1、1.1 变化率与导数变化率与导数一创设情景一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数函数，随着对函数的研究，产生了微积分微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数导数是微积分的核心核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数导数研究的问题即变化率问题变化率问题：研究某个变量相研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度对于另一个变量变化的快慢程
2、度姚明身高变化曲线图姚明身高变化曲线图(部分部分)2.262.12年龄年龄身高身高4710131619220.81.61气气球球膨膨胀胀率率问问题题1 ,):(:,334rrVdmrLV 之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道 .,343VVrVr 那么的函数表示为体积如果把半径 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? ,.,cmrrLV6200110 气球半径增加了时增加到从当空气容积 ./.Ldmrr6200101 气球的平均膨胀率为 ,.,dmrrLL1601221 增加了气球半径时增加到当空气容
3、量从类似地 ./.Ldmrr1601212 气球的平均膨胀率为.,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均膨胀率是多少均膨胀率是多少气球的平气球的平时时增加到增加到当空气的容量从当空气的容量从思考思考21VV 2121r Vr VrVVV高台跳水高台跳水问题问题2 .:,1056942 ttthstmh存在函数关系存在函数关系单位单位与起跳后的时间与起跳后的时间单位单位面的高度面的高度运动员相对于水运动员相对于水在高台跳水运动中在高台跳水运动中人们发现人们发现那么述其运动状态描时间内的平均速度如果我们用运动员某段,v ;/.,.smhhvt054050050500 这段时间里
4、在 ./.,smhhvt28121221 这段时间里在播放暂停停止2121hththvttt 65049,:1?2?t探究计算运动员在这段时间里的平均速度 并思考下面的问题运动员在这段时间里是静止的吗你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗探究过程：如图是函数探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，的图像，结合图形可知， ，所以，所以，) 0 ()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均这段时间里的平均速度为速度为 ，但实际情况是运动员仍然，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说
5、明用平均速度不运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态能精确描述运动员的运动状态49650 t)/(0msthO65496598t 思考思考1 1：你能给出函数你能给出函数 f f ( (x x) ) 从从x x1 1到到x x2 2的平均变的平均变 化率的定义吗？化率的定义吗？函数函数 f (x) 从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率为为121)()fxxx2f ( x 习惯上：x=x2-x1, y=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为1212)()(xxxfxfxy.,相乘相乘与与而不是而不是是一个整体符号是一个整体符号xxx是一个相对于是一个相对于x的变化量的
6、变化量,可正可负可正可负,但不能为但不能为0.不一定不一定,平均变化率可正、可负、可为零平均变化率可正、可负、可为零.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”；曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.函数的平均变化率就可以表示为函数的改变量与自变量的改变量之比说明：1212)()(xxxfxfxy平均变化率平均变化率为为:思考思考2：平均变化率有什么几何意义呢？平均变化率有什么几何意义呢？ 平均变化率的几何平均变化率的几何意义就是意义就是函数函数f(x)图像上两点图像上两点(x1,f(x1), (x2,f(x2)所所在直线的斜率。在直线的斜率。 ?,1 . 1 . 11212表示什么变化率平均图的图
7、象观察函数xxxfxfxyxfOxy 1xf 2xf xfy 12xfxf 12xx 1x2x111 .图图直线直线AB的斜率的斜率AB典题例证典题例证 技法归纳技法归纳变式训练变式训练1.(1)计算函数计算函数f(x)x2从从x1到到x1x的平均变化率的平均变化率,其中其中x的值为的值为:2;1;0.1;0.01;(2)当当x越来越小时越来越小时,函数函数f(x)在区间在区间1,1x上的平均变化率有上的平均变化率有怎样的变化趋势？怎样的变化趋势？变式训练变式训练本例条件不变本例条件不变,求求:(1)物体在物体在t10 s到到t10.1 s,这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度;练习1.已
8、知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x D3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2.t2质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+ t)中相应的平均速度为( )9A. 6+ t B. 6+ t+ C.3+ t D.9+ tA作业：作业：(1) 计算函数计算函数 f (x) = 2 x +1在区间在区间 3 , 1上的平均变化率上的平均变化率 ；(2) 求函数求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f (-1
9、)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2422yx(2)解：解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 22()2yx xxxxxx 2. .我想进一步探究的问题是我想进一步探究的问题是1. .这节课我的收获是这节课我的收获是小结：小结：3.这节课我最感兴趣的地方是这节课我最感兴趣的地方是小结：小结： 1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：1212)()( y xxxfxfx1212)()( y xxxfxfx（1）1, 3;（2）1, 2;（3）1, 1.1;（4）1, 1.001; （5）1, 1.0001; 一一运动运动质点的位移质点的位移S与时间与时间t满足满足S(t)=t2,分别计算分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率在下列区间上的平均变化率.(位移单位为位移单位为m,时间单位为时间单位为s) 432.12.0011.9991.991.92（6）0.999, 1;（7）0.99, 1;（8）0.9, 1.2.0001练一练练一练 如何刻画如何刻画t=1这一时刻这一时刻质点运动的快慢程度呢？质点运动的快慢程度呢？ 思考：思考：
