1、设维设维实实向量向量称实数称实数1122,nnababab ,. 1 122nna ba ba b为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 1212.Tnnbbaaab , ,（1 1）对称性：）对称性：（2 2）线性性：）线性性：（3 3）正定性：）正定性： , , ,kk ,0, 0 ,0. 当当时时 22212,naaa 令令为维向量为维向量的的长度长度（模模或或范数范数）. .长度为的向量称为长度为的向量称为单位向量单位向量. .（1 1）正定性：）正定性：（2 2）齐次性：）齐次性：（3 3）三角不等式：
2、）三角不等式：0;00且且；;kk;（4 4）柯西施瓦兹（）柯西施瓦兹（CauchyCauchySchwarzSchwarz）不等式）不等式: : 222, 2, 即即,当且仅当当且仅当与与的线性相关时，等号成立的线性相关时，等号成立. .由非零向量由非零向量得到单位向量得到单位向量01 称为把称为把单位化单位化或或标准化标准化. .的过程的过程设设 与与 为维空间的两个非零向量，为维空间的两个非零向量， 与与 的夹的夹角的余弦为角的余弦为 ,cos, 因此因此 与与 的的夹角夹角为为 ,arccos,0. 例例 1223 ,3151 ,. 求求 ,cos 解解183 2 6 12 .4 当当
3、，称，称与与正交正交. . ,0 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为这个向量组称为正交向量组正交向量组，简称，简称正交组正交组. .由单位向量组成的正交组称为由单位向量组成的正交组称为标准正交组标准正交组. . 由正交向量组构成的空间由正交向量组构成的空间V的基的基由标准正交向量组构成的空间由标准正交向量组构成的空间V的基的基正交向量组必为线性无关组正交向量组必为线性无关组. .已知三维向量空间中，已知三维向量空间中，12111 ,211 正交，正交，试求试求3123, 是三维向量空间的一个正交基是三维向量空间的一个正交基.
4、.设设 31230Txxx 则则1323,0,0. 即即123123020 xxxxxx 132330 xxxxx 310.1 1 1、定义、定义如果阶如果阶方阵方阵满足：满足：则称则称为为正交矩阵正交矩阵. .则则可表示为可表示为若若按列分块表示为按列分块表示为 1,TTA AEAA 即即12(,),n TA AE 1212TTnTn 11,1E亦即亦即()()Tijn nijn n 为方阵，且列向量组是标准正交组为方阵，且列向量组是标准正交组 111226120,26111226 100010001000184999814999447999若若为正交矩阵，则为正交矩阵，则= =线性变换称为
5、线性变换称为正交变换正交变换. .设设= =为为正交变换正交变换，则有，则有y Tx x TTx P Px ,Ty yy y ,.x xx经正交变换后向量的长度保持不变经正交变换后向量的长度保持不变, ,内积保持不变内积保持不变, ,从而夹角保持不变从而夹角保持不变. .设设是向量空间是向量空间的一个基，要求向量空的一个基，要求向量空12,r 间间的一个标准正交基，就是的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单要找到一组两两正交的单位向量位向量12,r ，使，使12,r 与与12,r 等价，等价，此问题称为把此问题称为把这组基这组基标准正交化标准正交化. .12,r 1 1）正交化）正交化令
6、令11 1222111, 121r121112211,rrrrrrrr 就得到就得到的一个标准正交向量组的一个标准正交向量组. .的一组标准正交基的一组标准正交基. .如果如果上述方法称为施密特上述方法称为施密特正交化法正交化法. .2 2）标准化）标准化112212111, , , ,rrr令令12,r 是是的一组基，则的一组基，则12,r 就是就是则则两两正交，且与两两正交，且与12,r 等价等价. .12,r 12,k 与与12,k 都是等价的都是等价的. .为阶方阵，为阶方阵，为数，为数， 为维非零向量，为维非零向量，A 若若则则称为称为的的特征值特征值， 称为称为的的特征向量特征向量
7、（）（）并不一定唯一；并不一定唯一；, 阶方阵阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组特征值问题只针对与方阵，且特征向量不能为零特征值问题只针对与方阵，且特征向量不能为零 0EA x 有非零解的有非零解的值，即满足值，即满足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值0EA 201034011A314020112A fEA这是一个这是一个为变量的一元次多项式为变量的一元次多项式为为的的特征多项式特征多项式0EA 为为的的特征方程特征方程（几元几次方程？）（几元几次方程？）121122(2);nnnaaa12(1);nA 设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为 ijAa 12,n
8、 则则当是当是的特征值时，的特征值时，的特征多项的特征多项12,n 式可分解为式可分解为 fEA 12n令令0, 得得A 121nn 即即12.nA 方阵方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的的迹迹. .记为记为 .iiitr Aa 阶方阵阶方阵可逆可逆的个特征值全不为零的个特征值全不为零. .若数若数为可逆阵的为可逆阵的的特征值，的特征值，则则 为为 的特征值的特征值1 1A 则则 为为 的特征值的特征值k kA121122(2);nnnaaa则则 为为 的特征值的特征值m mA12(1);nA 设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为 ijAa 12,n 则则根据这
9、两条性质，可以验证所求得的结果是否正确根据这两条性质，可以验证所求得的结果是否正确.、若、若为可逆阵为可逆阵的特征值，则的特征值，则1213A 的一个特征值为（）的一个特征值为（）、证阶方阵、证阶方阵的满足，则的满足，则的特征值为的特征值为2AA 或或、三阶方阵、三阶方阵的三个特征值为、，则的三个特征值为、，则（）（）223EA互异特征值对应的特征向量线性无关。互异特征值对应的特征向量线性无关。特征向量的性质的证明特征向量的性质的证明证证 设存在设存在 使使mxxx,2102211 mmpxpxpxm ,21A是方阵是方阵 的特征值，的特征值，依次是与之对应的特征向量，即有依次是与之对应的特征
10、向量，即有mppp,21因为因为), 2 , 1( ,mipApiii 所以所以02211 mmpxpxpx0)(2211 mmpxpxpxA即即0222111 mmmpxpxpx 0)(222111 mmmpxpxpxA 即即0222221121 mmmpxpxpx (1)(2)(3)类推下去类推下去有有0122121111 mmmmmmpxpxpx (m)m把以上把以上 个等式合写成矩阵等式，得个等式合写成矩阵等式，得),(2211mmpxpxpx )( , 0111m 21, 011211 mmmm 0 ,上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列
11、式，列式， 当当 互不相等时，互不相等时， 该行列该行列式式不等于不等于0，从而该矩阵可逆，从而该矩阵可逆. 于是有于是有m ,21特征向量的性质的证明特征向量的性质的证明) 0 , 0 , 0(),(2211 mmpxpxpx即即), 2 , 1( , 0mipxii 又又, 0 ip因此必有因此必有)., 2 , 1(0mixi mppp,21所以所以 向量组线性无关向量组线性无关.证毕证毕特征向量的性质的证明特征向量的性质的证明一、定义一、定义定义定义设设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使得使得1,PAPB 则称则称是是的的相似矩阵相似矩阵，或者说矩阵，或者说矩阵与与
12、相似相似称为对称为对进行进行相似变换相似变换，1,PAP 对对进行运算进行运算可逆矩阵可逆矩阵称为把称为把变成变成的的相似变换矩阵相似变换矩阵记作：记作：4 4。若阶矩阵。若阶矩阵与与相似，则相似，则与与有相同的特征有相同的特征多项式，从而多项式，从而与与有相同的特征值有相同的特征值推论推论若阶矩阵若阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵1212(,)nndiag 相似，相似，12,n 就是就是的个特征值的个特征值则则定理定理若阶矩阵若阶矩阵与与相似，则相似，则与与有相同的特征有相同的特征多项式，从而多项式，从而与与有相同的特征值有相同的特征值若能寻得相似变换矩阵若能寻得相似变换矩阵使使1PAP 对阶方阵
13、对阶方阵，称之为称之为把方阵把方阵对角化对角化三、方阵对角化三、方阵对角化定理的推论说明，定理的推论说明，如果阶矩阵如果阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵相相似，似，那么，使得那么，使得1PAP 的矩阵的矩阵又是怎样构成的呢？又是怎样构成的呢？则则的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是的全部特征值的全部特征值设存在设存在可逆，可逆，1PAP 使得使得 12,nPppp 若若 APP有有 121212,nnnA pppppp 1122,nnppp 于是有于是有(1,2, ),iiiApp in 因为因为可逆，可逆，R（P）n故故12,nppp是是的个线性的个线性无无关的特征向量。关的特征向量。实现
14、实现1,PAP 即即与对角矩阵与对角矩阵相似相似定理定理如果阶矩阵如果阶矩阵有个互异特征值，有个互异特征值，则其对应的特征向量线性无关，此时的则其对应的特征向量线性无关，此时的A A必可对角化必可对角化结论结论v并非所有矩阵都可以对角化（相似对角化） 即：v对称矩阵一定可以对角化（有定理）v可以对角化的充要条件是：存在n个线性无关的特征向量p1，pn，且P（p1,p2，.，pn）v可以对角化的一个必要条件是：n阶矩阵A有n个互异特征值练习：请问P120的例5，6，7中矩阵哪些可以对角化？例题：P125，例111PAP 对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .说明：矩阵可以对角化的理论
15、比较复杂，本节要说明：矩阵可以对角化的理论比较复杂，本节要求掌握对称阵对角化步骤即可求掌握对称阵对角化步骤即可对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交. .若阶若阶对称对称阵阵的任重的任重特征值对应的线性特征值对应的线性无关的特征无关的特征向量恰有个向量恰有个iti it若为阶若为阶对称对称阵，则必有正交阵，则必有正交矩阵矩阵，使得，使得1PAP 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为对角矩阵，其具体步骤为：将非重根对应的特征向量单位化；将非重根对应的特征向量单位化；3.3.将重特征值对应的特
16、征向量单位正交化将重特征值对应的特征向量单位正交化;4.4.2.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.1.;的特征值的特征值求求A将所有单位化后的特征向量组成将所有单位化后的特征向量组成P P，注意与，注意与特征值的对应关系。特征值的对应关系。5.5.三、实例分析三、实例分析解解例例121011,101 ,.110PAPAP 求一个正交阵使设为对角阵122122123111101111111110011112(1)(2)(1) (2)2,1.rrccAEA 由故 的特征值是2111012121011112000AxrAE1111对应=-2，解方程( +2E) =0，由-
17、1-11得基础解系= -1 ,将单位化,得p =-13112111111111000111000,1122AxrAE 23232322233322对应=1，解方程( -E) =0，由-11得基础解系=1,= 0 ,将,正交化,01取1-110111021,:111326111(),32612036200010001TPPAPP AP 2323123123-1111将,单位化,得p =1p =12602将p ,p ,p 构成正交矩阵p ,p ,p有20003101Ax1231232362xAx )0AE x由(解出特征向量,并正交单位化为：T1T2T310 02202222022（， ， ）（
18、，）（ ，）123()p， ，数学模型 矩阵的特征值和特征向量应用十分广泛，包括生物学、矩阵的特征值和特征向量应用十分广泛，包括生物学、社会学、经济学等等，工程方面的应用更是不可计数，仅社会学、经济学等等，工程方面的应用更是不可计数，仅系统的稳定性就已可窥豹之一斑。系统的稳定性就已可窥豹之一斑。 介绍的几个实际问题包括人口流动问题、动物繁殖的规介绍的几个实际问题包括人口流动问题、动物繁殖的规律问题、商品的市场占有率问题等。律问题、商品的市场占有率问题等。人口流动问题人口流动问题 设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市。假定人口总数不变，那么经
19、过许多年后全国人口将会集中在城市吗？ 动物繁殖的规律问题动物繁殖的规律问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组：第一组05岁；第二组610岁；第三组1115岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，计算5年后、10年后、15年后各年龄段动物数量。20年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？ 根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k，有 （ 是莱斯利矩阵L的
20、唯一正特征值）。请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k的值。 商品的市场占有率问题商品的市场占有率问题 有两家公司R和S经营同类的产品，它们相互竞争。每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转移向S公司；每年S公司保有2/3的顾客，而1/3转移向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场分额，而S公司占有2/5的市场分额。问两年后，两家公司所占的市场分额变化怎样，五年以后会怎样？十年以后如何？是否有一组初始市场分额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变？ 212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x12,nx xx222223232222nna xa
21、x xax x2333332nna xax x2nnnax一、元二次型一、元二次型的二次齐次多项式的二次齐次多项式含有个变量含有个变量称为称为二次型二次型21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 或记为或记为当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为复数时，称为复二次型当常数项为复数时，称为复二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型22212111222(,)nnnnf x xxa xa xax称为二次型的称为二次型的标准形标准形特别地，若系数只在特别地，若系数只在1，1，0取值，即取值，即22221211(,)nppp
22、qf x xxxxxx为二次型的为二次型的规范形规范形 1112112122221212nnnnnnnnaaaxaaaxfxxxaaax 1111112122212nnnnnaaaaaaAaaa 则则二次型二次型TfX AX 特别注意：特别注意：为对称矩阵为对称矩阵. .令令12nxxXx 任一任一二次型二次型对称对称矩阵矩阵! 任一任一对称矩阵对称矩阵二次型二次型! 一一对应一一对应称为称为对称对称矩阵矩阵的的二次型二次型；称为称为二次型二次型的的矩阵矩阵；对称矩阵对称矩阵的秩称为的秩称为二次型二次型的秩的秩练习练习写出下列二次型的对称矩阵写出下列二次型的对称矩阵3 3）复数域复数域上的元二
23、次型上的元二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537f x x xxx xx xxx xx 2)12341214223(,35(3)f x xxxix xx xxi x x 例例1 1）实数域上的元二次型）实数域上的元二次型 2 2）实数域上的元二次型实数域上的元二次型11111221221122221122,nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy 设设 ,ijCc Cyx 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形线性变换，将二次型化为标准形记记记作记
24、作 Tfx Ax 将其代入将其代入AxxfT . yACCyTT CyACyT 有有若若|C| 0|C| 0，则，则称为非退化线性变换称为非退化线性变换.T只要使C AC成为对角矩阵.,1, APPTAPPPA即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij, 21, ,2222211nnyyyf .,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 设设, ,为阶方阵，若存在阶可逆阵为阶方阵，若存在阶可逆阵C C，使得，使得,TC ACB 则称则称合同于合同于用正交变换化二次
25、型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 22212323, 5222.xPyfxxxx x求一个正交变换把二次型化为标准形例例1 已知二次型已知二次型 ,22223),(222zxxyzyxzyxf 用正交变换把二次
26、型用正交变换把二次型 化为标准形，并写出相化为标准形，并写出相应的正交矩阵应的正交矩阵.f解解 析：此题是一道典型例题析：此题是一道典型例题. 目的是熟悉用正目的是熟悉用正交变换化二次型为标准形的交变换化二次型为标准形的“标准程序标准程序”. 写出二次型对应的矩阵写出二次型对应的矩阵 二次型二次型 对应的矩阵为对应的矩阵为 f 201021113A 求求 的特征值的特征值 A 201021113EA 20102201313cc 32rr )4)(2)(1( 由由 ，求得，求得 的特征值为的特征值为 0 EA A, 11 , 22 . 43 例例1 1解答解答 求求 的两两正交的单位特征向量的两
27、两正交的单位特征向量A例例1 1解答解答对应对应 ，解方程，解方程 ，由，由11 0)( xEA 101011112EAr,000110101 得基础解系为得基础解系为,1111 将其单位化，得将其单位化，得;111311 p例例1 1解答解答对应对应 ，解方程，解方程 ，由，由22 0)2( xEA 0010011112EAr,000110001 得基础解系为得基础解系为,1102 将其单位化，得将其单位化，得;110212 p例例1 1解答解答对应对应 ，解方程，解方程 ，由，由43 0)4( xEA 2010211114EAr,000110201 得基础解系为得基础解系为,1123 将其
28、单位化，得将其单位化，得.112613 p例例1 1解答解答 写出正交矩阵和二次型的标准形写出正交矩阵和二次型的标准形 令矩阵令矩阵 61213161213162031),(321pppP 则则 为正交阵，于是，经正交变换为正交阵，于是，经正交变换P zyxPzyx原二次型化为标准形原二次型化为标准形.42222zyxf 例例2 已知二次型已知二次型的秩为的秩为2. 32312123222166255xxxxxxaxxxf 求参数求参数 以及此二次型对应矩阵的特征值；以及此二次型对应矩阵的特征值；a 指出指出 表示何种曲面表示何种曲面. 1),(321 xxxf解解 二次型二次型 的矩阵的矩阵
29、f aA33351315r 300120351a因为因为 的秩为的秩为2，f所以所以 的秩也为的秩也为2，因而，因而A. 3 a例例2 2解答解答当当 时，时， 的特征多项式为的特征多项式为 A3 a 333351315EA21rr )4(1 r 333351011)4( 363361001)4(),9)(4( 于是，于是， 的特征值为的特征值为 A, 01 , 42 . 93 特征值互异，必存在正交变换特征值互异，必存在正交变换,321321 yyyPxxx其中其中 为正交矩阵为正交矩阵(不必具体求出不必具体求出)，使二次型，使二次型P.942322yyf 于是，曲面于是，曲面1),(321
30、 xxxf1),(321 yyyg. 1942322 yy这表示准线是这表示准线是 平面上椭圆、母线平行于平面上椭圆、母线平行于 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.32Oyy1y321,yyy在新变量在新变量 下称为标准形下称为标准形1y2y3y1x2x3x166255323121232221 xxxxxxaxxx1942322 yy 321321yyyPxxxv附录：前面的部分证明特征值的性质的证明特征值的性质的证明 证证n ,21因为因为 是是 的的 个特征向量，则有个特征向量，则有nA)()(21 nEA即即)()(21 n令令 ，即得，即得0 .21An 另一方面，根据行列式的定义知，上述行列
31、式的另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有展开式中，只有对角元之积含有.1 nn 和和 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211)()(21 n)()(2211 nnaaa 这些这些项中项中不含不含n 1 n 比较两端的比较两端的 的系数，可得的系数，可得1 n )()1(22111nnnaaa )()1(211nn 即即.221121nnnaaa 证毕证毕特征值的性质的证明特征值的性质的证明特征值的性质的证明特征值的性质的证明 A因为因为 是是 的特征值，的特征值， 证证所以存在非零向量所以存在非零向量 使使 A0 A又由又由 知，知，0 可逆，
32、且可逆，且 ，所以，所以A A )(1A 11 A 1这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.1 A证毕证毕特征值的性质的证明特征值的性质的证明 证证 A因为因为 是是 的特征值，的特征值，所以存在非零向量所以存在非零向量 使使 A用用 左乘上式两端得左乘上式两端得A)(2 AA 22 A 2A2 这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.2Ak kA类似地，可以证类似地，可以证 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.) 3( k证毕证毕特征值的性质的证明特征值的性质的证明 证证 A因为因为 是是 的特征值，的特征值，所以存在非零向量所以存在非零向量 使使 A0 又因为又因为
33、，所以，所以 A )(1A AAA)(1 AA A A这表明这表明 是矩阵是矩阵 的特征向量的特征向量.证毕证毕特征值的性质的证明特征值的性质的证明 证证,)(nrAR 因为因为所以所以 而而, 0 A0 A0 Ax有非零解有非零解因此存在非零向量因此存在非零向量 ，使，使 00A这表明这表明 0 是是 的特征值的特征值.A证毕证毕特征值的性质的证明特征值的性质的证明 证证 根据特征值满足的条件：是特征方程根据特征值满足的条件：是特征方程 的根，所以要证的根，所以要证 与与 的特征值相同，的特征值相同，0 EA TAA只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的只需证它们的特征方程相同，也即只需
34、证它们的特征多项式相同特征多项式相同.EAEAT 因因为为EAT TTEA TEA)( EA 所以所以 与与 的特征多项式相同，从而的特征多项式相同，从而 与与 的的特征值相同特征值相同.ATAATA证毕证毕特征向量的性质的证明特征向量的性质的证明证证 设存在设存在 使使mxxx,2102211 mmpxpxpxm ,21A是方阵是方阵 的特征值，的特征值，依次是与之对应的特征向量，即有依次是与之对应的特征向量，即有mppp,21因为因为), 2 , 1( ,mipApiii 所以所以02211 mmpxpxpx0)(2211 mmpxpxpxA即即0222111 mmmpxpxpx 0)(2
35、22111 mmmpxpxpxA 即即0222221121 mmmpxpxpx (1)(2)(3)类推下去类推下去有有0122121111 mmmmmmpxpxpx (m)m把以上把以上 个等式合写成矩阵等式，得个等式合写成矩阵等式，得),(2211mmpxpxpx )( , 0111m 21, 011211 mmmm 0 ,上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，列式， 当当 互不相等时，互不相等时， 该行列该行列式式不等于不等于0，从而该矩阵可逆，从而该矩阵可逆. 于是有于是有m ,21特征向量的性质的证明特征向量的性质的证明精品课件精品课件！精品课件精品课件！) 0 , 0 , 0(),(2211 mmpxpxpx即即), 2 , 1( , 0mipxii 又又, 0 ip因此必有因此必有)., 2 , 1(0mixi mppp,21所以所以 向量组线性无关向量组线性无关.证毕证毕特征向量的性质的证明特征向量的性质的证明
