1、1.空间向量及其运算空间向量及其运算复习回顾：平面向量1、定义： 既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空间向量的数乘空间向量的加减法ababOABb因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。思考：空间任意两个向量经
2、过平移一定共面？思考：空间任意两个向量经过平移一定共面？平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零加法结合律成立吗？abcOABCab+abcOABCbc+( (空间向量空间向量) )ab+c+()ab+c+()( ( a + + b )+ )+ c
3、= = a +( +( b + + c ) )向量加法结合律：向量加法结合律：空间中空间中推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn也叫封口向量平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律小结abba加法交换律bkakbak
4、)(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零数乘空间向量的运算法则数乘空间向量的运算法则例如例如: :a3a3a定义定义: 我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数乘运算. . 类似地类似地, ,同样可以定义空间向量的数乘运算同样可以定义空间向量的数乘运算, ,其运算律是否也与平面向量完全相同呢其运算律是否也与平面向量完全相同呢? ? 显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律()() ()a babaaaaa 即： （）其中 、 是实数。例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B
5、B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D111121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADABAAADABBCABABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面体：平行四边形ABCDABCD平移向量 到A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的轨迹所形成的几何体.a记做ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1G111
6、21)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADABAAADABBCAB;)1 (ACBCAB解：1111)2(ACCCACAAACAAADABM 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量F1F2F1=10NF2=15NF3=15NF3例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1
7、C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBAB111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x111 )3(ACxADABAC例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C
8、C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC111 )3(ACxADABAC. 2x练习：课本89页1，2练习：课本89页1，22.共线向量与共面向量共线向量与共面向量二二. .共面向量共面向量: :1 1、共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量，叫共面向量平行于同一平面的向量，叫共面向量 即能平移到同一平面内的向量即能平移到同一平面内的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OAa注意：注意：空间任意两个向量是共面的空间任意两个向量是共面的，但空间任意，但空间任意三
9、个向量就不一定共面的了。三个向量就不一定共面的了。/如果向量a的基线OA与平面 平行或在 内,称向量a平行 ,记作a平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果是如果是 同一平面内两个不共线的同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 ，使，使12ee ，a12，1 122aee abBPCA思考：思考：空间任意向空间任意向量量 与两个不共线与两个不共线的向量的向量 共面时，共面时，它们之间存在怎样它们之间存在怎样的关系呢？的关系呢？p a b ，abAabBCPp OAabBCPp 平面中平面中: :已知已知A
10、 A、B B、P P三点共线，三点共线，O O为直线为直线ABAB外一点外一点 , , 且且 ，得，得 =1=1OPxOAyOB xy OAabBCPp lA A PBO例例3、如图，已知平行四边形、如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 , , , ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD 平面中三点共线空间中四点共面小结 OPxOAyOBOPxOAyOBzOC OAabBCPp lA A PBO备用ABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCAB练习1在空间四边形在空间四边形ABCD
11、ABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简ABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCABAGMGBMAB原式) 1 ()(21 ACABMGBMAB(2)原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简ABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各
12、式中的求下列各式中的x,y.x,y.EABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2E在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.ABCDDCBAADyABxAAAE ) 2 (练习2E在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.作业.,CDc, b, a cAD b aBDACBCABABCD，来表示试用，中，空间四边形AMCGDB1)2abc（1)3abc（ABCDABCDABCDABCDA1B1C1D1CABDba平面中平面中: :已知已知A A、B B、P P三点共线，三点共线，OO为直线为直线ABAB外一点外一点 , , 且且 ，求，求 的值的值. .OPxOAyOB xy 学习共面学习共面OAabBCPp
