1、书书书数学? 文史类? 试题 第?页? 共?页?秘密?启用前 ? 考试时间? ? ? ?年?月? ?日? ? ? ? ? ? ? ? ?雅安市高? ? ? ?级第二次诊断性考试数?学?文史类?注意事项? 答卷前? 考生务必将自己的姓名? 准考证号填写在答题卡上?回答选择题时? 选出每小题答案后? 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑?如需改动? 用橡皮擦干净后? 再选涂其它答案标号?回答非选择题时? 将答案写在答题卡上?写在本试卷上无效? 考试结束后? 将本试卷和答题卡一并交回?一? 选择题? 本题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选项中? 只有一项是符合题目要求的
2、?已知集合? ? ? 则?已知复数? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 是? 的? 充分不必要条件? 必要不充分条件? 充分必要条件? 既不充分也不必要条件? 已知? ? ? ? ?槡? 则? ? ? ? ? ? ?槡? ? 如图? 长方体? ? ? ?中? 点?是棱?的中点? 点?是棱? ?上的动点? 给出以下结论?在?运动的过程中? 直线? ?能与? ?平行?直线? ?与? ?必然异面?设直线? ? ?分别与平面?相交于点? 则点?可能在直线? ?上? 其中? 所有正确结论的序号是? ? ? ? ?数学? 文史类? 试题 第?页? 共?页? 算法统宗? 是由明代数学家程大位
3、所著的一部应用数学著作? 其完善了珠算口诀? 确立了算盘用法? 并完成了由筹算到珠算的彻底转变? 该书清初又传入朝鲜? 东南亚和欧洲? 成为东方古代数学的名著?书中卷八有这样一个问题? ? 今有物靠壁? 一面尖堆? 底脚阔一十八个? 问共若干? 右图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法? 执行该程序框图? 输出的?即为该物的总数? 则总数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 已知直线?过点? ? 与圆?相交于? 使得? ?槡? ? 则满足条件的直线?的条数为? ? ? ? ?函数?的图象大致为? ? ? ? ? ?设? ? ?的内角?所对的边分别为? 且槡? ? ? ? ? ?
4、 ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ?年第? ?届冬季奥林匹克运动会? 即? ? ? ?年北京冬季奥运会? 的成功举办? 展现了中国作为一个大国的实力和担当? ? 一起向未来? 更体现了中国推动构建人类命运共同体的价值追求? 在北京冬季奥运会的某个比赛日? 某人欲在冰壶? ? 冰球? ? 花样滑冰? ? ? 跳台滑雪? ? ? 自由式滑雪? ? 这?个项目随机选择?个比赛项目现场观赛? 注? 比赛项目后括号内为? 表示当天不决出奖牌的比赛? ? ? 表示当天会决出奖牌的比赛? ? 则所选择的?个观赛项目中最多只有?项当天会决出奖牌的概率为? ? ? ? 已知双曲线?的一条渐近线为直线槡?的
5、右顶点坐标为? ? 右焦点为? 若点?是双曲线?右支上的动点? 点?的坐标为? ? 则?的最小值为?槡? ?槡? ?槡? ?槡? ? ? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则?的大小关系正确的是?二? 填空题? 本题共?小题? 每小题?分? 共? ?分? ? 已知向量? ? ? 若? ? 则实数?的值为? ?函数? ? ?的图象向右平移?后所得函数图象关于?轴对称? 则?数学? 文史类? 试题 第?页? 共?页? ? 已知抛物线?以坐标原点?为顶点? 以? 为焦点? 直线? ?与抛物线?交于两点? 直线? ?上的点? 满足? ? 则抛物线?的方程为? ? 已知?都在
6、同一个球面上? 平面? ? ?平面? ? ? ? ? ? ?是边长为?的正方形? ? ? ? ? 当四棱锥? ? ? ?的体积最大时? 该球的半径为?三? 解答题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤?第? ? ?题为必考题? 每个试题考生都必须作答?第? ? ?题为选考题? 考生依据要求作答? 一? 必考题? 共? ?分? ? ?分?某县为了解乡村经济发展情况? 对全县乡村经济发展情况进行调研? 现对? ? ? ?年以来的乡村经济收入? 单位? 亿元? 进行了统计分析? 制成如图所示的散点图? 其中年份代码?的值? ?分别对应? ? ? ?年至? ? ? ?年? 若用模型?
7、 ?槡? ?拟合?与?的关系? 其相关系数分别为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 试判断哪个模型的拟合效果更好? 根据? 中拟合效果更好的模型? 求?关于?的回归方程? 系数精确到? ? ? ? ? 并估计该县? ? ? ?年的乡村经济收入? 结果精确到? ? ? ?参考数据?槡? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?参考公式? 对于一组数据? ? ? ? ? ? ? 回归方程? ?中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为?
8、? ? ?分?已知数列? 中? 设? 求? 判断数列? 是不是等比数列? 并说明理由? 求数列? 的前?项和?数学? 文史类? 试题 第?页? 共?页? ? ?分?如图? ? 已知? ? ?是边长为?的等边三角形? 点?分别在? ? ?上? ?是线段?的中点? 将?沿直线?进行翻折?翻折到点? 使 得 平 面?平 面? ? 如图? 求证? ? 若? 求点?到平面? ? ?的距离? ? ?分?已知椭圆? 的离心率为槡? 点?槡?在椭圆?上? 求椭圆?的方程? 设? 是椭圆?上第一象限内的点? 直线?过?且与椭圆?有且仅有一个公共点?求直线?的方程? 用?表示? ?设?为坐标原点? 直线?分别与?
9、轴?轴相交于点? 求?面积的最小值? ? ?分?已知函数? ? ? ? 当?时? 求曲线? 在点? ? 处的切线方程? 若?为整数? 当?时? 求?的最小值? 二? 选考题? 共? ?分?请考生在第? ? ?题中任选一题作答? 如果多做? 则按所做的第一题记分? ? 选修? 坐标系与参数方程? ? ?分?在平面直角坐标系中? 已知直线?的参数方程为? ? ? ? ?为参数? ? 曲线?的方程为? 以坐标原点?为极点?轴的正半轴为极轴建立极坐标系? 求直线?及曲线?的极坐标方程? 设直线?与曲线?相交于?两点? 满足?槡? ? 求直线?的斜率? ? 选修? 不等式选讲? ? ?分?已知函数? ?
10、 ? ? 若存在? 使得? 求实数?的取值范围? 令? 的最小值为? 若正实数?满足? 求证? ?书书书数学? 文史类? 试题答案 第?页? 共?页?数学?文史类?参考答案评分说明? 本解答给出了一种或几种解法供参考? 如果考生的解法与本解答不同? 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则?对计算题? 当考生的解答在某一步出现错误时? 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度? 可视影响的程度决定后继部分的给分? 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半? 如果后继部分的解答有较严重的错误? 就不再给分? 解答右端所注分数? 表示考生正确做到这一步应得的累加分数? 只给整数分?选择
11、题和填空题不给中间分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? 解析? ? 因为相关系数? 所以模型?槡? ?的拟合效果最好?分? 令?槡? 知?与?可用线性方程? ?拟合? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分所以?关于?的线性回归方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?故?关于?的回归方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?槡?分? ? ? ?年? 即? ?时?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12、? ? ? ? ? ? ? ? 亿元? ?此时? 该县? ? ? ?年乡村经济收入的估计值为? ? ? ? ?亿元? ?分? ? 解析? ? 由已知?所以?分由?所以?分? 数列? 是等比数列? 理由如下?分数学? 文史类? 试题答案 第?页? 共?页?因为?分又?所以数列? 是首项为? 公比为?的等比数列?分? 由? 知? ? 所以? ?分所以? ? ? ? ? ?分? ?解析? ? 因为? ? ?是等边三角形? ?所以?也是等边三角形?因为?是?的中点?所以? ?分由已知? 平面?平面? ?所以? ?平面? ?分因为?平面? ?所以? ?分? 如图? 取? ?的中点? 连接? ? ?由?
13、可知? ? ?又由题意? ? ?所以?平面? ? ?因为? ? 则? ?平面? ? ?于是平面? ? ?平面? ? ?过?作? ?的垂线? 设垂足为? 则? ?平面? ? ?所以? ?为点?到平面? ? ?的距离?分因为? 等边? ? ?的边长为?则? 是边长为?的等边三角形?所以? ?槡? ?数学? 文史类? 试题答案 第?页? 共?页?而? ?槡? ? 则? ?槡? ?所以? ? ? ? ?槡? ? ? ?分易知?平面? ? ? 所以?到平面? ? ?的距离等于?到平面? ? ?的距离?所以?到平面? ? ?的距离为?槡? ? ? ?分注? 本题还可以用体积相等的关系求出?到平面? ? ?
14、的距离? ?解析? ? 依题意有?槡? 即?槡? ?分将?槡?代入椭圆?的方程? 得? ?分因为?由上可得?槡? ? ?分所以椭圆?的方程为? ?分?由题知? 切线?斜率存在? 设直线? 联立? ? ?消去? 得? ? ?由? ? ? ? ?即?此时? ? ?则?则直线?的方程为? 即? ?分另解? 因为椭圆?的方程为?所以椭圆在第一象限内的一段对应的函数解析式为?槡?槡?由题意? 直线?为曲线?槡?槡? 在点?处的切线?易知直线?的斜率为? ?槡?分则直线?的方程为? ? 即? ?分?令? 有? 令? 有?分数学? 文史类? 试题答案 第?页? 共?页?又? 由上可得? ? ?槡?槡? ?
15、?分所以?面积的最小值为槡? 当且仅当?时取得? ?分? ?解析? ? 当?时? ? ? ?所以?又因为? ? ? 其中?则在点? ? 处的切线斜率? ?所以? 切线方程为? ?分? 解法? 由题知? ? ? 其中?设? ? ? 则? ? ?可知? ? 为? 上的增函数? 则? ? ?所以? 为? 增函数? 则? 的最小值? ? ? ?分?当? ? 即?时? 即? ? 为增函数?则? ? ?由于?为整数? 可知?时?恒成立? 符合题意?分?当?时? ? ? ? ? ? ?则? 的最小值? ? ? ? 又? ?由于? 为? 的增函数? 则存在? 使得?即? ? ?当?时? 即? ? 为减函数?当
16、?时? 即? ? 为增函数?则?极小值? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中? ?令? ? ? ? ? 则? ? ?当?时? ? 在? 时单调递减?则? ? ? ? 即?极小值?则?也符合题意? ?分?当?时? ? ? ?数学? 文史类? 试题答案 第?页? 共?页?由于? 为? 的增函数?则存在实数? 且? ? 使得? 即? ? 故? 为减函数?则当? 时? ?故?不符合题意? 舍去?综上所述?的最小值为? ? ?分解法? 由于?时?恒成立?则? 所以? ?分?当?时? ? ? ? 则? ? ?令? ? ? 则? ? ?由? ? 为? 的增函数得? ? ?则? 为区间? 上的增函数?则?
17、的最小值? ? ? ?则存在实数? 使得? ? 使得? 即? ?故? 为? 上的减函数?所以?故?不符合题意? 舍去?分?当?时? ? ? ? ? ? ?则? 的最小值? ? ? ? 又? ?由于? 为? 的增函数? 则存在? 使得?即? ? ?当?时? 即? ? 为减函数?当?时? 即? ? 为增函数?则?极小值? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中? ?令? ? ? ? ? 则? ? ?当?时? ? 在? 时单调递减?则? ? ? ? 即?极小值?则?也符合题意?综上所述?的最小值为? ? ?分? ? 解析? ? 由直线?的参数方程? ? ? ? ?为参数? 可知直线?的极坐标方程为?分
18、由? ? ? ? ?分数学? 文史类? 试题答案 第?页? 共?页?代入?中?可得曲线?的极坐标方程为? ? ? ?分说明? 写直线?的极坐标方程时? 不必要求说明?可以取负? 或加上? 联立直线?和曲线?的极坐标方程? ? ?整理? 得? ? ?上述关于?的一元二次方程有两个实根?于是? ? ? ? ?分由题意? 可设?因为?槡? ? 则? ? ? ?即? ? ? 又? 则有? ?所以? ? ? ? ? ? ?所以? ? ? 所以? ? ?故直线?的斜率为槡?或槡? ? ?分? ?解析? ? 当?时? 当?时? 当?时?则? 的最小值为? ?分由于存在? 使得?则只需? 的最小值?不大于?即可?分即有? 解得?故?的取值范围是?分? 由? 可知? 的最小值为? 则?则? ?分? ?分? ?槡?槡?槡? ?当且仅当?且?取? ? 即?取?所以? ? ?分
