1、3.1网络函数及极点和零点一、网络函数1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnSSnnnY S USISISA Y S USISUSYS IS1112111212222212.( )( )( )( ).:( )( ).nnnnnnNNNNNUSISUSISUSIS 结论：线性时不变网络中任意零状态响应的象函数可以表示为各激励象函数的线性组合。（线性电路叠加定理和齐性定理）1212( )( )( ).( )NKKKknnNNUSIsIsIs1122( )( )( )( )( ).( )( )( )( )( )( )jjjjqqJjKKKR SHS E SHS E
2、SHS E SRSHSESES除外其余激励置零网络函数：线性时不变网络在单一激励作用下，某一零状态响应的象函数与激励函数之比称为网络函数。二、网络函数的零极点、极零图 1110111000.( )( )( ).()mmmmnnnnmiiinkkkb sbsbsbN SH SD Sa sasa sabsmna s00()( )()miinkKSZH sKSp(1,2,. )(1,2,. )ikZ imp kn为网络函数的零点。为网络函数的极点。极零图：网络函数的极点和零点在复平面上的分布图 称为极零图。 结论：网络函数 的极零点在S平面上的分 布情况不仅决定网络的自然暂态特性，而且也决定网络的稳
3、态响应特性。32 多端口网络的网络函数一开路阻抗矩阵1111211221222212( ).( )( )( ).( )( ):.:( )( )( ).( )( )mmmmmmmmU SZZZSI SUSZZZSISUSZSZSZSIS( )( ) ( )( )( )( )( )OCJjkKKU SZS I SUSZSISIS除外其他端口的电流为零 各元素为多端口网络各端口（除激励端口外）开路条件下的阻抗参数，故称为开路阻抗矩阵。主对角线元素为策动点阻抗，非对角线为转移阻抗( )OCZS二短路导纳矩阵 1111211221222212( )( )( )( )( )( ).( )( )( )( )
4、( ).( )( ):.:( )( )( ).( )( )( )( ) ( )( )mmmmmmmmOCJ SJKK SK SI SYSYSYSU SISYSYSYSUSISYSYSYSUSI SYS U SIYSUU除外其他端口电压为零。矩阵 各元为 端口网络各端口（除激励端口外）短路条件下的导纳参数。故为短路导纳矩阵。主对角线元素为策动点导纳，非对角线元素为转移导纳。 ( )SCYs三转移函数矩阵N)(2te)(tem)(1te)(2tr)(1tr)(trm12121212()()() .()()(1 ,2,3,. )()()() .()()(1 ,2,3,. )( )( )( ) .(
5、)( )( )( ) .( )( )( ) ( )TmKTnJTmTnete te te te t Kmrtr tr tr tr t JnEsE sE sE sRSR SR SR SRSHS ES可 为 电 压 或 电 流可 为 电 压 或 电 流111212122212( )( )( )( ).( )( )( ).( )( ):( )( ).( )( )mmnnnmJJKK SK ShShShShShShSH ShShShSRSHEE除外其余端口输入变量为零。 实为第J输出端口与第K输入端口间的转移函数。它可以是转移阻抗,转移导纳,转移电压比或转移电流比,这取决于响应和激励的变量类型。因此称
6、为转移函数矩阵。( )jKhs结论 开路阻抗矩阵,短路导纳矩阵和转移函数矩阵的全部参数包含了任意端口的策动点函数和任意二端口间的各种转移函数。这三个参数矩阵可完全地描述一个多端口网络在各种不同激励与响应情况时端口变量间的约束关系。 3-3 不定导纳矩阵一.不定导纳矩阵的定义1111211221222212.nnnnnnnnIyyyUIyyyUIyyyUN1( )I s2( )I s( )nI s( )nU s1( )U s2( )U S+111212122212.( ).nninnnnyyyyyyY syyyTiaeaYA Y A 是联系端电压向量和端电流向量的参数矩阵称为不定导纳矩阵(Ind
7、efinite admittance Matrix)IAM。 “不定”指参考点在网络外的任一点。 ( )iY s( )( )|( )jjkkIsysUs除 外其他端电压为零。 ( ):jjys所有其他端均接地时由j端看去的策动点导纳。( ):jkys除k端外所有其他端均接地时从k端到J端的转移导纳。 ( )kUs二.不定导纳矩阵的性质例：图示三端网络为晶体管的电路模型,试求其不定导纳矩阵。解：为计算 令2，3两端接地，并于1端与地之间接入电压为 的电压源 112131,yyy1u23111( )( ) 01121( )( )|( )USUSI sysGSCSCU s23221( )( ) 02
8、1( )( )|( )USUSmIsysgSCU s233310111( )( )|( )UUmI sysGSCgU s 1G2G1Cugmu2C1G2G1Cugmu2C2- 321i2i33i 不定导纳矩阵每行诸元之和为零，每列诸元之和也为零。这种性质称为矩阵的零和特性。具有零和特性的矩阵称为零和矩阵。零和矩阵为奇异矩阵,不定导纳矩阵所有的一阶代数余子式均相等,具有这种性质的矩阵为等余子矩阵。1122112222112121( )immmmGSCSCSCGSCY sgSCGSCGgGSCgGGGgSC 三.原始不定导纳矩阵的直接形成1.二端导抗元件aabbaabIy UUIIyUU ( )(
9、 )( )( )abay sy sby sy s( )ab sU( )aIs+_ab2.电压控电流源(VCCS)CmabIgUUdmabIgUU000000000000mmmmabcdabggcggd( )absU()cI s+_cdab( )m absgu3.回转器( )acdIsg UU( )bcdIsgUU( )cabI sgUU( )dabIsg UU00000000abcdaggbggcggdgg+_g( )cI s( )aI s( )cd sU( )ab sU+ 4.耦合电感元件12( )( )( )( )abacdcUsIsL sMsUsI sMsL s221121()aabcc
10、dIULMIUMLs L LM222221112111()aabbccddIULLMMIULLMMIUMMLLs L LMIUMMLL( )aIS( )CIS( )abUS( )cdUS1L2LM-+-+acdb5.理想变压器0( )( )( )aabcdIsy s UnUs0( )( )( )( )cabcdIsny s UsnUs 00000000220000220000abcdyynynyayynynybnynyn yn ycnynyn yn yd( )aIS( )CIS( )abUS( )cdUS1L2LM-+-+acdb四、用观察法写出原始不定导纳的规则1.写出所有的二端导抗元件对原
11、始不定导纳矩阵的贡献部分,并将位于该矩阵同一元处的各参数相加。( )iiys ( )ijys 与端点相联接的二端元件的导纳。联接于节点 间的二端元件的导纳。 , i j2.写出各类二端口元件对原始不定导纳矩阵的贡献。3.将各类元件对原始不定导纳矩阵的贡献相加,即得原始不定导纳矩阵。例: 在图示线性有源网络中,设5个节点均为可及的,用观察法写出该多端网络的原始不定导纳矩阵。 M12i1L2LC2G3G23i23i(1)(2)(3)(4)(5)将CCCS变换为VCCS 故解: 23223iG u35223iG u22222335GGGG1212223434112( )( )1( )( )()IsU
12、sLMIsUsMLs L LM212()Ds L LM2222111112341234LLMMDDDDLLMMDDDDLLMMDDDDLLMMDDDD2222221122221111332213130( )0iLLMMDDDDLLMMGSCGSCDDDDY sLLMMGGGGGGDDDDLLMMGGDDDDSCGGGGGGSC五、不定导纳随端部处理的变换 1.端子压缩11i1i2iN1111211221222212.nnnnnnnnIyyyUIyyyUIyyyU112uuu112iii111221221323123132333123.().nnninnnnnyyyyyyyyyyyyYsyyyy
13、2.端子消除11122122( )( )( )( )( )( )( )( )aabbIsUsYsYsIsUsYsYs2122( )( )( )( )( )0babIsYs UsYs Us12221( )( )( )( )baUsYs Ys Us 111122221( )( )( )( )( )( )aaIsYsYs Ys YsUs( )( )( )aiaIsY s Us( )( )( )( )ikkjijijkkys ysyysys)()()()()(211221211SYSYSYSYSYi3.多端网络相并联N1234N1241F4.端子接地N1( )I s2( )Is( )nIs( )nUs
14、1( )U s2( )US+例：图示一个晶体管的T形等效网络。用不定导纳矩阵分析法求1、3端为输入端口，2、3为输出端口的二端口网络的短路导纳矩阵。1234eiegbgcgei解： 24141424123400102( )0034eeeeeeeecceibbeecbbceeigUggggggggggY sgggggggggg24444444444442444444(1)1(1)()()()( )2(1)3eceebeececcebceecbecbbbgg gg ggyyygggggggggY i sggyyyg gg gggyyy44bceeygggg44444444()()()( )ebcc
15、eebccbegggg gyyggggggY i syy 12401( )24eeeeceieecbceeggggggY sggggggg 441441111144444444444444()()()( )()()ikkjijijeeeebceebccescebccbeyyyyyggggggyyyygyyygggg gyyysggggggyy例：图示以四端网络N的端子4为公共终端网络 而形成的共终端三端网络，其短路导纳参数方程为 如果在1，2端间连接一个1F的电容，且取消端子3，得到右图中的三端网络，试求该三端网络的不定导纳矩阵。112233512161214IUIUIU N1234N1241
16、F112341512223612( )3214140415iys000000000000iCssssY51223612( )( )( )21410415iciicssssysy sys 解： 13 3111113334(5) ( 2)*( 2) 4 20 4 4 164444(4)4441.52.5( )3.55.752.250.54.254.75iy ysssyyyssssy sss 3-4 网络函数的拓扑公式111( )U SN1( )I S( )( )nnnY s UIs111211121222212.( )( )( )0.( )0NNNNNNNU sI sUsUs 1111( )( )
17、( )inU SZSI S一、节点导纳行列式的拓扑公式1. 比内-柯西(Binet-Cauchy)定理：设 F 和H分别为 和 阶矩阵,则 对应大子式之积和HFFH)det( 大子式：最高阶子行列式)(mm 521432F 102163Hnm mn 12132|1 F122163|1 H651422 |F752433 |F310632 |H110213 |H121323121323 521432F 102163H23) 1(736121151223)( FHdet2. 关于关联矩阵的几个定理(1) 任何一个树的关联矩阵 的行列式都等于 。A1 011111 |)det( A011)() 1(1
18、1011)(12AAdetdet 21A2011)(11100010111)(23AAdetdet 22A2331101)(1 )det(detkkkAAAk+1k+1(2) 关联矩阵 或 的秩为n-1即AaA)()()(树支数tannrankrank 1AA(3) 连通图G的关联矩阵里对应回路的列是线性不独立的。 11000011101010100011A1234532000110101011 rank123431100011010010011 rank1245(4) 连通图G的关联矩阵A的一个(n-1)(n-1)子矩阵是非奇异的充要条件是此子矩阵的列对应G的一个树，子矩阵的行列式为1。充分
19、性：若非奇异列线性独立不含回路，支路数为n-1树；必要性：若为树子矩阵行列式为1非奇异。(5) 连通图G的树的个数为det(AAT)。树的个数（对应大子式之积和 )()det(11TTAAAA全部大子式全部树 3. 的计算det()det()(TnbTb YAY AAYA和大子式的乘）(1) AT的非零大子式1（因为它对应树）。(2) AYb的对应大子式(1)相应树支导纳的乘积（因为Yb是对角矩阵）。证明:1Y2Y3Y4Y5Y1234123412345 011101100000011A,54321diagYYYYYe Y 000000004325421YYYYYYYeAY43243243242
20、0000001111000010000YYYYYYYYYYY （对应树） 531531351000000010100001000000YYYYYYYYY 1212233011000000000 0000011 00YYYYYYY（对应树） （含回路） 树支导纳之积n全部树1Y2Y3Y4Y5Y121234132412345例1245125134135145234235245542532432541531431521421YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY树支导纳之积43131353221221)det(YYYYYYYYYYYYYYYnn验证：例 3-8 用拓扑公式求图示网络的节点导
21、纳行列式，并与展开节点导纳矩阵的 行列式所得结果进行比较。 24131G3G4C2C5L3( )i t6G4132561234列出全部树的树支编号：124，125，126，134，135，136，145，156，234，235，236，245，246，346，356，456， 21241251261341351361451652224323523624522463463654652241362164132det( )/det()(nnYT yG s C CC sCsLG sC GGG sCGGsLGG GG sCsLGGsLs C C GsC GsLsC G Gs C CsLs C C GG
22、sC GG GsLsC CsLYs C C GGGs C GGC GGC整理后得364362451214326451361316365/)()/()/G GC G GC CLGCGCG CG CLGG GGGGGG GsL1621211343232351/nGGsCGsCYGGGsCGsCGsCGsL1621342352222132132134316221235det()()(1/)()()(1/)nYGGsCGGsCsCGsLsC GGsC GGs CGGsCGGGsCGsCGsL2135124134145222152352432451621631653622365624634645det/
23、nYGGsLG s C CGG sCG sCsLsC GsLsC GsLs C C Gs C CsLGG sCGG GGGsLG G sCG GsLG s C CG G sCG sCsL四、节点导纳行列式的对称代数余子式 的拓扑公式 JJ1.“2树”的定义：a. 图G的一个“2树”是一对包含G的全部节点，但无任何回路的不连通子图，但每个子图是连通的。b. 节点数为n的连通图G的一个2-树是从G的一个树T中去掉任一树支而得到的一个子图。具有下列性质 (1) 2-树包含图G的全部节点； (2) 2-树具有n-2条支路,不含任何回路； (3) 2-树由两个分离的子图组成,每一个图是一连通图,有一个子
24、图可为孤立节点。2树(14,23) 2树(13,24)2树(1,234) 2树(123,4)2树(1,2)2树(1,4)12341231231231234444图Gjj (对角元素的代数余因子)的计算表示参考点其中树支导纳之积树的树支导纳之积设对应的图为点导纳矩阵点与参考点短接后的节列行的划去00111),(2)(det)det()det()det(vvjGGjYjjYTjbjnnjjAYA1234512341,43212345图G图G1 431335321YYYYYYYYnY 树支导纳之积1)(54534342325131211GYYYYYYYYYYYYYYYYnYdet3213232132
25、213311115232332343233241255411144444444 树支导纳之积树),(02vjjj1234512341,43212345图G图G1例: 用拓扑公式求图3-27所示网络的节点导纳矩阵的对称代数余子式 。 解: 节点数为4,故2-树的树支数为4-2=2。列出全部2-树(1,4)有：12,13,15,23,24,34,35,4511121312352224343424123234551345135111/G sCGGGsC GsLs C CG sCGSCs C Cs GCG CG CsLsLGGCLGGsL全部2-树（1，4）树支导纳积（）（）（）五、 的计算ij)de
26、t() 1()det() 1(TjeijinjiijjiAYAY列行第中划去第从 树支导纳之积树),(02vijij例：用拓扑公式求图示网络的节点导纳行列式的不对称代数余子式1312,13,23,24 221313 42113232413 4TsC GGGsC Gs C C，全部2 树（，）六、策动点函数和转移函数的拓扑公式1.一端口网络21,11111( )( )inTU sZI sT2.二端口网络11212 11112222 22212222 2( )( )( )00( )U sI sUsUs /111112211212( )( )( )( )( )( )U sI sUsI sUsI s1
27、21222221( )( )( )( )UsUsUsI s转移阻抗函数：2212,112 ,1221212211( )( )( )( )( )TyTyUsZI sT y 转移导纳函数：2212,112 122222112122121111111,1( )( )( )( )( )/( )( )( )( )/( )( )LLLLTyTyIsY UsUsI sYYYYU sU sU sI sTy 转移电压比函数：2212,112 ,122121221111,1( )( )( )( )TyTyUU sTy 转移电流比函数： 2212,112 ,1222121211( )( )( )( )( )( )(
28、 )LLLTyTyIsY UsYYI sI sT y 例: 图示一个第2端口接负载的二端口网络.用拓扑公式求此二端口的转移导纳2121( )/( )YIsU s2-树(1,1) 1245,1247,1256,1267,1456,1457,1467,1567,2345,2347,2356,2367,24562467,3456,3457,3467,3567,4567。2-树(12,1) : 3456,3457,2345,2347。2-树(12 ,1) : 2345,2347,3457。21Y的分子为2212,112 ,17345634572345234723452347345734567( )(
29、)( )()()LN sYTyTyGG G G GG G G GG G G GG G G GG G G GG G G GG G G GG G G G G 21Y的分母为 21245475667145645746756723453473563674564673456576735674567( )()()()()D ss C C G GG GG GG GsC G G GG G GG G GG G GsC G G GG G GG G GG G GG G GG G GG G G GG GG GG G G GG G G G222,ij dijk dij dkTTT2212,1 212 ,1 221TTZT 2212,1 212 ,1 221LTTYYT 2212,1 212 ,1 2221TTUUT 2212,1 212 ,1 221LTTIYIT 212,1 23456TG G G G 212 ,1 20T 2212,1 212 ,1 234567( )()LN sYTTG G G G G
