1、三、坐标表象中的动量算符三、坐标表象中的动量算符 1. 由 得 或n即p在坐标表象的矩阵元为n且 n动量算符在坐标表象的表示，是从动量算符的基本性质中推导出来的.n类似可证 ；1ip xdxxxx dx xxxdx xxxdx xxxxxpdx xixx|xpixx |xp xixxx | pdxxixx dxxixx|nnnnxpixx |nnnnpdxxixx | fpdxxfixx四、动量空间的波函数 ， ，展开系数 具有与 类似的几率解释，即 是在 处 范围内粒子出现的几率，或者说是测得粒子动量为 附近 范围内的几率 。 常被称为动量空间波函数：若 归一，则p pp pp pppdp
2、pppx2|pdppdppdpppp2|1dpppdpp五、x表象与p表象的联系 由x-表象到p-表象的变换函数 而联系 n由n得 是动量本征态在x-表象的波函数。n可见动量本征态波函数是一平面波，这一结论无需通过求解 方程。除相位因子处，归一常数c可定出为 ， 即 n因 ，可知坐标空间波函数与动量空间波函数的关系为，n类似有与前面的关系互为付氏变换x p|xp pix pp x px /ip xx pCe Schrodinger12/12ip xx pe xdp x pp /12ip xxdp ep ppdxp xx /12ip xdx ex 六(1/2)、高斯波包： 即波矢为k的平面波受中
3、心位于原点的高斯轮廓调制而得的函数，粒子出现于距原点大于d处的几率以高斯形式衰减。高斯波包是满足最小测不准原理的波包: ；x的色散为 类似可求得 ； 221421xikxdxed2|0 xdxx x xdxxx 22222221|2xddxdx xxdx x ed 22222dxxx22222, 2pkpkd2222pd2222|,|44x pxp六(2/2)、高斯波包： 动量空间的高斯波包为即动量空间的高斯波包波函数也具有高斯函数的形式，只是展开与坐标空间的展宽成反比。在x空间的展宽越大则在p空间展宽越小,反之亦然。在x空间无限延展的平面波具有确定的动量值，而具有确定位置的态则在 p空间是无
4、限延展的平面波。221421xikxdxed12xippdxex222exp2pkdd七、对三维的推广 上面一维空间的表达式很容易推广到三维，需要的变动包括 ：xxpp xxxx iixx pppp /3212i p xx pe 3212p xixd pep 3212p xipdxex 第二章：量子动力学 (物理状态和观测量随时间的变化)2.1 2.1 时间演化和时间演化和 方程方程n时间在量子力学中是参量而非算符，不是可观测量。n相对性量子理论通过将位置作为参量而将时空对等处理相对论时空观：时间-空间、能量-动量 相互转化能量量子化 动量量子化波：波长、频率; 粒子：动量、能量能量=普朗克常
5、数 x 波的频率 某方向动量=普朗克常数 x 该方向波数de Broglie波提供了适用于所有物理基本单元的新原理：将世界看做由多场而非多点粒子作用组成而使所有物理得到统一de Broglie波是对牛顿力学基本概念的颠覆，并直接启发了薛定谔波方程一、时间演化算符一、时间演化算符Schrodinger00,ttt 时间演化；00, ;,ot tu t tt二、时间演化算符的性质1. (时间的)连续性 2. 幺正性（几率守恒） 即对 ， 有3. 结合性：0000,1, ;, ;1ttt tt t ,1oout t u t t , , ;oaooaaatctat tcta 22|1aoaaactct
6、 202110,u t tu t t u t t210ttt00lim, ;ttt t1),(lim00ttutt三、时间演化算符的表达 与空间平移相似，考虑无穷小时间演化算符 ： 算符的连续性、幺正性和组合性可由 且 为厄米算符来满足。 考虑到 的量纲与频率相同和经典力学中Hamiltonian是时间演化的生成元，可合理地将 写为 ，即 这里的 与坐标平移算子中的 相同，否则将推不出量子力学的经典极限即牛顿运动定律 00,u tdt t0000, ;,ot tdtu tdt tt00,1u tdt ti dt 00,1i dtu tdt t 四、薛定谔方程 1. 时间演化算符的薛定谔方程由
7、( (t-t0)不必为无穷小)有即即2. 态矢时间演化的薛定谔方程对态矢 ，有或当然，若知 ，并知其对初态的作用，则无需解此方程 。 000,1,i dtu tdt tu tdt t u t tu t t000,i dtu tdt tu t tu t t 00,iu t tu t tt 0,t0000,iu t ttu t ttt 00, ;, ;it tt tt 0,u t t五、时间演化算符的形式解 1. H与 t 无关，如稳恒磁场与磁矩的相互作用 此时容易解得2. ，但 ，如方向恒定的交变磁场。则： 容易验证该 满足 方程：3. 不同时的H不对易，如磁场方向随时间而变的自旋磁场作用 此时
8、的解为 在这一章中我们主要讨论第一种情形。 00,it tu t te Ht 12,0tt 0,exptotiu t tdtt 000,expttttiiu t tdttdtttt 0,it u t t 0,u t tSchrodinger 1100012121,1nontttnntttniu t tdtdtdtttt 00,iu t tu t tt 六、能量本征矢 知道时间演化算符随时间变化，还需知它如何作用于一态矢才能求出态矢的时间变化。如果选用能量本征态矢为基，则时间演化算符对态的作用可轻易求得。 ；有 ；即 展开系数的模不变，但相位变化了。由于不同分量的相对相位发生变化， 与 可以是完
9、全不同的。对 ，则 ，态保持为H与A的共同本征态。0,0aaataacaaaa iHtiHtaaeaa eaaaitaa ea 00,0,0aitiHtattetaae 00aitaaaCtCtCte 0,0t0, ;t t,0a,0;aitta e 六、能量本征矢（续） 由上讨论可见量子力学的基本任务是找出与H对易的观测量及其本征态。将初态由这个观测量的本征态展开，便可求出态随时间的变化。对有简并情形，我们需要找出一组完整的相互对易且与 H 对易的算符,并用它们的共同本征态为基。该基一般用组合指标 表征，这样,将任意态 以 展开将可求得其时间的演化了。 K, ,Ka b c K七、期望值的时间演化 1. 由于：即任何观测量对能量本征态的期望值都不随时间变化。因此,能量本征态被称为定态。 2. 对一般态 ： 可见期望值一般是随时间变化的。3. 对 也是B的本征态之特例（ B与H对易），则 不随时间变化 （与H对易的观测量是运动的常数）,0,0Ba utB u taitita eBea |aB a*aititaaaaBCa eBC ea *|aai EEtaaa aC CaB ae a2|aaBCaB a0,0aatca作业1.29, 1.32, 1.332.2
