1、 20212022 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数学 2022.03 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U = R，集合21Ax x=，240 xBx=，则集合()UAB= A.()1,2 B.(1,
2、2 C.)1,2 D.1,2 2.在41xx的二项展开式中，第二项的系数为 A.4 B.-4 C.6 D.-6 3.i 是虚数单位，设复数z满足3iii22z = +，则z的共轮复数z = A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 4.如果在一次实验中，测得(), x y的五组数值如下表所示， x 0 1 2 3 4 y 10 15 20 30 35 经计算知，y对x的线性回归方程是6.5yxa=+，预测当6x =时，y = 附：在线性回归方程yabx=+中，( )1221niiiniix ynxybxn x=，aybx=，其中x，y为样本平均值. A.47.5 B.48 C.49
3、D.49.5 5.平面内三个单位向量a，b，c满足230abc+=，则 A.a，b方向相同 B.a，c方向相同 C.b，c方向相同 D.a，b，c两两互不共线 6.若双曲线1C：()2230yx =的右焦点与抛物线2C：28yx=的焦点重合，则实数= A.3 B.3 C.3 D.-3 7.有 5 个形状大小相同的球，其中 3 个红色、2 个蓝色，从中一次性随机取 2 个球，则下列说法正确的是 A.“恰好取到 1 个红球”与“至少取到 1 个蓝球”是互斥事件 B.“恰好取到 1 个红球”与“至多取到 1 个蓝球”是互斥事件 C.“至少取到 1 个红球”的概率大于“至少取到 1 个蓝球”的概率 D
4、.“至多取到 1 个红球”的概率大于“至多取到 1 个蓝球”的概率 8.正四面体 ABCD 的棱长为 a，O 是棱 AB 的中点，以 O 为球心的球面与平面 BCD 的交线和 CD 相切，则球 O的体积是 A.316a B.326a C.336a D.323a 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9.记nS为等差数列 na的前n项和，则 A.6422SSS= B.()6423SSS= C.2nS，42nnSS，64nnSS成等差数列 D.22S，44S，66S成等
5、差数列 10.某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测， 以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果X服从正态分布()75,81N，其中检测结果在 60 以上为体能达标，90 以上为体能优秀，则 附 ： 随 机 变 量服 从 正 态 分 布()2,N ， 则()0.6826P+=，()220.9544P+=，()330.9974P+=. A.该校学生的体能检测结果的期望为 75 B.该校学生的体能检测结果的标准差为 81 C.该校学生的体能达标率超过 0.98 D.该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等 11.下列函数中，最大值是 1 的函数有 A.sincosyxx=+ B.2
6、2sincosyxx= C.224sincosyxx= D.tantan2tan2tanxxyxx= 12.已知函数( )()elnxf xaxx ax=+R， 若对于定义域内的任意实数s， 总存在实数t使得( )( )f tf s在一个 周期内的图象如图所示，其中点 P，Q 分别是图象的最高点 和最低点，点 M 是图象与 x 轴的交点，且MPMO .若1322f=，则tan=_. 16.已知( )f x是定义在R上的奇函数，且()()121fxfx+=.若当()0,1x时，( )121f xx= ，则( )f x在区间()1,3上的值域为_，( )( )45g xf xx=在区间()1,3内
7、的所有零点之和为_（本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题，本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 在10 2sinsin9BC+=，10coscos9BC+=，5bc+=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且3a =，2 2sin3A =，_，求ABC的面积. 18.（12 分） 某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔.为此，社团依次进行笔试、机试、 面试三个项目的选拔， 每个项目设置“优”、 “良”、 “中”三个成绩
8、等第； 当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”的概率分别为16，2p，3p，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立. （1）求甲同学能进入到数学建模社团的概率； （2）设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过X个项目，求X的概率分布及数学期望. 19.（12 分） 已知数列 na，11a =，且()111nnaan n+=+，*nN. （1）求数列 n
9、a的通项公式； （2）记数列 2na的前n项和为nS，求证：421nnSn+. 20.（12 分） 如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，1AAAB=，点D，E分别为棱BC，11BC上的点，且()11101C EBDttBCC B= 的离心率为22，且椭圆C的右焦点F到右准线的距离为3.点A是第一象限内的定点，点 M，N 是椭圆C上两个不同的动点（均异于点 A） ，且直线 AM，AN 的倾斜角互补. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线MN的斜率1k =，求点A的坐标. 22.（12 分） 已知实数0a ，函数( )()2lnlnef xxaaxx=+
10、，e是自然对数的底数. （1）当ea =时，求函数( )f x的单调区间； （2）求证：( )f x存在极值点0 x，并求0 x的最小值. 高三数学第 1 页（共 6 页） 20212022 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 （一） 数学（参考答案）2022.03 一、选择题：一、选择题： 1C2B3D4B5A6D7C8D 二、二、选择选择题：题： 9BCD 10AD 11BC 12AB 三、填空题填空题： 132 141(02 ， 1532 16 2 2 ，52 三、三、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明
11、、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 解：10 25sinsinsin93BCA，由正弦定理sinsinsinABCaac， 可得553bca以下如所示以下如所示 因为10coscos9BC，由余弦定理得22222210229acbabcacab， 所以22222220()()9b acbc abcabc， 所以22220()(2)9bc abcbcabc，其中2222cosabcbcA ， 所以10()(1cos )9bcAa 4 分 若 A 为锐角，则281cos1 sin193AA，则5bc 由余弦定理22222()8cos1122bcabcaAbcbcbc ， 所以6bc ，又5b
12、c，解得23bc ，或32bc ， 所以ABC的面积为112 2sin62 2223bcA 8 分 高三数学第 2 页（共 6 页） 若 A 为钝角，则281cos1 sin193AA ，则532bca，舍去 综上可得，ABC的面积为2 2 10 分 因为5bc，由余弦定理22222()8cos1122bcabcaAbcbcbc 3 分 若 A 为锐角，则281cos1 sin193AA，则8113bc ， 所以6bc ，又5bc，解得23bc ，或32bc ， 所以ABC的面积为112 2sin62 2223bcA 7 分 若 A 为钝角，则281cos1 sin193AA ，则8113bc
13、 ， 所以12bc ，又5bc，无解，舍去 9 分 综上可得，ABC的面积为2 2 10 分 18（12 分） 解：（1）甲同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”互为互斥事件， 则11623pp，解得1p 所以甲同学通过每个项目选拔的概率都为12623p 2 分 设甲同学能进入到数学建模社团为事件 A， 因为甲同学通过每个项目选拔的概率都为23，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立，所以 222833327p A 答：甲同学能进入到数学建模社团的概率为827 5 分 （2）X 的可能取值为 0，1，2，3 6 分 103P X ；2121339P X ； 2214233327P
14、X ；2228333327P X 高三数学第 3 页（共 6 页） 所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 13 29 427 827 10 分 所以 X 的数学期望 E(X)124838012339272727 12 分 19.（12 分） 解：（1）1111(1)1nnaan nnn 1 分 所以211121aa，321132aa，1111nnaann，其中2n 相加得1111naan，又因为11a ，所以1nan（2n） 4 分 当1n 时，11a 也符合上式，所以数列 na的通项公式1nan 5 分 （2）由（1）得221nan 6 分 令421nnbn， 当1n 时，1121
15、43abS， 当2n时，222144(1)111212(1)14nnnnnannnbbn， 所以121ab，1222bba ，12nnnbab 10 分 所以31212222121()nnnnnSbaaabbabbb 所以421nnSn 12 分 20（12 分） 解：（1）当12t 时，11112C EBDtBCC B ，即点 D，E 分别为 BC，11BC的中点， 在直三棱柱111ABCABC中，11AABB，11AABB，平面11BBCC为平行四边形， 连接 DE，则1DEBB，1DEBB，所以1DEAA，1DEAA， 所以四边形1DEAA是平行四边形，所以1ADAE 3 分 高三数学第
16、 4 页（共 6 页） 又因为AD 平面1AEB，1AE 平面1AEB， 所以AD平面1AEB 5 分 （2）方法一：方法一：在平面 ABC 内，过点 C 作 AD 的垂线，垂足为 H，连结1C H，则 1C HC为二面角1CADC的平面角，即13C HC， 在直角三角形1C HC中，13CC ，所以3CH 在直角三角形CHA中，3CH ，3AC ， 所以32sin32CHCAHAC，又因为CAH为锐角， 所以6cos3CAH且04CAH， 所以点 H 在线段 AD 的延长线上 9 分 CDA中，62 3sinsin()46CDHCAH，63 2sinCHCDCDH，所以3 2(63 2)22
17、3 2BDtBC 12 分 方法二：方法二：1AA 平面ABC，又90BAC，以1AB AC AA ， ，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则点(0 0 0)A ， ，(30 0)B ， ，(0 3 0)D ， ，1(0 33)C， ， 从而1(0 33)AC ， ，(3 3 0)BC ，(30)BDtBCtt ， 所以(3330)ADtt ， ， 设平面1AC D的一个法向量为1()nx y z ， 由11100nnACAD ， 有030( 1 )333t xtyyz ， 取1(1 1)nt tt ，又平面 ADC 的一个法向量为2(0 0 1)n ， 因为二面角1CADC的大
18、小为3，所以12121cos32nnn n 9 分 即2112342ttt，得2420tt， 又因为01t ，所以22t 12 分 HDCAB高三数学第 5 页（共 6 页） 21（12 分） 解：（1）因为椭圆 C 的离心率为22，且其右焦点 F 到右准线的距离为3， 所以22ca，且23acc，解得6a ，3c 2 分 所以2223bac，所以椭圆C的标准方程为22163xy 4 分 （2）设直线 MN 的方程为yxm，点11()M xy ，22()N xy ，00()A xy ， 直线 MN 的方程与椭圆方程联立得22163xyyxm ， 则2234260 xmxm，所以12212224
19、32631612(26)0 xxmmx xmm ， 由102010200yyyyxxxx，得120012002()()2()0 x xmxyxxx my 所以200002642()()2()033mmxymx my，整理得， 00002(2)2403yx mx y，所以000020240yxx y ， 10 分 因为点 A 在第一象限，所以0021xy ， 所以点 A 的坐标为(2 1)A ， 12 分 高三数学第 6 页（共 6 页） 22（12 分） 解：（1）当ea 时，2( )eln(e)f xxxx， 则2e2(12e)e(21)(e)( )12(e)=xxxxfxxxxx ，（0
20、x ） 令( )0fx，得ex ；令( )0fx，得ex ； 所以，函数( )g x的单调增区间为(e,)，单调减区间为(0,e) 3 分 （2）22(ln2e)( )ln2(e)axaxafxaxxx， 令2( )2(ln2e)0t xxaxa，因为2(ln2e)80aa， 所以方程22(ln2e)0 xaxa，有两个不相等的实根12x x ，（12xx）， 又因为1202ax x ，所以120 xx，令02xx，列表如下 x 0(0)x ， 0 x 0()x ， ( )fx 0 ( )f x 减 极小值 增 所以( )f x存在极值点0 x 7 分 因为2002(ln2e)0 xaxa，所以200022elnxxaxa， 记0( )lnu ttxt ，0( )1xu tt ， 当00tx 时，( )0u t，( )u t单调递减；当0tx时，( )0u t，( )u t单调递增 所以当0tx时，0( )lnu ttxt 的最小值为0000()lnu xxxx 所以200000022elnlnxxaxaxxx， 即200002(2e 1)ln0 xxxx， 10 分 因为00 x ，所以002ln(2e1)0 xx， 因为( )2ln(2e1)v ttt在(0) ，上单调递增，且0()(e)0v xv， 所以0ex ，则0 x的最小值是 e 12 分
