1、小学数学知识体系架构小学数学知识体系架构 及重难点教学建议及重难点教学建议三、统计与三、统计与概率概率 二、空间与二、空间与图形图形四、实践四、实践与综合应与综合应用用一、数与一、数与代数代数一、数与代数一、数与代数1.1.数的认识数的认识2.2.数的运算数的运算3.3.常见的量常见的量4.4.式与方程式与方程5.5.比和比例比和比例6.6.数学思考数学思考1.1.数的认数的认识识 整整 数数 小小 数数 分分 数数百百 分分 数数一、数与代数一、数与代数1 、整数的意义。、整数的意义。 自然数和自然数和0都是整数都是整数。 （一）整数四年级上册四年级上册2、自然数。、自然数。 我们在数物体的
2、时候，用来表示物体个数的我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、 3叫做自然数。叫做自然数。 一个物体也没有，用一个物体也没有，用0表示。表示。0也是自然数。也是自然数。 3、计数单位。、计数单位。 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿亿都是计数单位。都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计。这样的计数法叫做十进制计数法。数法叫做十进制计数法。 4、数位。、数位。 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。叫做数位。 判断
3、： 最高位的计数单位是千万位。（ ）1、读含有、读含有0的数的技巧。读含有的数的技巧。读含有0的数时要特别的数时要特别注意哪些注意哪些0要读，哪些要读，哪些0不用读。这时分级的作用不用读。这时分级的作用就体现出来了。如就体现出来了。如50 0007 8000。为了强化读含。为了强化读含有有0的数的技巧。可以根据实际情况出一些针对的数的技巧。可以根据实际情况出一些针对性的练习。如：性的练习。如：下面的数中，读出一个零的是（下面的数中，读出一个零的是（ ），读出两），读出两个零的是（个零的是（ ），一个零也不读的是），一个零也不读的是（ ）A、5002 4010 B、5020 0401 C、524
4、0 0100 D、5241 0000 E、 5020 0410 F、5240 1000 G、 5002 41002、写含有、写含有0的数的技巧。写数的时候也要特别注意的数的技巧。写数的时候也要特别注意0。有。有的时候一个数的的时候一个数的0只读一个或者不读，但写时要写几个。只读一个或者不读，但写时要写几个。如如4006 2900。要处理好写含有。要处理好写含有0的数的技巧，关键是让的数的技巧，关键是让学生明白每四个数位为一级。不满四位数用学生明白每四个数位为一级。不满四位数用0补足。补足。如写数：十五亿零三十万零五百如写数：十五亿零三十万零五百 写作：写作：15 0030 0500 十五亿零三
5、百万零五十十五亿零三百万零五十 写作：写作：15 0300 0050 十五亿零三万零五十五亿零三万零五 写作：写作：15 0003 0005因数因数倍数倍数 质质 数数 合合 数数 1公因数公因数公倍数公倍数 最大公因数最大公因数互质数互质数最小公倍数最小公倍数2，3，5的倍数的特征的倍数的特征（一）整数5、因数与倍数。、因数与倍数。 五年级下册五年级下册 注意：注意：在研究因数和倍数的时候，我们所说的在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括数指的是整数（一般不包括0） 整整数数1、能根据生活情境正确地理解负数的意义，会读、写负数。理解0既不是正数也不是负数。2、体会数轴上正
6、、负数的排列规律；能借助数轴比较整数、0和负数的大小。6.负数的认识负数的认识 六年级下册第一单元六年级下册第一单元（一）整数小数小数小数的意义小数的意义小数的数位和计数单位小数的数位和计数单位小数的读法和写法小数的读法和写法小数的性质小数的性质小数点移动引起小数大小的变化小数点移动引起小数大小的变化 小数的小数的 分类分类按整数部分分按整数部分分 按小数部分分按小数部分分纯小数纯小数带小数带小数有限小数有限小数 无限小数无限小数循环小数循环小数 不循环小数不循环小数（二）小数三年级下册及四年级下册三年级下册及四年级下册难点难点：理解小数点位置的移动引起小数大小的变化。 小数点作用大，左移小、
7、右移大，小数点作用大，左移小、右移大，右移一位扩大十倍，右移两位扩大百倍右移一位扩大十倍，右移两位扩大百倍左移一位缩小到原数的十分之一，左移两位缩小到原数的百分之一左移一位缩小到原数的十分之一，左移两位缩小到原数的百分之一分数分数分数的意义分数的意义分数读法和写法分数读法和写法分分 数数 的的 分分 类类分数与除法的关系分数与除法的关系分数的基本性质分数的基本性质分数的大小比较分数的大小比较真分数真分数假分数假分数 最简分数最简分数整整 数数约分约分通分通分带分数带分数（三）分数（三）分数 三年级上册及五年级下册三年级上册及五年级下册百分数百分数百分数的意义百分数的意义百分数的读、写法百分数的
8、读、写法百分数、分数、小数的互化及大小比较百分数、分数、小数的互化及大小比较 成数、折扣、税率、利率成数、折扣、税率、利率（四）百分数（四）百分数 六年级上册六年级上册2.数数 的的 计计 算算（1）教材编排）教材编排一上：一上：20以内进位加法以内进位加法 一下：一下：20以内退位加减法以内退位加减法 、100以内不进位不退位加、减法以内不进位不退位加、减法二上：二上：100以内进位退位加、减法以内进位退位加、减法 及表内乘法及表内乘法二下：表内除法二下：表内除法 万以内不连续进位退位加减法万以内不连续进位退位加减法三上：万以内不连续进位退位加减法、有余数的除法、多三上：万以内不连续进位退位
9、加减法、有余数的除法、多位数乘一位数、同分母分数加减法位数乘一位数、同分母分数加减法三下：除数是一位数的除法、三下：除数是一位数的除法、 两位数乘两位数两位数乘两位数四上：三位数乘两位数、除数是两位数的除法四上：三位数乘两位数、除数是两位数的除法四下：四则运算、小数的加减法四下：四则运算、小数的加减法五上五上:小数乘法、小数除法小数乘法、小数除法五下：分数加减法五下：分数加减法六上：分数乘法、六上：分数乘法、 分数除法分数除法奥数题：把一堆棋子按下面的规律排列起来。那么第21颗棋子是（ ）色的，第43颗棋子是（ ）色。余数与除数的关系：余数与除数的关系：除数姐姐余数妹除数姐姐余数妹21 6=3
10、（组）（组）3（个）（个）43 6=7（组）（组）1（个）（个）白白白白数数的的计计算算四则运算意义四则运算意义四则运算法则四则运算法则四则运算定律四则运算定律 和性质和性质四则运算四则运算 的顺序的顺序加法加法交换律：交换律：a+b=b+a结合律结合律:（a+b）+c = a+(b+c)乘法乘法交换律交换律 ab = ba结合律结合律(ab)c = a(bc)分配律分配律(a+b)c = ac + bc减法：减法： a(b+c) = abc除法：除法： a(bc) =abc2、数的计算、数的计算 同级运算同级运算 加法和减法加法和减法（没有括号）（没有括号） 乘法和除法乘法和除法从左往右从左
11、往右含两级运算含两级运算（没有括号）（没有括号）先做第二级运算先做第二级运算后做第一级运算后做第一级运算有括号算式有括号算式 先算括号里面的先算括号里面的四年级下册四年级下册a+0=a a0=0 0a=0a-0=a a1=a aa=1 a-a=0 a1=a 1a= 有关和在计算中的特性有关和在计算中的特性（a作除数时不为作除数时不为0） 2.数数 的的 计计 算算a13、式与方程、式与方程 式式 与与 方方 程程 表示计算公式表示计算公式表示数量关系表示数量关系 用字母表示数用字母表示数 表示运算定律表示运算定律 方程、方程的解、解方程方程、方程的解、解方程简易方程简易方程 等式的性质等式的性
12、质 解简易方程解简易方程五年级上册五年级上册4.、常见的量、常见的量量量 与与 计计 量量计量单计量单位及进位及进率率长度：千米长度：千米1000米米 10 分米分米 10 厘米厘米10毫米毫米面积：平方千米面积：平方千米100公顷公顷10000平方米平方米100平方分米平方分米100平方厘米平方厘米体积：立方米体积：立方米1000立方分米立方分米1000立方厘米立方厘米容积：升（容积：升（1升升=1立方分米）立方分米）1000 毫升（毫升（1毫升毫升=1立方厘米）立方厘米）重量：吨重量：吨 1000 千克千克 1000 克克时间：世纪时间：世纪100年年12月月 365 日日 24 时时 6
13、0 分分 60 秒秒聚化方法聚化方法单名数、复名数互化单名数、复名数互化6020千克千克=（ ）吨）吨小单位小单位 大单位大单位 进率进率 小数点向左移动小数点向左移动0.2公顷公顷=（ ）平方米）平方米大单位大单位 小单位小单位 进率进率 小数点向右移动小数点向右移动6.022000 5、比和比例、比和比例六年级下册六年级下册六年级下册六年级下册六年级下册六年级下册六年级下册六年级下册六年级下册六年级下册 6.数学思考数学思考（1）、找规律：探索图形和数字的排列规律。）、找规律：探索图形和数字的排列规律。（2）、数学广角：排列、组合、可能性、集合、等量代换、）、数学广角：排列、组合、可能性、
14、集合、等量代换、植树问题、逻辑推理、统筹优化、数字与编码、抽屉原理、植树问题、逻辑推理、统筹优化、数字与编码、抽屉原理、鸡兔同笼等方面的数学思想方法。鸡兔同笼等方面的数学思想方法。 一年级下册一年级下册 找规律找规律 一年级下册一年级下册 找规律找规律二年级上册二年级上册 排列与组合排列与组合二年级上册二年级上册 推理推理二年级下册二年级下册 找规律找规律二年级下册二年级下册 找规律找规律三年级上册三年级上册 排列与组合排列与组合三年级上册三年级上册 排列与组合排列与组合三年级下册三年级下册 重叠问题重叠问题三年级下册三年级下册 等量代换等量代换四年级上册四年级上册 烙饼问题烙饼问题最少时间最
15、少时间=烙饼张数烙饼张数烙一面的时间（除一饼外）烙一面的时间（除一饼外）四年级上册四年级上册 沏茶问题沏茶问题四年级上册四年级上册 卸货问题卸货问题四年级上册四年级上册 田忌赛马田忌赛马对策问题对策问题四年级下册四年级下册 植树问题植树问题四年级下册四年级下册 植树问题植树问题四年级下册四年级下册 植树问题植树问题五年级上册五年级上册 数字编码数字编码五年级下册五年级下册 找次品找次品五年级下册五年级下册 找次品找次品六年级上册六年级上册 鸡兔同笼鸡兔同笼六年级上册六年级上册 鸡兔同笼鸡兔同笼六年级上册六年级上册 鸡兔同笼鸡兔同笼六年级下册六年级下册 抽屉问题抽屉问题六年级下册六年级下册 抽屉
16、问题抽屉问题六年级下册六年级下册 抽屉问题抽屉问题二、空间与图形二、空间与图形-平面图形的认识平面图形的认识平平面面图图形形的的认认识识线线角角平平面面图图形形直线直线- 没有端点没有端点射线射线-有一个端点有一个端点线段线段-有两个端点有两个端点平行线平行线-同一平面内不相交的两条直线同一平面内不相交的两条直线垂线垂线-两条直线相交成直角两条直线相交成直角锐角锐角-锐角锐角 90直角直角-直角直角=90钝角钝角- 90 钝角钝角180 平角平角-平角平角=180 周角周角-周角周角=360 按角分类按角分类三角形三角形 按边分类按边分类 锐角三角形锐角三角形 直角三角形直角三角形 钝角三角形
17、钝角三角形 等腰三角形等腰三角形 等边三角形等边三角形 不等边三角形不等边三角形 四边形四边形平行四边形平行四边形 长方形长方形 正方形正方形梯形：直角梯形、等腰梯形、一般梯形梯形：直角梯形、等腰梯形、一般梯形圆圆四年级上册四年级上册四年级下册四年级下册四年级上册四年级上册六年级上册六年级上册1、书本通过让学生观察从小孔、书本通过让学生观察从小孔射出的手电筒的光线，直观描射出的手电筒的光线，直观描述了什么是射线和直线。述了什么是射线和直线。 教学教学时要把握好这节课的教学重点。时要把握好这节课的教学重点。这节课的重点应该放在教学直这节课的重点应该放在教学直线和射线的认识上，关键要让线和射线的认
18、识上，关键要让学生搞清楚直线、射线和线段学生搞清楚直线、射线和线段的联系与区别（的联系与区别（从端点个数、从端点个数、延长情况、度量情况区别延长情况、度量情况区别） ，可以让学生把讨论的结果整理可以让学生把讨论的结果整理成一个表格。成一个表格。2、认识角的概念，会、认识角的概念，会说出角各部分的名称。说出角各部分的名称。对于对于“角角”学生有了一定的学生有了一定的基础，已经知道了角的各部基础，已经知道了角的各部分的名称。应着重在射线概分的名称。应着重在射线概念的基础上说明角的含义。念的基础上说明角的含义。角的表示法是一种规定，可角的表示法是一种规定，可以直接告诉学生，也可以让以直接告诉学生，也
19、可以让他们自学书本，注意角的书他们自学书本，注意角的书写符号与小于号的区别。写符号与小于号的区别。3、会量角、会画角会比、会量角、会画角会比较角的大小，知道角的大较角的大小，知道角的大小与边的长短没有关系，小与边的长短没有关系，与边的叉开大小有关系。与边的叉开大小有关系。可以给予学生自主学习可以给予学生自主学习的空间，首先，可以让的空间，首先，可以让每个学生画一个角，同每个学生画一个角，同桌间比较角的大小。引桌间比较角的大小。引导学生先自己尝试量一导学生先自己尝试量一量所画角的度数。并归量所画角的度数。并归纳量角的方法。纳量角的方法。 （量角（量角器的中心点与射线的端器的中心点与射线的端点重合
20、，零度刻度线和点重合，零度刻度线和射线重合）射线重合）4、会把不同的角分类。、会把不同的角分类。例例2借助两把折扇的实物图，借助两把折扇的实物图，引出平角和周角的概念。而周引出平角和周角的概念。而周角的教学则是一个难点，角的角的教学则是一个难点，角的两条边重合，教学时可以拿了两条边重合，教学时可以拿了折扇慢慢打开，使学生看清扇折扇慢慢打开，使学生看清扇子转了一圈。从而理解周角。子转了一圈。从而理解周角。例例3则重点引导学生依据则重点引导学生依据角的度数加以区分锐角、角的度数加以区分锐角、钝角、直角、平角和周钝角、直角、平角和周角之间的关系。角之间的关系。1、注意教给学生量角注意教给学生量角与画
21、角的方法。与画角的方法。可以先让学生尝试着画一个指可以先让学生尝试着画一个指定度数的角。再让同桌用量角定度数的角。再让同桌用量角器帮助检查度数是否正确。这器帮助检查度数是否正确。这样也加强了量角和画角的沟通样也加强了量角和画角的沟通与联系。与联系。空间与图形空间与图形-平面图形的周长和面积计算公式平面图形的周长和面积计算公式 （ 周长周长:C 面积面积:S ） 平平面面图图形形的的周周长长和和面面积积长方形长方形 C=（a+b)2 S=ab 正方形正方形 C=4a S=aa平行四边形平行四边形 S=ah三角形三角形 S=ah 2梯形梯形 S=（a+b)h2圆圆 C=d=2r S=r （3.14
22、）组合图形组合图形立体图形立体图形二、空间与图形二、空间与图形-立体图形立体图形长方体长方体正方体正方体圆柱圆柱圆锥圆锥特征特征-6个面、个面、12条棱、条棱、8个顶点，相对个顶点，相对 的面完全相同，相对的棱长度相等；的面完全相同，相对的棱长度相等；表面积：表面积：S=2(ab+ah+bh)体积：体积：V=abh特征特征-6个面、个面、12条棱、条棱、8个顶点，个顶点，6个面个面是完是完 全相同的正方形，全相同的正方形，12条棱长度都相等；条棱长度都相等；表面积：表面积：S=6a体积：体积： V=a特征特征-两底是相等的两个圆，侧面展开两底是相等的两个圆，侧面展开 图形是长方形（或正方形）图
23、形是长方形（或正方形） 表面积：表面积：S=ch+2 r 体积：体积：V=Sh特征特征-两个面，底面是一个圆，两个面，底面是一个圆， 侧面是一个曲面；侧面是一个曲面；体积：体积：V= S h31二、空间与图形二、空间与图形-图形的位置与变换图形的位置与变换图图形形的的位位置置与与变变换换*用上、下、前、后、左、右来确定用上、下、前、后、左、右来确定*用东、南、西、北等方向来确定位置用东、南、西、北等方向来确定位置*把方向和距离结合起来确定位置把方向和距离结合起来确定位置*用数对来确定位置用数对来确定位置图形图形变变换方式换方式轴对称图形轴对称图形平移、平移、旋转旋转图形的扩大与缩小图形的扩大与
24、缩小确定确定位置位置方向方向辨认方向辨认方向根据方位角度与距离描述路线图的方位根据方位角度与距离描述路线图的方位四年级下册四年级下册四年级下册四年级下册四年级下册四年级下册四年级下册四年级下册六年级上册六年级上册六年级上册六年级上册五年级下册五年级下册五年级下册五年级下册五年级下册五年级下册三、统三、统 计计 与与 概概 率率统统 计计 与与 概概 率率统计表统计表统计图统计图统计量统计量可能性可能性单式统计表单式统计表复式统计表复式统计表条形统计图条形统计图折线统计图折线统计图扇形统计图扇形统计图平均数：总数量平均数：总数量总份数总份数=平均数平均数中位数：一组数据中按大小顺序排列中位数：一
25、组数据中按大小顺序排列后，处在后，处在 中中间的一个数（或中间两数的平均数）间的一个数（或中间两数的平均数）众数：一组数据中出现次数最多的数众数：一组数据中出现次数最多的数四、解决问题四、解决问题解解 决决 问问 题题一般步骤一般步骤常用的常用的分析方法分析方法弄清题意，找出已知条件和要求的问题弄清题意，找出已知条件和要求的问题分析题中的等量关系，确定先算什么，再算什么分析题中的等量关系，确定先算什么，再算什么列式并计算列式并计算检验并写出答案检验并写出答案分析法分析法-从问题出发，逐步分析到题中已知条件从问题出发，逐步分析到题中已知条件综合法综合法-从已知条件出发，逐步推出未知从已知条件出发
26、，逐步推出未知分析分析综合法综合法-将上述两种方法同时结合起来分析将上述两种方法同时结合起来分析解决问题解决问题-行程问题行程问题行行程程问问题题一般行程一般行程 问题问题火车过桥火车过桥 问题问题相遇问题相遇问题追击问题追击问题路程路程=速度速度时间时间速度速度=路程路程时间时间时间时间=路程路程速度速度路程路程=桥长桥长+车长车长车速车速=（桥长（桥长+车长）车长） 通过时间通过时间通过时间通过时间=（桥长（桥长+车长）车长） 车速车速桥长桥长=车速车速通过时间通过时间 车长车长车长车长=车速车速通过时间通过时间 桥长桥长相遇路程速度和相遇路程速度和相遇时间相遇时间 相遇时间相遇路程相遇时
27、间相遇路程速度和速度和 速度和相遇路程速度和相遇路程相遇时间相遇时间速度差速度差追及时间追及时间=追及路程追及路程追及路程追及路程速度差速度差=追及时间追及时间追及路程追及路程追及时间追及时间=速度差速度差解决问题解决问题-分数问题分数问题分数、分数、百分数百分数 应用题应用题分数问题分数问题类型类型利息利息应纳税额应纳税额折扣折扣*求求a的几分之几（或百分之几）是多少的几分之几（或百分之几）是多少*一个数的几分之几（或百分之几）是一个数的几分之几（或百分之几）是a，求这个数，求这个数*求求a是是b的几分之几（或百分之几）的几分之几（或百分之几）*比比a多（少）几分之几（或百分之几）的多（少）
28、几分之几（或百分之几）的 数是多少数是多少*a比比b多（少）几分之几（或百分之几），求多（少）几分之几（或百分之几），求b *求求a比比b多（少）几分之几（或百分之几）。多（少）几分之几（或百分之几）。利息利息=本金本金利率利率时间时间税后利息税后利息=本金本金利率利率时间时间（1 税率）税率）-应缴税额应缴税额=总收入总收入税率税率解决问题解决问题-工程问题、浓度问题工程问题、浓度问题工程工程问题问题特点及解法：一般不给出具体特点及解法：一般不给出具体的的 工作工作 总总 量，用单位量，用单位1表示表示， 用分数用分数 表示工效表示工效 工作效率工作效率工作时间工作时间=工作总量工作总量工作
29、总量工作总量工作效率工作效率=工作时间工作时间 工作总量工作总量工作时间工作时间=工作效率工作效率 运用溶质、溶液、浓度三者的关系进行解答运用溶质、溶液、浓度三者的关系进行解答数量关系数量关系浓度浓度问题问题 （1）部分和总数关系的应用题）部分和总数关系的应用题 部分数部分数+另一部分数总数另一部分数总数 （2）相差关系的应用题）相差关系的应用题 大数一小数差大数一小数差 （3）每份数、份数和总数关系的应用题）每份数、份数和总数关系的应用题 每份数每份数份数总数份数总数 单价单价数量数量=总价总价 工效工效工时工时=工作总量工作总量 速度速度时间时间=路程路程 （4）倍数关系的应用题）倍数关系的应用题 一倍的数一倍的数倍数几倍的数倍数几倍的数解决问题解决问题-列方程解决问题列方程解决问题列列方方程程解解决决问问题题 *弄清题意，找出要求的的未知数用弄清题意，找出要求的的未知数用X表示表示 *找出题中数量间的等量关系，列出方程找出题中数量间的等量关系，列出方程一般步骤一般步骤 *解方程解方程 *检验或验算，写出答案检验或验算，写出答案找等量关系找等量关系常用方法常用方法关键语句关键语句常见的加、减、乘、除的数量关系常见的加、减、乘、除的数量关系常用的等量关系常用的等量关系利用图形周长、面积、体积公式利用图形周长、面积、体积公式
