能位置mghE P2p21kxE rMmGEp地面附近地面附近弹簧自由状态时自由端位置弹簧自由状态时自由端位置两物体相距无限远两物体相距无限远 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202221 33 功能原理及机械能守恒定律一、系统的功能原理一、系统的功能原理knccciEAAAAAA(i)(i)(e)(i)(e)对于质点系的动能定理对于质点系的动能定理非保守内力做功非保守内力做功保守内力做功保守内力做功由前述势能定理由前述势能定理Pc
21、EA(i)定义系统的机械能定义系统的机械能 , 则则PkEEEEEEAApknc(i)(e)系统的功能原理系统的功能原理 外力和非保守内力做功的总和等于系外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的增量统机械能的增量. 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202222二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律由功能原理由功能原理, , 当当 时时, , 0(i)(e)ncAA机械能守恒定律机械能守恒定律 外力和非保守内力做功的总和为零外力和非保守内力做功的总和为零, 或者或者说只有保守内力作功的情况下，
22、系统的机械能保持不变说只有保守内力作功的情况下，系统的机械能保持不变 .注意注意1) , , 并不要求并不要求 和和 为零为零. . 0(i)(e)ncAA(e)F(i)ncF2) 要求在任意一微小路程上要求在任意一微小路程上 都是成都是成立的立的, 因此常用功率来描述机械能守恒的条件因此常用功率来描述机械能守恒的条件.0(i)(e)ncAAPkEEE恒量恒量, 或或 PkEE0(i)(e)ncPPPkEEE恒量恒量 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202223例：例：一粗细均匀的柔软绳子一
23、粗细均匀的柔软绳子, 一部分置于光滑水平桌面上一部分置于光滑水平桌面上,另一部分自桌边下垂另一部分自桌边下垂, 绳全长为绳全长为 .开始时开始时,下垂部分长为下垂部分长为d，初速为零初速为零, 求整个绳全部离开桌面时瞬间的速度大小求整个绳全部离开桌面时瞬间的速度大小(设绳设绳不可伸长不可伸长).l1mABCxlxx2m 本题将分别用牛顿定律本题将分别用牛顿定律, ,动能定理动能定理, ,机械能守恒定律求解机械能守恒定律求解. . 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202224解一解一:用牛顿定
24、律求解；用牛顿定律求解； 用隔离体法：绳分成用隔离体法：绳分成两部分两部分, 桌上桌上: AB, 下垂下垂: BC, t时刻：时刻：1122:,:,A Blx maB Cx ma1mABCxlxx2m1mAB1a1m g1N1T2mCB2a2T2mg牛顿第二定律牛顿第二定律, ,列方程：列方程：AB:1111111:0dvx Tm amdty Nm g 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202225绳不可伸长：绳不可伸长：牛顿第三定律：牛顿第三定律：12dvdvdvdtdtdt12TT绳质量均
25、匀分布：绳质量均匀分布：12,lxxmm mmll联立求解：联立求解：xdvgldtxdvgdxdxvdvldt0vlbxvdvgdxl所以所以, ,绳全部离开桌面的速度绳全部离开桌面的速度方向向下方向向下, ,大小大小222222:dvx m gTm amdtBC:)(22dllgv 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202226解二解二: : 用动能定理求解；用动能定理求解； 系统系统: 整个绳子整个绳子, ,绳分成绳分成两部分两部分, ,桌上桌上：AB, 下垂：下垂：BC, 受力如图受力
26、如图.1mAB1a11m gP1N1T2mCB2a2T22mg P作功：作功：其中其中: 因为是因为是“一对力一对力”作功作功因为力与位移方向垂直因为力与位移方向垂直, 有有系统动能：初态系统动能：初态00kE21(e)PPNAAAA21)(TTiAAA021TTAA01PNAA212kEmv 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202227由动能定理，由动能定理，有：有：即即系统系统: 整个绳子和地球整个绳子和地球.并由于绳不可伸长，有：并由于绳不可伸长，有：系统机械能守恒系统机械能守恒.02
27、kkPEEA021)(2222mvdllmg 所以所以, ,绳全部离开桌面的速度绳全部离开桌面的速度方向向下方向向下, ,大小为大小为: :)(22dllgv解三解三: :用机械能守恒定律求解；用机械能守恒定律求解；00)()(incNeAAA设水平桌面处重力势能设水平桌面处重力势能 .0pEmglmvmgld221222)(22dllgv 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202228比较三种方法：牛顿定律方程两端牛顿定律方程两端：均为瞬时值，需对方程两端积分；均为瞬时值，需对方程两端积分；
28、动能定理方程两端：动能定理方程两端：功的一侧为过程量，动能一侧为状态量，仅需对过程功的一侧为过程量，动能一侧为状态量，仅需对过程量积分；量积分；功能原理方程两端：功能原理方程两端：功的一侧由势能改变取代，不需再求积分，所以，最功的一侧由势能改变取代，不需再求积分，所以，最简单。简单。 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202229三、势能曲线三、势能曲线pEyOmgyEpxOpE2p21kxErOpErMmGEp重力势能重力势能弹性势能弹性势能万有引力势能万有引力势能势能曲线的作用势能曲线的作
29、用1) 由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力. 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202230PPPPEkzEjyEixEF2) 确定质点的运动范围确定质点的运动范围.由于由于 , 质点不可能在质点不可能在 的区域内运动的区域内运动.0kEEEP3) 确定平衡位置确定平衡位置, 判断平衡的稳定性判断平衡的稳定性.一维情况下一维情况下: :0, 02P2PxExE稳定平衡稳定平衡0, 02P2PxExE不稳定平衡不稳定平衡 大学物理学Page 第三章第三章功能原理和机械能守恒定律功能原理和机械能
30、守恒定律 ANHUI UNIVERSITY March 27, 202231 亥姆霍兹亥姆霍兹（18211894），德），德国物理学家和生理学家国物理学家和生理学家.于于1874年发年发表了表了论力（现称能量）守恒论力（现称能量）守恒的的演讲，首先系统地以数学方式阐述演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守了自然界各种运动形式之间都遵守能量守恒这条规律能量守恒这条规律.所以说亥姆霍兹所以说亥姆霍兹是能量守恒定律的创立者之一是能量守恒定律的创立者之一 . 四、能量守恒定律四、能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律(law of energy conservation) 在孤立系统内在孤立系统内, 无论无论发生什么变化过程发生什么变化过程, 各种形式的能量可以互相转换各种形式的能量可以互相转换, 但系统但系统的总能量保持不变的总能量保持不变.
