1、数学物理方法第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分 本章将在复积分的基础上建立解析函数积分的本章将在复积分的基础上建立解析函数积分的柯柯西定理和柯西积分公式西定理和柯西积分公式，它们是复变函数的基本理论，它们是复变函数的基本理论和基本公式。复变函数积分理论是复变函数论中最困和基本公式。复变函数积分理论是复变函数论中最困难，最有趣，最重要的核心内容。难，最有趣，最重要的核心内容。第一节第一节 复变积分的定义和性质复变积分的定义和性质复变函数的积分定义为和的极限。复变函数的积分定义为和的极限。数学物理方法 x y 0z 1kz kz k nz 1 1z L 数学物理方法2 2复变函数积分的计算
2、复变函数积分的计算分解为实变函数的积分的计算分解为实变函数的积分的计算数学物理方法1(1)( )d( )dknkllkf zzfzz(2)( )d( )dABBAllf zzf zz 1212(3)( )( ) d( )d( )dlllf zfzzf zzfzz由积分由积分的定义的定义二二 复变函数积分的性质复变函数积分的性质 1max0( )dlim()knkkLnkzf zzfz(4)( )d( )dllaf zzaf zz( )d , (5)( )d,( ) ,llf zzdzdsf zzMs Mf zsl的长度。由积分的定义由积分的定义+ +1212zzzz数学物理方法数学物理方法三三
3、 复积分的计算方法复积分的计算方法 1max0( )dlim()knkkLnkzf zzfz01 :nlIzdzl zz例计算：，22012nIzz答案：1 用定义计算 x y 0z 1kz kz k nz 1 1z L 数学物理方法211 11max0max0()1),lim()lim()kkkknnkkkkkkkklnnkkzzfzzdzzzzzz z选211111 11max0max02),lim()lim()kknnkkkkkkkklnnkkzzzzdzzzzzz z选22111 1max0221 1max02201lim()()21lim()21()2kknkkkkkklnkznkk
4、nkznzdzzz zzz zzzzz两式相加 x y 0z 1kz kz k nz 1 1z L 1max0( )dlim()knkkLnkzf zzfz数学物理方法例例2 2 2 Re d , : (1) 1 ; (2) 1 ; (3) 1 1 .lz zliyxixi计算其中为从原点到点的直线段抛物线上从原点到点的弧段从原点沿轴到点再到的折线2 通过计算实线积分来计算(1)解解1 1,xy dxdyRe dlz z1(1);2ixyoi 11iy=xRe d =()llllz zx dxidyxdxixdyllxdxixdx数学物理方法解解2积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为( )
5、(01),z ttitt Re,d(1)d ,ztzit于是Re dlz z10(1)dtit1(1);2ixyoi 11iy=x数学物理方法(2) (2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy 2( )(01),z ttitt Re,d(12 )d ,ztztit于是Re dlz z10(12 )dtitt1230223tit12;23i2 : 1 ; lyxi为 抛物线上从原点到点的弧段数学物理方法xyoi 11iy=x2xy (3) (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为( )(01),z t
6、tt 1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为( )1(01),z titt Re,dd ,ztzt于是 Re1,dd ,zzi t于是Re dlz z10d t t101 d i t1.2i1.1.复变函数的积分定义为和的极限。复变函数的积分定义为和的极限。3.3.复变函数积分的计算复变函数积分的计算分解为实变函数的积分的计算分解为实变函数的积分的计算1(1)( )d( )dknkllkf zzfzz(2)( )d( )dABBAllf zzf zz 1212(3)( )( ) d( )d( )dlllf zfzzf zzfzz4. 4. 复变函数积分的性质复变函数积分的性质(4)(
7、 )d( )dllaf zzaf zz( )d , (5)( )d,( ) ,llf zzdzdsf zzMs Mf zsl的长度。5. 5. 复积分的计算方法复积分的计算方法数学物理方法(1)(1)解解例例3 3 d , :34 ; 033+4 ; lz zlii计算（1）0（2）: (34 ) , 01 的参数方程为lzi tt d(34 )d , zit120d(34 ) d lz zi t t120(34 )d it t2(34 )724=-. 222ii xyo34i 34i数学物理方法xyo34i 34i(2) (2) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的
8、参数方程为轴上直线段的参数方程为( )(03),z ttt 3到到3+4i直线段的参数方程为直线段的参数方程为dd ,zt于是dd ,zi t于是dlz z30d t t40(34 ) dii t( )3(04),z titt 724=- 22i ddddd lllz zx xy yiy xx y这两个积分都与路线这两个积分都与路线l 无关无关数学物理方法复习：格林公式复习：格林公式平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件定理定理 2设函数设函数 P(x, y)、Q (x, y) 在单连通域在单连通域 D 内有一内有一阶连续偏导数阶连续偏导数，则曲线积分则曲线积分 与路径无
9、关的与路径无关的充要条件是充要条件是 LyQxPddyPxQ Dyx ),(ddddd lllz zx xy yiy xx y数学物理方法3 用极坐标计算例例4 4 解解: : d , : 2. lzzlz 计算其中为圆周积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为2(02),ized2diziedlzz202 2diie(2 )z 因为204(cossin )dii0数学物理方法例例6 6 解解001 d , , (), .nlzlzrzzn 求为以为中心为半径的正向圆周为整数zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为0(02),izzre 01d()nlzz z 20dinini
10、rer e2(1)10d ,i nnier数学物理方法zxyor0z 1 , n 当时01d()nlzzz 20di2; i 1 , n 当时01d()nlzzz 210cos (1)sin (1)dnininr0;001 d()nz zrzzz 所以2,1,0,1.inn重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .2(1)10d ,i nnier数学物理方法数学物理方法( )d , (5)( )d,( ) ,llf zzdzdsf zzMs Mf zsl的长度。已知已知: :数学物理方法数学物理方法yO12y212siny lim0 zf z题设
11、条件：（上半平面）数学物理方法 思考：什么样的积分与路径有关？什么样的积思考：什么样的积分与路径有关？什么样的积分与路径无关？什么样的积分之值是零？分与路径无关？什么样的积分之值是零？一一 单连通区域的柯西定理单连通区域的柯西定理( )( )f zDf zD设在单连通区域 内解析，则在 内沿任意闭曲线的积分为零( )d0lf zz 注：柯西定理被人们称之为解析函数的基本定理第二节第二节 解析函数的柯西定理解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式原函数与定积分公式D D数学物理方法18511851年年, ,黎曼在附加条件黎曼在附加条件“f(zf(z) )在在D D内连续内连续”的条件下的条件下,
12、,借助于借助于GreenGreen公式给出了一个简单的证明公式给出了一个简单的证明; ;19001900年年GoursatGoursat发表了柯西积分定理证明方法发表了柯西积分定理证明方法, ,他的证明他的证明较长且复杂较长且复杂; ;20042004年莫国瑞、刘开第采用逼近论的方法给出了柯西积年莫国瑞、刘开第采用逼近论的方法给出了柯西积分定理的一个较为简单的证明，证明中用到逼近论和实分定理的一个较为简单的证明，证明中用到逼近论和实分析等许多高深的知识分析等许多高深的知识; ;20052005年王信松、陆斌采用调和分析的方法给出了柯西积年王信松、陆斌采用调和分析的方法给出了柯西积分定理的一个简
13、单证明分定理的一个简单证明, ,但是证明中用到了控制收敛定但是证明中用到了控制收敛定理等实分析的高级工具理等实分析的高级工具, ,不利于复变函数的教学不利于复变函数的教学. . 数学物理方法D D复习复习：数学物理方法 证明：证明：( )( , ) i ( , )f zu x yx y v根据格林公式：根据格林公式：( )dddiddlllf zzu xyxu yvv由由C-RC-R条件条件, uuxyxy vv( )d0lf zz ()d di()d duux yx yxyxy vvD D数学物理方法数学物理方法121212( )( )( )( )( )0( )( )( )( )ABBAAB
14、ABABABlllllllllf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dzf z dz l D 1l A B 2l 推论推论2 2( )( )lf zDf z dz若在单连通区域 内解析，则与路径无关单连通区域的柯西定理单连通区域的柯西定理( )( )f zDf zD设在单连通区域 内解析，则在 内沿任意闭曲线的积分为零( )d0lf zz 推论推论2 2( )( )lf zDf z dz若在单连通区域 内解析，则与路径无关数学物理方法001d()nz zrzzz 2,1,0,1.inn1 ? :1)32;2)2(3)ldzlzzz 例xyo
15、3 1 2 2)0i答：）2 ? :32;(3)ldzlzz 例2 0答：注：柯西逆定理不成立。( )( )f zDf zD在 内沿任意闭曲线的积分为零不能推出在单连通区域 内解析数学物理方法例例3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解,11211)1(12 izizzzz , 21 1 1 上解析上解析都在都在和和因为因为 izizz根据柯西定理得根据柯西定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizzxyoi数学物理方法 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221. i 计计算算复变复变函函数数
16、的的环环路路积积分：分： 首先首先应应判判断断被被积积函函数数有无奇点？有无奇点？ 有何奇点？有何奇点？ 从从而而选择选择合适的公式合适的公式计计算。算。数学物理方法二二 原函数和定积分原函数和定积分现证明现证明 是是( )f z的原函数的原函数 ( )F z数学物理方法数学物理方法数学物理方法数学物理方法三三 复连通区域的柯西定理复连通区域的柯西定理数学物理方法数学物理方法数学物理方法数学物理方法la C数学物理方法la C 此结论非常重要此结论非常重要, 用起来很方用起来很方便便, 因为因为l不必是圆不必是圆, a也不必是也不必是圆的圆心圆的圆心, 只要只要a在简单闭曲线在简单闭曲线l内即
17、可内即可.001d()nz zrzzz 2,1,0,1.inn数学物理方法例题521,Cdzzz求C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。解： 21111zzzzC1C2C0121(1)1CCCdzdzdzzzzz（由闭路变形原理(推论3)）211CCdzdzzz220ii数学物理方法(2) (由复连通区域的柯西定理)122221CCCdzdzdzzzzzzz112211CCCCdzdzdzdzzzzz0220ii0C1C2C01单连通区域的柯西定理单连通区域的柯西定理( )( )f zDf zD设在单连通区域 内解析，则在 内沿任意闭曲线的积分为零( )d0lf zz 推论推论2 2( )( )
18、lf zDf z dz若在单连通区域 内解析，则与路径无关复连通区域的柯西定理复连通区域的柯西定理0( )( )kLLkf z dzf z dz( )f z在在 的解析区域中，积分回路连续变形，的解析区域中，积分回路连续变形，其积分值不变。其积分值不变。 推论推论3 3数学物理方法解解221 d , 1 . Czz Czzz 计计算算积积分分为为包包含含圆圆周周在在内内的的任任何何正正向向简简单单闭闭曲曲线线, 1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知, xyo 1CC也也包包含含这这两两个个奇奇点点，例例6 612 C ,CC在
19、在内内作作两两个个互互不不包包含含也也互互不不相相交交的的圆圆周周和和 , 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C12:+CCC 则则构构成成复复周周线线打洞打洞!数学物理方法xyo 1 1C2C221dCzzzz 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i Cauchy定理定理重要重要公式公式Cauchy定理定理重要重要公式公式数学物理方法数学物理方法四四 小圆弧引理和大圆弧引理小圆弧引理和大圆弧引理数学物理方法数学物理方法数学物理方法第三节第三节 解析函数的柯西积分公式解析
20、函数的柯西积分公式0,zD若若 f (z) 在该闭区域内解析，则在该闭区域内解析，则000( )d( )=dz zlf zzf zzzzzz 00f zf z00002()1()d.z zfizzzf zz 分析：分析：一一 有界区域的柯西积分公式有界区域的柯西积分公式001( )dd()()nnCCf zzzzzzzDl0z0z数学物理方法1( )( )d2lf zf aziza 12lfor f zdiz -解析函数可用复积分表示。解析函数可用复积分表示。Dla数学物理方法 证证 由于由于f (z)在在 a连续连续, 任给任给e e 0, 存在存在 (e e) 0, 当当 |z a| 时时
21、, | f (z) f (a)| e e. 设以设以 a为中心为中心, R 为半径的圆周为半径的圆周K :|z a|=R全部在全部在闭区域闭区域内部内部, , 且且R .( )( )ddlKf zf zzzzaza( )( )( )ddKKf af zf azzzaza( )( )2( )dKf zf aif azza lKaRD数学物理方法( )( )dKf zf azza d2.KsRee |( )( )|d|Kf zf asza 1( )( )d2Cf zf aziza ( )( )( )d -2( )dKKf zf zf azif azzaza数学物理方法复连通域上的柯西积分公式复连通
22、域上的柯西积分公式11( )1( )( )2 i2 ijnLCjf zf zf adzdzzaza设设D是由是由L , C1, C2 , , Cn围成的多连通区域，函数围成的多连通区域，函数f(z) 在在 内解析，内解析，则对则对D内任一点内任一点 ，DaDzaRC1C2C3L数学物理方法注：注：1( )( )d2lff ziz 1)更一般：2)意义：解析函数在区域内的值由边界上的 积分值确定。3)可用来计算围道积分：( )2( )dlfif zz 1d?zzezz 01d22zzezieiz 212d?(1)zz iezz z 21122()dd2(sin1cos1)(1)()zzzz iz
23、 iz ieeez zizziiz zziz zi 数学物理方法例例1 1:(0,1,2)(1)(2)zCedzCzr rz zz 计算积分解：解： , 10 rCzdzzzze)2)(1(izzeizz0)2)(1(2, 21 r 21CC21)2(Czdzzzzei1)2(2zzzzeiiiei32, 2r321CCC1C2C3C012数学物理方法32) 1(32Czdzzzzeiei2) 1(232zzzzeiieiieiei33221C2C3C012数学物理方法二二 无界区域中的柯西积分公式无界区域中的柯西积分公式 无界区域的无界区域的柯西积分公式：柯西积分公式： 如果如果 f (z)
24、某一闭曲线某一闭曲线L及及外部外部解析解析, 并且满足并且满足 ，则对于曲线，则对于曲线L的的外部外部a有有 这就是无界区域中的柯西积分公式这就是无界区域中的柯西积分公式|,( )0zf z 1( )( )d2iLf zf azza a RC R L 数学物理方法 a RC R L 证证 以以 原点为中心原点为中心,以以 R 为半径的圆周为半径的圆周CR,将将L和和a全全部包含在内，根据复连通区域的柯西积分公式得到部包含在内，根据复连通区域的柯西积分公式得到1( )d2i1( )( )d2iRLCff zzafzzzzaa | |zazaRa( )( )( )|d |2 2|1 | /RRRC
25、CCf zf zf zzdzdzzazazaRMMRaaR根据条件当根据条件当 ，即有，即有 。|,( )0zf z |,0zM 1( )d02iRCf zzza 1( )( )d2lf zf aziza Dla复连通域上的柯西积分公式复连通域上的柯西积分公式11( )1( )( )2 i2 ijnLCjf zf zf adzdzzaza设设D是由是由L , C1, C2 , , Cn围成的多连通区域，函数围成的多连通区域，函数f(z) 在在 内解析，内解析，则对则对D内任一点内任一点 ，Da无界区域中的柯西积分公式无界区域中的柯西积分公式 无界区域的无界区域的柯西积分公式：柯西积分公式： 如
26、果如果 f (z)沿沿某一闭曲线某一闭曲线L及外部及外部解析解析, 并且满足并且满足 ，则对于曲线，则对于曲线L的外部的外部a有有 |,( )0zf z 1( )( )d2iLf zf azza 数学物理方法例例 2 2 计算积分计算积分 22d()(3 )LzIzaza ， L为：为：| 2 (0)zaa 解法解法 1 1：被积函数被积函数2213( )zaf zza在积分区域在积分区域L内部有两个奇内部有两个奇点点12,za za 设设1l仅含奇点仅含奇点1z，2l仅含奇点仅含奇点2z， 1222211d()(3 )()(3 )dd()(3 )11 2i|2i|()(3 )()(3 )11
27、i 2i2i2 ( 2 )( 2 )( 4 )4Lllz azazza zaza zaIzzzazazazaza zaza zaaaaaa 1l2l0aa数学物理方法解法解法 2 2：将上式逆时针方向转化为顺时针方向积分，则被积将上式逆时针方向转化为顺时针方向积分，则被积函数函数2213zaza在在L外部仅有一个奇点外部仅有一个奇点3za，且当，且当| z 时，时，221( )0f zza，满足无界区域的柯西积分公式条件故有，满足无界区域的柯西积分公式条件故有 2222dd()(3 )()(3 )LLzzIzazazaza 22322211i() d2i|(3 )4zaLzazzazaa 数学
28、物理方法100| | 98.51d()zkzIzk例例3求积分求积分100100| | 98.5| | 98.511dd()()zzkkzzIzkzk 100991991990.51000.511()()dd(99)(100)kkkzzzkzkzzzz 1009911991111222298 972 1 ( 1)99!(99)(100)1198222298!99!99!99 97!kkkiiiikkiiii 解：解：（复连复连通通区区域柯域柯西定理）西定理）数学物理方法特别说明：特别说明：显然当积分区域内部的奇点多于外部的奇显然当积分区域内部的奇点多于外部的奇点时，考察是否满足无界区域的柯西积
29、分公式条件， 如果点时，考察是否满足无界区域的柯西积分公式条件， 如果满足则可简化计算满足则可简化计算 数学物理方法 一个解析函数不仅有一阶导数一个解析函数不仅有一阶导数, , 而且有各高阶而且有各高阶导数导数, , 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示表示. . 这一点和实变函数完全不同这一点和实变函数完全不同. . 三三 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数公式：解析函数的高阶导数公式： 数学物理方法 证证 设设z为为D内任意一点内任意一点, , 先证先证n=1的情形的情形, , 即即 因此就是要证因此就是要证0( )( )(
30、)lim,zf zzf zfzz由0.z 在在时时也也趋趋向向于于零零21( )( )d2()Cffziz 21( )( )( )d2()Cff zzf zizz 1( )( )d2Cff ziz 1( )( )d .2Cff ziz 1( )( )d2( )Cff zzizz ( )( )1( )d2()( )Cf zzf zfzizzz 数学物理方法因此因此21( )( )( )d2()Cff zzf zizz 21( )1( )dd2()2()( )CCffizizzz21( )d2() ( )CzfIizzz 现要证当现要证当z0时时I0, 而而21( )|d2() ( )CzfIzz
31、z 21| |( )|d2| | |Czfszzz 数学物理方法11|,|zdzd| | | |,2dzzzz12,| |zzd231| |( )|d| |2| | |CzfsMLIzzzzd 这就证得了当这就证得了当 z0时时, I0.DzdC f (z)在在 上解析上解析, , 则有界则有界, , 设界为设界为M, 则在则在C上有上有| f (z) | M. d为为 z到到C上各点的最短距离上各点的最短距离, 则取则取 |z| 适当地小使适当地小使其满足其满足 |z| 1.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225 解解 1) 1) 函数函数 在在C内的内的z=1处不解析处不
32、解析, , 但但cos z在在C内却是处处解析的内却是处处解析的. 5)1(coszz.12)(cos)!15(2d)1(cos51)4(5|izizzzzC数学物理方法222)(1)zCedzz 12CC12CCC2C1C212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2 i数学物理方法练习练习342211cos (1)d ;(2)d .(1)zzzzezzzzz求积分解解3(1) 1 , z 函数在复平面内解析1 2 , az 在内3,n 3421d(1)zzzz 31213!ziz2; i( )1!( ) ( )d2(
33、)nnCnf zfaziza 根据公式数学物理方法21cos(2)dzzezzz cos , zez函数在复平面内解析0 1 , az在内1,n 21cosdzzezzz 02(cos )1!zziez02cossin zzziezez2. i 数学物理方法数学物理方法数学物理方法001( )dd()()nnCCf zzzzzzz1.1.柯西定理柯西定理2.2.重要公式重要公式1.1.柯西柯西积积分公式分公式2.2.高高阶导数阶导数公式公式数学物理方法201()( )e d2eiiif zRef ziRiR201()d2if zRe- 一个解析函数在圆心处的值等于一个解析函数在圆心处的值等于
34、它在圆周上的平均值它在圆周上的平均值.四四 柯西公式的推论柯西公式的推论1 1 平均值公式平均值公式如果如果C是圆周是圆周 , 则柯西积分公式：则柯西积分公式：izRe1( )( )d2Cff ziz zxyoR 数学物理方法( )!( )(max( )RnnCM nfaMf zR2 2 柯西不等式：柯西不等式： 证明：证明：( )( )11!( )!( )( )( )2()2()RRnnnnCCnf znf zfadzfadzizaiza( )1( )!( )2RnnCf znfadzza nnRnMRRMn!22!1注注1 1：解析函数的导数模的估值与区域的大小有关；解析函数的导数模的估值
35、与区域的大小有关；0( )max( )RCnf aMf z注注2 2：( )()Rf zCzaR在闭区域内解析数学物理方法3 3 刘维尔定理：全平面的有界解析函数必为常数。刘维尔定理：全平面的有界解析函数必为常数。,intRRCRzC( )1!( )( ),2()RnnCnffzdiz ( )fM0)(zf.)(constzf证明：对复平面上任一点证明：对复平面上任一点z ，1)1)“在整个复平面解析且有界的复变函数必是常数在整个复平面解析且有界的复变函数必是常数”。由此我们是否可推断：由此我们是否可推断：“在整个数轴上解析且有界的在整个数轴上解析且有界的实函数一定是常数实函数一定是常数”？2)2)ez,sinz等不为常数，所以均无界。等不为常数，所以均无界。( )!( )( )0nnM nMRfzfzRR 当时，zxyoR数学物理方法 4 最大模原理：最大模原理：( )( )f zDf z在 上解析，则在边界上取到最大值。证明：证明：max( ) ,(),DMf zLLD,z,zD d设为 与边界间的最小值( )1( )2nnDff zdziz ( )1( )2nnDff zdz LdMn211( )()2nLf zMMnd ( )f zM注：注：时，当constzf )( )f zD在在且且只只在在上上取取到到最最大大值值。数学物理方法数学物理方法数学物理方法数学物理方法
