1、海淀区20212022学年第二学期期中练习 高三数学参考答案 2022.03一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BACBDACCAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。题号（11）（12）（13）（14）（15）答案22；11（只需即可）说明： 12题、14题两空前3后2；15题全选对5分，漏选1个3分，漏选2个2分，不选0分。三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题共14分）解：（）满足条件和条件. 由， 得, 所以的最大值为. 由条件：的最大值为，得，得. 当时，满足条件，当时，不满足条件， 所以，满
2、足条件和，且. （） 方法1:当时，, 因为在区间上有且只有一个零点，所以， 得，所以的取值范围是. 方法2:令， 得. 所以的所有零点为，即因为在区间上有且只有一个零点，所以该零点为, 的取值范围是 （17）（本小题14分）解：（）在四棱柱中，取棱AD中点为O， 因为，所以. 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面. 所以. 因为底面是正方形，所以， 因为， 所以平面. 所以，即. （）如图建立空间直角坐标系，设长度为，因为正方形的边长，则， ，. 所以，. 设平面的法向量为，则 令，则， 于是. 因为与平面的所成角的正弦值为，所以， 所以 ， 所以. （18）（本小题14分）解：（）早睡人
3、群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组. （）X的取值范围是，1，2， 所以随机变量的分布列为：X0123P所以随机变量的数学期望.（）这种说法不正确.例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均值为所以这种说法不正确. 法2. 例如：当第1组均值为0，第2组均值为51，第3组均值为66，第4组均值为76，第5组均值为91，则睡眠指数的均值为.所以这种说法不正确.（19）（本小题14分）解：（）因为，所以， 所以，所以切线为：. （）.（1）当时，令，得，与的情况如下：x-,000,+fx+
4、0-fx此时，在处取得极大值，符合题意； （2）当时，令，得，或. 当时, ,与的情况如下：x-,000,1a-21a-21a-2,+fx+0-0+fx此时，在处取得极大值，符合题意； 当时，单调递增，无极大值，不符合题意； 当时, ,与的情况如下：x-,1a-21a-21a-2,000,+fx+0-0+fx此时，在处取得极小值，不符合题意； （3）当时，.与的情况如下：x-,1a-21a-21a-2,000,+fx-0+0-fx此时，在处取得极大值，符合题意.综上，. （）. （20）（本小题15分）解：（）由可知 椭圆方程,所以，离心率.（）方法一：由，得， 由，得. 设则， 由题意得，因
5、为三点共线，且直线BQ斜率存在，所以，即， 所以 化简得，.所以. 又因为，所以,所以恒过定点. 方法二：下面证明恒过定点.设则,所以,设直线，代入,得：,因为，所以,所以，用代替，得.所以，所以三点共线,所以恒过定点.（21）（本小题14分）解：（）因为，所以所以是数列 （）因为是数列，所以解得（） 先证明()则所以() 再证明()是公差为1的等差数列设，则所以所以 ()是公差为1的等差数列 接下来证明()是公差为1的等差数列设，则所以所以()是公差为1的等差数列 由、，()是公差为1的等差数列因为，所以因为，所以又由、，所以因为，所以所以() 最后证明()，从而 当时，已证（反证法）假设存在使得不成立，且此时最小的为则，即所以所以又因为，所以，与假设矛盾所以()恒成立，从而8
