1、一元二次方程问题： 建造一个面积为20平方米，长比宽多 1 米的长方形花坛，问它的宽是多少？解： 设这个花坛的宽为x米，x则长为（x+1）米，x+1根据题意得： x ( x+1) = 20 即 x 2 + x - 20 = 0一元二次方程一元二次方程 x + x - 20 = 02观察方程观察方程 等号两边都是整式 又只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2这样的方程叫一元二次方程特征如下：有何特征？一元二次方程请判断下列方程是否为一元二次方程：练习练习(1) 2x = y 2 - 1(3) x 2- - 3 = 02x(2) - y 2 = 1y3(4) 3z2+1 = z (2z2 -
2、1)(5) x 2 = 0以上方程中(1)、(3)、(4)不是一元二次方程(6) ( x + 2) 2 = 4一元二次方程 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式任何一个关于任何一个关于x 一元二次方程一元二次方程,经过整理都可以化为经过整理都可以化为以下形式以下形式 a x 2 + b x + c = 0 (a 0)二次项系数二次项系数a a ab b b一次项系数一次项系数常数项常数项ccc练习练习请填写下表: 方方 程程二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数常数项常数项2x2+x -3=0 x2+x = 1 x- 7x2 = 0 3y2 = 621-311-1-71030-6
3、说明：说明：要确定一元二次方程的系数和常数项，要确定一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。必须先将方程化为一般形式。一元二次方程一元二次方程巩固练习巩固练习:填空题填空题 方程方程 3x ( x+2) = 11+2(3x5)的二次项系的二次项系数、一次项系数与常数项的积是数、一次项系数与常数项的积是3x ( x+2) = 11+2(3x5)3x ( x+2) = 11+2(3x5)3x2 + 6x = 11 + 6x 103x2 + 6x 6x11 10 = 03x2 1 = 0二次项系数为二次项系数为3，常数项为，常数项为-1，一次项系数为，一次项系数为00000000一元二
4、次方程一元二次方程解一元二次方程解一元二次方程 求一个一元二次方程的根的过程，叫求一个一元二次方程的根的过程，叫解一元解一元二次方程二次方程。 使得一个一元二次方程方程左右两边的值相等使得一个一元二次方程方程左右两边的值相等的未知数的值叫做这个一元二次方程的的未知数的值叫做这个一元二次方程的根根。 一元二次方程化为一般形式一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a0)后，如果它的左边的二次三项式能因式分解，那么后，如果它的左边的二次三项式能因式分解，那么就可以用就可以用因式分解法因式分解法解这个方程解这个方程。例例 解方程：解方程：(1) x2x = 0(2) 2 x2+13x 7=
5、0巩固练习巩固练习(1) 3 x227 = 0一元二次方程一元二次方程(1) x2x = 0解解:把方程左边分解因式把方程左边分解因式,得得 x(x) = 0 x = 0 或或x x 3 = 03 = 0原方程的根是原方程的根是x1=0 , x2=3一一元元二二次次方方程程(2) 2 x2+13x 7= 0解解:把方程左边分解因式把方程左边分解因式,得得(2x -)(x) = 0 2x -1 = 0 , x =0.5或或 x +7 = 0, x = -原方程的根是原方程的根是x1=0.5 , x2= -7一一元元二二次次方方程程第（第（1）题答案：）题答案：3x2 27=0 x2 9 = 0
6、(x+3)(x 3) = 0 x1=3 , x2=3x+3 = 0 或或x 3 = 0=一一元元二二次次方方程程第（第（2）题答案：）题答案：(x+4)(x 3) = 0 x1=4 , x2=3x+4= 0 或或x 3=0一一元元二二次次方方程程第（第（3）题答案：）题答案：(3x+1)(2x 1) = 0 x1=? , x2=?3x+1= 0 或或2x 1=0一一元元二二次次方方程程例例 解方程：解方程：(1) x2x = 0(2) 2 x2+13x 7= 0巩固练习巩固练习(1) 3 x227 = 0一一元元二二次次方方程程例例 解方程：解方程：(1) x2x = 0(2) 2 x2+13
7、x 7= 0巩固练习巩固练习(1) 3 x227 = 0(2) x2+x 12= 0(3) 6x2 x 1= 0一一元元二二次次方方程程例例 解方程：解方程：(1) x2x = 0(2) 2 x2+13x 7= 0巩固练习巩固练习(1) 3 x227 = 0(2) x2+x 12= 0(3) 6x2 x 1= 0一一元元二二次次方方程程一一元元二二次次方方程程 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式任何一个关于任何一个关于x 一元二次方程一元二次方程,经过整理都可以化为经过整理都可以化为以下形式以下形式 a x 2 + b x + c = 0 (a 0)二次项系数二次项系数a a ab
8、b b一次项系数一次项系数常数项常数项c c c 说明：说明：要确定一元二次方程的系数和常数项，要确定一元二次方程的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。必须先将方程化为一般形式。小小 结结一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式因式分解法因式分解法如果如果a是一元二次方程是一元二次方程x23x+m=0的的一个根，一个根，-a是一元二次方程是一元二次方程x2 + 3xm=0的一个根，那么的一个根，那么a的值是多少？的值是多少？ 解下列方程：解下列方程： 9x29 (x+5)29 16x2-13=3 (3x+2)2-49=0 2(
9、3x+2)2=2 81(2x-5)2-16=0知识准备知识准备 x1=1, x2=-1 x1=-2, x2=-8 x1=1, x2=-1 x1=-3, x2=5/3 x1=-3, x2=-1/3 x1=49/18, x2=41/18 一般地一般地,对于形如对于形如x2=a(a0)或或(mx+n)=a (a0)的方程的方程,根据根据平方根的定义平方根的定义,直接开平方可求解。直接开平方可求解。 这种解一元二次方程的方法这种解一元二次方程的方法叫做叫做直接直接 问题问题2 要使一块长方形场地的长比宽多要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为，并且面积为16m，场地的长和宽应各，场地的长和宽应各
10、是多少？是多少？解：设场地的宽为解：设场地的宽为xm,则长为则长为 .根据长方形面积为根据长方形面积为16m，得：，得：（x+6）mx(x+6)=16即即 x+6x-16=0怎样解方程怎样解方程 x+6x-16=0？能把方程能把方程 x+6x-16=0转化成转化成(mx+n)=a 的形式吗？的形式吗？ +6 -16=0 xx移项移项1662xx两边加上两边加上32,使左边配成使左边配成完完全平方式全平方式22231636xx左边写成完全平方的形式左边写成完全平方的形式25)3(2x开平方开平方53x3 5,+ =5+-3=xx8, 2:21xx得变成了变成了(mx+n)2=a的形式的形式共共同
11、同探探索索 把一元二次方程的左边配成一个把一元二次方程的左边配成一个完全平方式完全平方式, ,然后用然后用开平方法求解开平方法求解, ,这这种解一元二次方程的方法叫做种解一元二次方程的方法叫做配方法配方法. .配方的作配方的作用是？用是？降降次次 (1)x28x =(x )2 (2)x24x =(x )2 (3)x26x =(x )2442 23 3思考：当二次项系数是思考：当二次项系数是1 1时，常数项与时，常数项与一次项的系数有怎样的关系？一次项的系数有怎样的关系？规律：当二次项系数是规律：当二次项系数是1 1时，常数项是时，常数项是一次项系数一半的平方。一次项系数一半的平方。_)(_)(
12、_)(_)(22222222_21)4(_5)3(_8)2(_2) 1 (yyyyxxxxyyxx1242）（25225）（41241解方程解方程：x2-8x+1=0 解：移项得：解：移项得：x2-8x=-1 配方得：配方得：x2 -8x+4=-1+4写成完全平方式：写成完全平方式： (x-4)2=15开方得：开方得：x-4= + x-4= x-4=- x1= x2=二次项和一次项在等号左边，常数项移到二次项和一次项在等号左边，常数项移到等号右边等号右边两边同时加上一次项系数一半的平方两边同时加上一次项系数一半的平方注意：正数的平方根有两个注意：正数的平方根有两个配方法配方法 例题例题1515
13、1515415-4 x+10 x+9=0 x-x- =047 x=4-2x自我尝试自我尝试9 -x1 -x21，2-21x221x21，5-1 -x51 -x21， x22x40 方程无实数根方程无实数根1 1、将方程变为一般形式。、将方程变为一般形式。2 2、移项，把常数项移到方程的右边。（、移项，把常数项移到方程的右边。（变号变号）3 3、配方，方程的两边都加上、配方，方程的两边都加上一次项系数一一次项系数一 半的平方半的平方。（等式的性质）。（等式的性质）4 4、方程左边写成完全平方的形式。、方程左边写成完全平方的形式。5 5、利用直接开平方法开方求得两根。、利用直接开平方法开方求得两根
14、。自我自我 测测 试试3.若若x2 mx+49是一个完全平方式，则是一个完全平方式，则m= 。2.关于关于x的二次三项式的二次三项式x2 +4x+k是一个完全是一个完全平方式，则平方式，则k的值是的值是 。1.将一元二次方程将一元二次方程x x2 2-2x-4=0-2x-4=0用配方法化成用配方法化成（x+ax+a）2 2=b=b的形式为的形式为_ _ _ _ _， 所以方程的所以方程的根为根为 4.用配方法将二次三项式用配方法将二次三项式a2-4a+5变形结果是（变形结果是（ ） A（a-2）2+1 B（a+2）2-1 C（a+2）2+1 D（a-2）2-1(x-1)=551x51x21，4
15、14A 8.若若a2+2a+b2-6b+10=0,则则a= ，b= 。6若若x2+6x+m2是一个完全平方式，则是一个完全平方式，则m的值是（的值是（ ） A3 B-3 C3 D以上都不对以上都不对101410105用配方法解方程用配方法解方程x2+4x=10的根为（的根为（ ） A2 B-2 C-2+ D2-B C 自我自我 测测 试试7如果关于如果关于x的方程的方程x2+kx+3=0有一个根是有一个根是-1，那么那么k=_，另一根为，另一根为_4 -3 -1 3 11.用配方法解下列方程：用配方法解下列方程：（1）x2 -3x-1=0 （2）x2 1/2x-1/2=0（3）(x-1)(x+
16、2)=1自我自我 测测 试试10.证明证明:代数式代数式x2+4x+ 5的值不小于的值不小于1. 9. 用配方法说明：不论用配方法说明：不论k取何实数，多项式取何实数，多项式k23k5的值必定大于零的值必定大于零.二、二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？用配方解一元二次方程的步骤是什么？ (情境导入情境导入) 一、一、 用配方法解下列方程用配方法解下列方程: 2x-3x+1=01、化化 1: 把二次项系数化为把二次项系数化为1;2、移移项项:把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边;3、配配方方:方程两边都加上一次项系数一半的平方方程两边都加上一次项系数一半的平方;4、变变形形:方程左边
17、分解因式方程左边分解因式,右边合并同类项右边合并同类项;5、开开方方:根据平方根意义根据平方根意义,方程两边开平方方程两边开平方;6、定定解解:写出原方程的解写出原方程的解. 1.理解求根公式的推导过程；理解求根公式的推导过程； 2.学生能熟练地运用公式法求解一元二次方学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程程. 用配方法解方程用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0) 把方程两边都除以把方程两边都除以 20bcxxaa 解解: :a移项，得移项，得2bcxxaa 配方，得配方，得22222bbcbxxaaaa 即即222424bbacxaa 用配方法解用配方法解一般形式的一般形式的一元二次方
18、程一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 当当 时，方程有实数根吗？时，方程有实数根吗？当当 呢呢 ？b2-4ac0b2-4ac0用配方法解一般形式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程22424bbacxaa 242bbacxa 2422bbacxaa 即即一元二次方程的一元二次方程的求根公式求根公式特别提醒特别提醒ax2+bx+c=0(a0)a0, b2-4ac0w 一般地一般地, ,对于一元二次方程对于一元二次方程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0) .04.2422acbaacbbxw上上面这个式子称为一元二次方程的求根公式面这个式子称为一元二次方程
19、的求根公式. .w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法法:,042它的根是时当 acb根据例题自己总结出用公式法解一元二方程根据例题自己总结出用公式法解一元二方程的一般步骤：的一般步骤：1、把方程化成一般形式、把方程化成一般形式,并写出并写出a，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。3、代入、代入求根公式求根公式 :4、写出方程的解：、写出方程的解： x1=?, x2=?(a0, b2-4ac0)X= 05136)2(2yy056).1 (2xx2-)22() 3(tt随堂练习随堂练习1:1:用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：0169).2(2xx06105).3(2xx0892).1 (2xx随堂练习随堂练习1:1:用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：总结总结写出写出acb4-. 22再求出b2-4ac0b2-4ac0
