1、3.2 立体几何中的向量法 (2)第三章 空间向量与立体几何空间向量与空间角空间向量与空间角教学目标 、知识与技能： 1）使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成 的角、二面角的向量方法 ； 2）、能利用空间向量解决关于角的问题； 、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量 是一种处理几何问题的工具； 、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创 造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力http:/ 1a b A AB BO Oa b . .复习引入复习引入2 2cos,a ba ba b 定义：过空间任意一点定义：过空间任意一点o o分别作异面直线分别作异面直线a a与与b b
2、的平行线的平行线a a 与与b b ，那么直线，那么直线a a 与与b b 所成的锐角或直角，叫做异面直所成的锐角或直角，叫做异面直线线a a与与b b 所成的角所成的角. .异面直线所成角异面直线所成角两条异面直线所成的角的范围是两条异面直线所成的角的范围是_异面直线所成的角异面直线所成的角lamlamb 若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 , , 则则, l m(0)2cos|cos,|a ba ba b b新课探究新课探究1 1, a b 问题问题1： 当当 不不大于大于90时，异面直时，异面直线线l、m 所成的角与所成的角与 和和 的夹角的关系？的夹角的关系？ , a b 问题问题
3、2： 当当 大大于于90时，异面直线时，异面直线l、m 所成的角与所成的角与 和和 的夹角的关系？的夹角的关系？ , a b , a b 直线和平面所成的角直线和平面所成的角 na nla sin|cos,|a na na n nll设设直直线线的的方方向向向向量量为为a a，平平面面的的法法向向量量为为 ，且且直直线线( (0 0与与平平面面所所成成的的角角 为为2 2) ), ,则则l新课探究新课探究2 2coscos,AB CDAB CDAB CD DClBA 平面和平面所成的角平面和平面所成的角-二面角二面角 1 1 方方向向向向量量法法: :将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的
4、的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夹夹角角. .如如图图，设设二二面面角角- - - -的的大大小小为为, ,其其中中A AB B , ,A AB B, ,C CD D , ,C CD D. .lll新课探究新课探究3 3ln1n2g 设设 , = gn1n2设设 l 的平面角为的平面角为 gln1n2gg 两个平面的法向量在二面角内两个平面的法向量在二面角内同时指向或背离。同时指向或背离。12nn l( (2 2) )法法向向量量法法将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的法法向向量量的的夹夹角角.
5、.如如图图，向向量量 ， ，则则二二面面角角 - - - -的的大大小小 . .ln1n2gln1n2g 设设 , = gn1n2设设 l 的平面的平面角为角为 g 两个平面的法向量在二面角内两个平面的法向量在二面角内一个指向另一个背离。一个指向另一个背离。二面角的范围：二面角的范围：0, 四棱锥四棱锥PABCD中，中，PD平面平面ABCD，PA与平面与平面ABCD所成的角为所成的角为60.在四边形在四边形ABCD中，中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；的坐标；(2)求异面直线求异面直线PA与与BC所成的角的余弦
6、值所成的角的余弦值典例剖析典例剖析【思路点拨思路点拨】利用正三棱柱的性质，建立适当利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的的中点中点M，连结，连结C1M，证明，证明C1AM是是AC1与平面与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的的法向量法向量n(，x，y)求解求解例例3 3 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面A
7、BCDABCD，PD=DC,EPD=DC,E是是PCPC的中点，作的中点，作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.(1)(1)求证：求证：PA/PA/平面平面EDB.EDB.(2)(2)求证：求证：PBPB平面平面EFD.EFD.A AB BC CD DP PE EF F(3)(3)求二面角求二面角C-PB-DC-PB-D的大小的大小. .ABCDP PE EF FxyzG解：解：如图所示建立空间直角坐标系，点如图所示建立空间直角坐标系，点D D为坐为坐标原点，设标原点，设DC=1.DC=1.(1)(1)证明：连接证明：连接AC,ACAC,AC交交BDBD于点于点G,G,连接连接EG.E
8、G.(1,0,0),(0,0,1),1 1(0, ),2 2APE依依题题意意得得因因为为底底面面A AB BC CD D是是正正方方形形，所所以以点点G G是是此此正正方方形形的的中中心心，1 1 1 1故故点点G G的的坐坐标标为为( ( , , , ,0 0) ), ,2 2 2 211(1,0, 1),( ,0,).22PAEG 且2/ /.PAEGPAEG 所以，即,而平面且平面EGEDBPAEDB/ /.PAEDB所以，平面(1,1,0),(1,1,).1BPB （2 2）证证明明：依依题题意意得得1 111(0, ),00.2 222又故DEPB DE .PBDE所以,由已知且E
9、FPBEFDEE.PBEFD所以平面(3)已已知知P PB BE EF F, , 由由（2 2）可可知知P PB BD DF F, ,故故E EF FD D是是二二面面角角C C- -P PB B- -D D的的平平面面角角. .( , , ),( , ,1),x y zPFx y z 设设点点F F的的坐坐标标为为则则,PFkPB 因为( , ,1)(1,1, 1)( , ,),所所以以 x y zkk kk ,1,xk yk zk 即0,PB DF 因为(1,1, 1) ( , ,1)1310,所以k kkkkkk 1,3k 所以1 1 2(),3 3 3F所以点 的坐标为，1 1(0,
10、),2 2E又点 的坐标为1 11(,),3 66FE 所以112(,),333FD cos1 111121(,) (,)13 663336,1266363FE FDEFDFE FD 因为60 ,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小为 总结：利用向量法求二面角的步骤：总结：利用向量法求二面角的步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确
11、定出二面角的平面角的大小确定出二面角的平面角的大小变式练习变式练习方法总结方法总结1利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握活掌握2利用向量方法求二面角的方法分为二类：一利用向量方法求二面角的方法分为二类：一类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大小
12、；另一类是利用二面角的两个量去计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求后一类需要依据图形特点建立适当的系去求后一类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系空间直角坐标系一、利用向量求空间角一、利用向量求空间角二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形三、用空间向量解决立体几何问题的三、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”A AA AD D 有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。最聪明的人是最不愿浪费时间的人。最聪明的人是最不愿浪费时间的人。
