1、若已知点电荷(点点源源)产生的场(边边界无限远界无限远,无初始无初始条件）条件）qU任意带电体(任意任意源源)产生的场(边边界无限远，无初界无限远，无初始条件）始条件）QqVU=dU积分得到若能求出某一点源在给定初始和给定初始和边界条件边界条件下产生的场任意源在相同初相同初始和边界条件始和边界条件下产生的场 格林函数，又称为点源影响函数，是数学物理方程中的一个重要概念，也是求解各类定解问题的另一种常用方法。 积分得到：代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场格林函数格林函数5.1 泊松方程的格林函数法泊松方程的格林函数法1. 边值问题的提法边值问题的提法 第一边值问题（狄里希利问题）
2、 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，且在边界上取已知值。 u rf ru rr 第二边值问题（诺伊曼问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上对外法线方向的导数取已知值。 u rf ru rrn 第三边值问题（洛平问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界上其本身和对边界外法向导数的线性组合取已知值。 u rf ruurn2. 格林公式格林公式Tvuu vv u dVuvdSnn 上述定解问题，都是要求在区域内部求解，故又称为内问题；若在区域外部求解，则称为外问题。 在闭域 上有连续一阶偏导数，在 内有连续二阶偏导数，则有（ 为外法
3、线方向） , , ,u x y zv x y zT Tnd()dddSTTTuuVuVuVvvvv上式称为上式称为第一格林公式第一格林公式上式称为上式称为第二格林公式，简称格林公式第二格林公式，简称格林公式 u rf ruurn3. 泊松方程的基本积分公式泊松方程的基本积分公式 典型的泊松方程( 三维稳定分布）边值问题为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数格林函数 0( ,)r rG它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件： 格林函数的引入( ,)
4、()000r rrrGGGn()0rr代表三维空间变量的代表三维空间变量的 函数函数，在直角坐标系中其形式为，在直角坐标系中其形式为 0000()() () ()xxyyzzrr格林函数具有十分格林函数具有十分明确的物理意义：明确的物理意义： 位于 处且电量为 的点电荷在接地的导体壳内 处所产生的电势。由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数 0r0r0q 0rro 格林函数的对称性0,G r r 处的点源在点 处产生的场 0rr00;,G r rG r r 00G,rrrr 函数性质 0,G r r 处的点源在点 处产生的场 r0r场相同格林函数具有对称性格林函数具有对称性 对称
5、性在电学上的意义： 处单位点电荷在 处产生的电势等于 处单位点电荷在 0rr处产生的电势 r0r根据格林公式，根据格林公式，令令0( ,)Gr rv得到得到 ( )( ( ) d( ( )( )dTGuuGSuGG uVnrrrrn0( ) d( )( )d( ( )( ) ()drrrrrrrTTuGGuSG uuGVnGfuVn即为即为根据根据函数性质有函数性质有： 00( ) ()d( )TuVurrrr可得如下泊松方程的基本积分公式泊松方程的基本积分公式 0Tuvu rvfdVvudSnn 0TGuu ruGdSGfdVnn即即由格林函数的对称性可得由格林函数的对称性可得 000000
6、0000( ,)( )( ,) ( )d ( )( ,)dr rr )rr rrrr r TGuuGfVuGSnn 解的基本思想解的基本思想：通过上面解的形式，我们容易观察出引通过上面解的形式，我们容易观察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边值问题所构成的定解问题转化为求解值问题所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题一个特定的边值问题， 一一般后者的解容易求得，再利用泊松方程的基本积分公式可求得般后者的解容易求得，再利用泊松方程的基本积分公式可求得定解问题的解定解问题的解 u rf ru rr 0TGuu ruG
7、dSGfdVnn分析： 只须消掉公式中的 项即可得到结果。 nu3.第一边值问题格林函数第一边值问题格林函数相应的格林函数相应的格林函数0( ,)G r r是下列问题的解是下列问题的解： 0000;,;0 G r rrrr rG r rT 000;TG r ru rrdSG r rf r dVn 000G r;rG r;rrlSu rrdlfdSn 二维时 0000000G r;rrG r;rrlSu rdlfdSn 000000,TG r ru rrdSG r rf rdVn 二维时 由格林函数的对称性可得由格林函数的对称性可得 上式为第一边值问题解的积分表示式上式为第一边值问题解的积分表示
8、式5.2 用电像法求格林函数法用电像法求格林函数法1. 无界空间的格林函数无界空间的格林函数 基本解基本解 求出对应的格林函数 为求解泊松方程 利用解的积分表达式 必须解一个特殊的泊松方程边值问题 为求格林函数 对一般形状区域，要解决这个特殊的泊松方程边值问题也十分困难，但由于满足的边值问题具有同一性，难度相对原问题也有一定程度降低，特别是对泊松方程狄利克雷问题其格林函数又有十分明确的物理图像，因此该做法仍具有重要而积极意义。不仅如此，对若干特殊形状区域，还可用初等方法求出，从而能够解决该区域上的所有泊松方程的狄利克雷问题。 对狄利克雷问题的格林函数应满足： 000;0G r rrrG r r
9、 令 代入上述定解问题有 01GGG010010GGrrGG1100GGG 00Grr再令 （在区域内）显然没有考虑边界的影响（或者说对应着无界空间）注意 表示点 处的源对点 处的直接影响， 表示点 处的源对点 处（通过边界）的间接影响。0G0rr1G0rr 若认为若认为 、 是由点电荷是由点电荷 、 产生的电势产生的电势，则由，则由它们满足的方程可知：它们满足的方程可知： 是所研究区域内是所研究区域内 处的点电荷处的点电荷 在在所研究区域内所研究区域内 处产生的、且不计任何边界或初始条件的电处产生的、且不计任何边界或初始条件的电势；势； 则应为点电荷则应为点电荷 在边界上产生的感应电荷的等效
10、点电荷在边界上产生的感应电荷的等效点电荷 （电量未知，位置（电量未知，位置 应在所研究区域之外）在所研究区域应在所研究区域之外）在所研究区域内内 处产生的并满足一定边界条件的电势。处产生的并满足一定边界条件的电势。0G1G10q 2q0G0rr1q1G1q2qr1r称为相应方程的基本解基本解（即无界空间的格林函数） 00r;rG 二维空间： 00011lnc2rrG 三维空间： 0000000q14rr4rr4rrG 1100GGG 2. 电像法求特殊区域的格林函数电像法求特殊区域的格林函数 根据格林函数的物理意义，利用电磁学中关于计算点电荷电势的知识，针对特殊区域的具体形式，再结合几何、数学
11、有关内容，就可求得相应的格林函数，从而解决该区域上泊松方程的边值问题。这即是所谓的电像法。思路：例1 试求球内的泊松方程的狄利克雷问题的格林函数。解： 该定解问题为三维，其基本解为 0014rrG 1G则满足 011rRrR00rR1GG4RrG OR0r0M1MPMr 设产生 的等效点电荷电量 、位置 （在 的延长线上且在球形区域以外，这样方程自然满足）1Gq1r0r010q14Rr4Rr101q4rrG因此： 11000RrPMqPMRr则11rOMOR0r0M1MPMr1000PMqRPMr1rR00Rqr21020Rrrr选取 使得 11Mr10OPMOPM01001000010011
12、qG=G +G4rr4rrRr114rr4rr4rr4rrRr 球形区域格林球形区域格林函数表达式；函数表达式；区域形状不同区域形状不同其格林函数也其格林函数也会有所不同会有所不同00200020Rr14rrR4rrr 2000201R14rrrR4rrr 0000000G r;rrG r;rrlSu rdlfdSn 000000;TG r ru rrdSG r rf rdVn 0014rrG 00011lnc2rrG 1100GGG OR0r0M1MPMr例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题 3r Ru0rRuf, 解： 000rxyz000000ksincosi+sinsinj+cos
13、kksincos i+sinsinj+cos k 、 在球坐标系中单位矢量分别为 0rr设 的球坐标为 00,MrM r 000, ,rr 11rOM0coskk000coscossinsincos球的拉普拉斯方程的狄利克雷问题的格林函数由例1得： 0011RG=4rr4 r rr00rRG=r0rRGn00001rR11R4rrrr rr 0kk0rr02222000011rR11R4rrr2rr cosrrr2rr cos 0222 24200000rR11R4rrr2rr cosr rR2R rr cos 0220033222 2420000rRR r rrR cosrrcos14rr2
14、rr cosr rR2R rr cos 2233222243R r RrR cos1Rrcos4rR2rRcosr RR2R rcos 223221Rr4RrR2rRcos最后得00000G r;rr, ,f,Sudn 22200000300222R Rrf,dsin4R +r2rRcosd 2220000032221Rrf,R sind4R +r2rRcosdR 02000000G r;rf,R sinddn 例3 试求圆的泊松方程的狄利克雷问题的格林函数。解： 圆的泊松方程的狄利克雷问题的基本解 00011lnc2rrG 应满足： 1G1100r Rr R00rR11GGlnc2RrG 设
15、产生 的等效点电荷电量 、位置 （在 的延长线上且在圆形区域以外，这样方程自然满足）1G0q=1r0rOR0r0M1MPMrOR0r0M1MPMr则： 11111lnc2rrG10101111lnclnc22RrRr1100R r1ccln2R r仍选取 使得 11Mr10OPMOPM可得： 11000Rr11Rcclnln22rRr21020R,rrr最后得：20002011111Rlnlnln2rr22rRrrr 0101011111RG=G +Glnlnln2rr2rr2r 注意：这只是二维空间中圆形区域圆形区域的格林函数表达式例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 2r Ru0rRu
16、解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为： 001111R1G=lnln2rr2rrr22000220110-11=ln2rr2rr cos1R1ln2rrr2rr cos0rr022000224200011ln2rr2rr cos1Rln2r rR2R rr cos 00rR0rRGG=nr22202420000000rR1Rln2rr rR2R rr cos1lnrr2rr cos222201Rr2 R Rr2rRcos 000f r =0 ,dlRd 0000G r;rlu rdln 222002200Rrd2R2Rrcos-+r 0000000G r;rrG r;rrlSu r
17、dlfdSn 例5 在半平面内求解边值问题 2y 0u0y 0ux解： 在 处放置一点电荷 000Mx ,y0q=-其在 处产生的电势（基本解）为 M x,yO000Mx ,y100Mx , yM x,y00011lnc2rrG 0220011lnc2xxy-y 在 处放置一点电荷 100Mx , y0q=其在 处产生的电势为 M x,y在边界 ： y010y 0y 0GG 11111lnc2rrG1220011lnc2xxy+yO000Mx ,y100Mx , yM x,y102222001111lncln-c22xxyxxy10cc0即2200220011ln2xxy+y11ln2xxy-yG注：这是二维空间中区域为上半平面的格林函数表达式，它与圆形区域的格林函数不同。 00y00y0GGny 220000y01lnyxxy-y122222120100000y02 y-yxxy-yxxy-y220yxxy因为2222000000y0111lnln2yxxy+yxxy-y 00LGu x,yf xdln00y00y0GGny 因此220y1xxy22000f xydxxxy返回222200000y01ylnyxxyxxy+y同理
