1、5.1 正弦交流量的基本特征正弦交流量的基本特征一一 周期和频率周期和频率1 正弦量的描述正弦量的描述正弦电压正弦电压)sin(umtUu正弦电流正弦电流)sin(imtIi正弦电动势正弦电动势)sin(emtEe正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T，如图4.2所示。每秒内变化的次数称为频率f，它的单位是赫兹（Hz）。 图4.2 正弦电流波形图频率是周期的倒数，即Tf1在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，习惯上称为工频。 角频率是指交流电在1秒钟内变化的弧度。若交流电1秒钟内变化了f次，则可得角频率与频率的关系式为Tf22二二 瞬时值瞬时值,最大值最大值,有效值有效值1 瞬时
2、值瞬时值:正弦量在任一时刻的值正弦量在任一时刻的值2 最大值最大值:瞬时值中最大的值称为最大值或幅值瞬时值中最大的值称为最大值或幅值.可以用来表示交流电流的强弱或电压的高低可以用来表示交流电流的强弱或电压的高低.3有效值有效值:是从电流的热效应来规定的是从电流的热效应来规定的,让交流电让交流电i和和直流电直流电I分别通过同样阻值的电阻分别通过同样阻值的电阻,它们在正弦交流它们在正弦交流的一个周期的一个周期T内产生的热量相等内产生的热量相等,那样这个周期性那样这个周期性变化的电流变化的电流i的有效值在数值上就等于直流电的有效值在数值上就等于直流电I电流电压电动势瞬时值iue幅值ImUmEm有效值
3、IUE周期电流有效值计算周期电流为正弦值，即i=Imsint时周期电压有效值周期电压为正弦值，即u=Umsint时例例:市电随时间的变化关系为市电随时间的变化关系为)(314sin2220Vtu 求其幅值求其幅值,有效值和有效值和t=10s时市电的瞬时值时市电的瞬时值.解解:幅值幅值: VUm3142220有效值有效值VU220瞬时值瞬时值:Vut03140sin2220)10(三三. 相位和相位差相位和相位差1. 相位相位:t称为正弦量的相位角或相位称为正弦量的相位角或相位它反映出正弦量的变化进程它反映出正弦量的变化进程2 初相初相:t=0时的相位角叫做初相位角或初相位时的相位角叫做初相位角
4、或初相位.规定初相的绝对值不能超过规定初相的绝对值不能超过3 如图所示正弦电流和正弦电压的波形分别可如图所示正弦电流和正弦电压的波形分别可表示为表示为:)sin(imtIi)sin(umtUu4.相位差相位差:两个同频率正弦两个同频率正弦量的相位之差叫做相位差量的相位之差叫做相位差.如图所示如图所示u和和i的相位差为的相位差为)()(iutt5 同相位同相位:两个同频率正弦量两个同频率正弦量u和和I,如果它们的初相位如果它们的初相位相等即相等即iu则它们的相位差则它们的相位差0就称电压就称电压u和电流和电流i同相位同相位.6 反相反相:两个同频率的正弦量两个同频率的正弦量,如果它们的相位差如果
5、它们的相位差0180就称为电压和电流反相就称为电压和电流反相.iu则则u较较i先达到正的幅值先达到正的幅值,我们就说在我们就说在相位上相位上u比比i超前超前或者说或者说i 比比u滞后滞后注注 意意正弦量的有效值正弦量的有效值(或最大值或最大值),频率频率(或周期或周期),初相位初相位是确定正弦量的三个重要物理量是确定正弦量的三个重要物理量,称为正弦量的称为正弦量的三要素三要素,是分析正弦交流电的基础是分析正弦交流电的基础.两个同频率正弦信号的相位关系两个同频率正弦信号的相位关系同同相相位位1i1221t2i021 落后于落后于2i1i2it1相相位位落落后后21i2i相相位位领领先先1i120
6、21领先于领先于1i2it5-2 5-2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法前两种不便于运算，重点介绍相量表示法前两种不便于运算，重点介绍相量表示法波形图波形图it 正弦量的表示方法：正弦量的表示方法：重点重点 相量和相量图相量和相量图 三角函数式三角函数式)sin(imtIi 概念概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的旋转的有向线段有向线段在纵轴上的投影值来表示。在纵轴上的投影值来表示。u Um sin (t ) ) Um tUm 矢量长度矢量长度 = 矢量与横轴夹角矢量与横轴夹角 = 初相位初相位矢量以角速度矢量以角速度按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转取有
7、向线段取有向线段 相量相量:表示正弦量的这种矢量称为相量表示正弦量的这种矢量称为相量,并用上方加并用上方加点的大写字母来表示点的大写字母来表示UI 、注意注意 ： 1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量上，不只有同频率的正弦量才能画在一张相量上，不 同频率不行。同频率不行。例例已知：已知：求：求： i 1+ i 2正弦量计算正弦量计算i 1= I 1 m sin (t 1 ) ) i 2= I 2 m sin (t 2 ) ) 同频率正弦波的同频率正弦波的相量画在一起，相量画在一起，构成相量图。构成相量图。
8、 I2& 1II1& 2&例例7.2 已知两交流电已知两交流电)30sin(6),60sin(80201titi求求21iiimI1&mI&mI2&600230300解解:先做出先做出21,21,iiii的相量图的相量图由该图得由该图得:)(1068222221AIIImmm初相位初相位00023376086arctan600所以所以)(23sin(100Ati符号说明瞬时值瞬时值 - 小写小写u、i有效值有效值 - 大写大写U、I复数、相量复数、相量 - 大写大写 + “.”U&最大值最大值 - 大写大写+ +下标下标mU5.3 正弦量的复数表示正弦量的复数表示 一一 复数及四则运算复数及四
9、则运算 1.复数复数 在数学中常用A=a+bi表示复数。其中a为实部, b为虚部, 称为虚单位。在电工技术中, 为区别于电流的符号, 虚单位常用j表示。 1i34O j 1A 图4.7 复数在复平面上的表示baO j 1Pr图4.8 复数的矢量表示 )2(arctan22abbaArsincosrbra2. 复数的四种形式复数的四种形式(1) 复数的代数形式jbaA(2) 复数的三角形式sincosjrrA(3) 复数的指数形式jreA(4) 复数的极坐标形式rA jeeeejjjj2sin2cos欧欧拉拉公公式式sincosjrrAjreA jeUjbaU&在第一象限在第一象限设设a、b为正
10、实数为正实数jeUjbaU&在第二象限在第二象限jeUjbaU&在第三象限在第三象限在第四象限在第四象限jeUjbaU&例例 4.9 写出复数A1=4-j3, A2=-3+j4的极坐标形式。 解解 A1的模 辐角则A1的极坐标形式为A1=5 -36.95) 3(4221r9 .3643arctan1（在第四象限）54) 3(222r辐角9 .12634arctan2 (在第二象限)则A2的极坐标形式为9 .126/52AA2的模 例例 4.10 写出复数A=100/30的三角形式和代数形式。 解解 三角形式A=100（cos30+jsin30） 代数形式A=100(cos30+jsin30)=
11、86.6+j50 3. 复数的四则运算复数的四则运算 (1) 复数的加减法 设)()(2121212222211111bbjaaAArjbaArjbaA则（4.16）O j 1A2A1A1 A2A1 A2图 复数相加减矢量图(2) 复数的乘除法2121221121212211rrrrBArrrrBA 例例 4.11 求复数A=8+j6 , B=6-j8之和A+B及积AB。 解解 A+B=（8+j6)+(6-j8)=14-j2 AB=(8+j6)(6-j8)=10/36.910/-53.1=100/-16.2二二 正弦量的复数表示正弦量的复数表示复数复数B可写成可写成:)sin()cos()(t
12、jBtBBeBtj复数复数B的虚部恰好为一正弦量的虚部恰好为一正弦量,因此我们可以用一因此我们可以用一个复数来表示正弦量个复数来表示正弦量,其对应关系为其对应关系为:)()sin(tjmmmeUUtUu&即复数的模对应正弦量的峰值即复数的模对应正弦量的峰值,复数的辐角与复数的辐角与正弦量的相位对应正弦量的相位对应.例例 用复数求下列两电流之和用复数求下列两电流之和)(45sin(10001Ati)(30sin(6002Ati解解:两电流所对应的复数表达式为两电流所对应的复数表达式为)(7 .707 .7045sin10045cos10010000450AjjeIjm&)(305230sin60
13、30cos6060003020AjjeIjm&则总电流的表达式为则总电流的表达式为)( 7 .407 .122)307 .70()527 .70(21AjjIIImmm&)(1297.407.12222AIm02187.1227.40arctan0总电流的瞬时值表达式为总电流的瞬时值表达式为:)0218sin(1290ti三三 复阻抗复阻抗,交流电路的欧姆定律交流电路的欧姆定律设正弦电压和电流分别为设正弦电压和电流分别为)sin(umtUu)sin(imtIi对应的复电压和复电流为对应的复电压和复电流为:)(utjmmeUU&)(itjmmeII&则则)()()(iuiujmmtjmtjmmm
14、eIUeIeUIU&我们将这个复数记为我们将这个复数记为Z&jtjmtjmmmZeeIeUIUZiu)()(&我们称我们称Z&为复阻抗为复阻抗,这反应了某元件的阻抗特性这反应了某元件的阻抗特性jZeIUZ&复数形式的欧姆定律复数形式的欧姆定律:IUIUZmm&注注 意意阻抗阻抗Z&不与任何正弦量对应不与任何正弦量对应,是不随时间变化的是不随时间变化的5.4 电阻电阻,电感电感,电容单一正弦参数的交流电路电容单一正弦参数的交流电路一一 纯电阻元件的正弦电路纯电阻元件的正弦电路iRuRR图 4.13 纯电阻电路1 电阻元件上电压与电流的关电阻元件上电压与电流的关系系1) 电阻元件上电流和电压之间的
15、瞬时关系2) 电阻元件上电流和电压之间的大小关系 若RuiRRRIURUItItRURuitUuRmRmRmRmRmRmRRRmR或)sin()sin()sin(其中则RUIRR3) 电阻元件上电流和电压之间的相位关系0 tuR(a)uRiRIRUR(b)iR图 电阻元件上电流与电压之间的关系在纯电阻电路中在纯电阻电路中,电流和电压是同相位的电流和电压是同相位的3 复数法表示电流和电压的关系复数法表示电流和电压的关系:0jmmeUU &0jmmeII &ReIUIUjmmmm0&RIUmm&RIU&所以电阻元件的复阻抗所以电阻元件的复阻抗RZ&二二 正弦电路中的电感元件正弦电路中的电感元件 1
16、 电感元件上电压和电流的关系电感元件上电压和电流的关系 (1) 瞬时关系瞬时关系iLuLLdtdiLuL(2) 大小关系大小关系 设)2sin()cos()sin()sin(iLmiLmiLmLiLmLtLItLIdttIdLutIi)sin()2sin(uLmiLmLtUtUuLIULmLmfLLXXULUIXILIULLlLLLLLL2或XL称为感抗, 当f的单位为1/s，L的单位为H，XL的单位为。(3) 相位关系2iuOi tuiu图 电感元件上电流和电压的波形图2 电感元件上电压和电流的相量关系电感元件上电压和电流的相量关系iO j 1.UL.IL图 电感元件电流和电压的相量图LLL
17、LiLiLLiLmLiLLiLmLIjXILjULIjLIUtLIuIItIi2)2sin()sin(3 电感元件交流电路中电流和电压关系的复数的表电感元件交流电路中电流和电压关系的复数的表示为示为:0jmmeII&090jmmeUU&LjjmmjmjmmjXeIUeIUeIeUImU0009090090&或写成或写成mLmIjXU&IjXUL&(1) 感抗感抗XL是电压和电流的有效值之比是电压和电流的有效值之比,而而注注 意意不能用瞬时值之比不能用瞬时值之比(2) 复电压和复电流之比是复感抗复电压和复电流之比是复感抗例例:已知电感线圈的电感已知电感线圈的电感L=0.318H,接在接在U=10
18、V的的正弦交流电源上正弦交流电源上.问当问当f=50Hz和和 f=200Hz,感抗感抗XL和通过电感线圈的电流各为多少和通过电感线圈的电流各为多少?解解:当当f=50Hz时时)( 9 .99318. 050221LfXL)(1.09.99101AXUIL当当f=200Hz时时)(61.399318. 02002222LfXL)(025. 061.399102AXUIL三三 正弦电路中的电容元件正弦电路中的电容元件1 电容元件上电压和电流的关系电容元件上电压和电流的关系(1) 瞬时关系瞬时关系dtduCiCCiCuCC图 纯电容电路(2) 大小关系大小关系设fCCXXUCUCUICUItItIi
19、tCUtCUdtduCitUuCCCCCCCmCmiCmuCmCuCmuCmCCuCmC2111)sin()2sin()2sin()cos()sin(其中XC称为容抗, 当f的单位为1/s， C的单位为F时，XC的单位为。 (3) 相位关系相位关系2ui0i2 tuCiCu图 电容元件上电流和电压的波形图2 电容元件上电压与电流的相量关系电容元件上电压与电流的相量关系CCCCCuCuCCuCCuCmCuCCuCmCjXUIIjXUCUXUIItIiUUtUu或222/)2sin()sin(3 电容元件交流电路中电压和电流关系的复数电容元件交流电路中电压和电流关系的复数表示为表示为:0jmmeU
20、U&090jmmeII&CjjXeIUIUCjmmmm1090&例例:把电容把电容C=10微法的电容器接在正弦电源上微法的电容器接在正弦电源上,维维持电源电压持电源电压U=10V,问当频率问当频率f=50Hz和和 f=150Hz时时,通过电容器的电流各是多少通过电容器的电流各是多少?解解: f=50Hz)(3.31810105021216fcXC)(031.03.318101AXUICf=150Hz1.106101015021216fCXC)(094.01.106102AXUIC表表4.1 各元件上电压与电流的比较各元件上电压与电流的比较电路电压和电流的大小关系相位关系阻抗功率相量关系电阻R
21、感抗容抗U.I.iuLRU.I.iuCU.I.iuRUIIRULLXULUIIXLIUCCXUCUIIXCIU1LXLCXC1RURIUIP22LLLXUXIQP220CCCXUXIQP220RIUIXjULIjXUC图4.26 RLC串联电路5.5 电阻电阻,电感电感,电容串联的正弦交流电路电容串联的正弦交流电路 根据KVL定律可列出 设电路中的电流为则电阻元件上的电压uR与电流同相，即 tUtRIusinsinRmmRR,L,C各元件端电压的瞬时值表达式为各元件端电压的瞬时值表达式为: tUuRmRsin)90sin(0tUuLmL)90sin(0tUuCmCCLRuuuutIimsin利
22、用这个电压三角形，可求得电源电压的有效值，即 由电压相量所组成的直角三角形，称为电压三角形电压三角形. CLRuuuu)sin(tUm)90sin()90sin(CmmCtUtCIu)90sin()90sin(LmmLtUtLIu电感元件上的电压比电流超前电感元件上的电压比电流超前900,即即电容元件上的电压比电流滞后电容元件上的电压比电流滞后900,即即电源电压为电源电压为图4.27 电压三角形2CL22CL2R)()()(IXIXRIUUUU2CL2)(XXRI22)1(CLRI（2）电路中的阻抗及相量图）电路中的阻抗及相量图故故RLC串联的总阻抗串联的总阻抗22)1(CLRIUZZ,R,
23、(XL-XC)三者之间的关系也可以用一个直角三者之间的关系也可以用一个直角三角形三角形-阻抗三角形表示阻抗三角形表示图 阻抗三角形电源电压u与电流i之间的相位差也可从电压三角形得出，即RXXUUUCLarctanarctanRCL用复数表示用复数表示RLC串联电路中电压和电流的关系为串联电路中电压和电流的关系为:IXIXIRUUUU&CLCLRjjIXXR&)( jCL则则)( jCLXXRIURXXeCLarctanj)( jCLXXRZ2CL2)(XXRjeZ式中式中)(CLXXjR是一个复数是一个复数,称为电路的复阻抗称为电路的复阻抗 例例:如图所示如图所示,有一有一RLC串联电路串联电
24、路,已知已知FCHLR31410,4.311,106当电源电压当电源电压Vtu)30314sin(22200时时,试计算电路中电流试计算电路中电流i及各元件的上的电压及各元件的上的电压uR,uL,uC.解如图所示解如图所示:电感感抗电感感抗)(104.311314LXL电容容抗电容容抗)(110314103141166CXC串联电路的总阻抗串联电路的总阻抗45.13) 110(10)(2222CLXXRZ电压与电流的相位差电压与电流的相位差04210110arctanarctanRXXCL)(3.1645.13220AZUI)(12314sin(23 .16)12314sin(200VttIi
25、)(12sin(2163)12sin(23 .1610)12sin(2000VtttIRuR)(78314(2163)78314sin(23 .1610)9012314sin(20000VtttLIuL)(102314sin(23 .16)102314sin(23 .16)9012314sin(210000VtttCIuC试用复数计算上例中的电流和各部分电压试用复数计算上例中的电流和各部分电压.解解:)(220030VeUj&)(45.13910) 110(10)(042jCLejjXXjRZ&0001242303.1645.13220jjjeeeZUI&012163jeRIU&0078121
26、633 .1610jjLjLeejXIU&)(3 .163 .16)(0010212VeejjXIUjjCC&CiRuiRLiLiC5.6 电阻电阻,电感电感,电容并联的正弦交流电路电容并联的正弦交流电路一一 由于由于R,L,C元件两端加上同一正弦电压元件两端加上同一正弦电压,故设故设tUumsin各支路电流分别为各支路电流分别为)2sin(tIiLmL)sin( tIiRmR)2sin(tIiCmC根据根据KCL可列出可列出CLRiiii同频率的正弦量相加同频率的正弦量相加,结果仍为同频率的正弦量结果仍为同频率的正弦量,则则)sin(tIiiiimCLR如图如图,总电流为三个电流的相量和总电
27、流为三个电流的相量和222222)11()1()()()(CLCLCLRXXRUXUXURUIIII则则RLC并联电路的总阻抗并联电路的总阻抗122)11()1(XCXLRZ则总电流与电压的相位差为则总电流与电压的相位差为LLCRRCLIIIRCLiu)1(arctan11arctanarctan2用复数表示用复数表示RLC并联电路中电压和电流的关系为并联电路中电压和电流的关系为:ZUCjLjRUjXjXRUjXUjXURUIIIICLCLCLR&1)11()111(所以所以LjLRCRLRjCjLjRZ2)11(11&则则222)()1(LLCRLRZ&LLCRRLCRRLLCRRLOLR2
28、22arctanarctan2arctanarctan5.7 交流电路的功率交流电路的功率瞬时功率瞬时功率:交流电路中任一时刻加在电路上的电压和交流电路中任一时刻加在电路上的电压和流过其电流的乘积流过其电流的乘积,称为瞬时功率称为瞬时功率,即即uip )2cos1 ()2cos1 (2sinsinsin2tIUtIUtIUtItUiupuipRRRmRmRmRmRmRmRRR一一. 纯电阻电路中的功率纯电阻电路中的功率总结功率关系总结功率关系u Ri=R Im sin t i Im sin t因为：因为：所以：所以：p = u i = R i 2 = u 2 / R小写，瞬时值功率小写，瞬时值
29、功率1. p0 （耗能元件）（耗能元件）结论：结论：2. p随时间变化随时间变化uip t t平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）P P：一个周期内的平均值：一个周期内的平均值 T0T0dtiuT1dtpT1PUIt)dtcos2 UI(1T1dttsinUI2T1T0T02大写大写P U I与直流电路相同与直流电路相同二二 电感元件的功率电感元件的功率1. 瞬时功率瞬时功率设通过电感元件的电流为tUItUItItUiuptUutIiLLLmLmLmLmLLLmLLmL2sin2sin21sin)2sin()2sin(sin则0uL ，iL ，pLuLpiLt4T4T4T4T图 4.21
30、电感元件的功率曲线上图画出了电感上电压上图画出了电感上电压,电流和瞬时功率的曲电流和瞬时功率的曲线线.它表明它表明:电感上的功率不是永远为正电感上的功率不是永远为正,输入电输入电感上的功率感上的功率,每隔四分之一周期正负变换一次每隔四分之一周期正负变换一次.瞬时功率大于零瞬时功率大于零,表明有能量输入到电感中表明有能量输入到电感中,瞬瞬时功率小于零表时功率小于零表 明能量回输给电源明能量回输给电源.2. 平均功率平均功率TLLTdttiuTdtpTP0002sin11 3. 无功功率无功功率 我们把电感元件上电压的有效值和电流的有效值的乘积叫做电感元件的无功功率, 用L表示。 LLLLLLLX
31、UXIIUQ22QL0, 表明电感元件是接受无功功率的。 无功功率的单位为“乏”（var）, 工程中也常用“千乏”（kvar）。 1 kvar=1000 var三三 电容元件的功率电容元件的功率1. 瞬时功率瞬时功率tIUtItUiupCCCmCmCC2sin)2sin(sinuC ， iCuCppiCt4T4T4T4T0图4.25 电容元件功率曲线上图画出了电容上电压上图画出了电容上电压,电流和瞬时功率的曲电流和瞬时功率的曲线线.它表明它表明:电容上的功率不是永远为正电容上的功率不是永远为正,输入电输入电容上的功率容上的功率,每隔四分之一周期正负变换一次每隔四分之一周期正负变换一次.瞬时功率
32、大于零瞬时功率大于零,表明电容器从电源吸收能量表明电容器从电源吸收能量,并转变为储存在电容器内部的电场能并转变为储存在电容器内部的电场能;瞬时功瞬时功率小于零表率小于零表 明电容器中的能量还给电源明电容器中的能量还给电源.2. 平均功率平均功率02sin111000dttiuTpdtTpdtTPTTCCT 3. 无功功率无功功率 我们把电容元件上电压的有效值与电流的有效值乘积的负值, 称为电容元件的无功功率, 用QC表示。即CCCCCCCXUXIIUQ22QC0表示电容元件是发出无功功率的, QC和QL一样, 单位也是乏（var）或千乏(kvar)。 四、四、RLC串联电路功率关系串联电路功率
33、关系1. 瞬时功率瞬时功率: p u i p R p L p C 2. 平均功率平均功率 P （有功功率）（有功功率） RIIUP)dt(T1dtT1P2RRT0CLRT0ppppP UR I平均功率平均功率P与总电压与总电压U、总电流、总电流 I 间的关系：间的关系： 其中：其中：总电压总电压总电流总电流u 与与 i 的夹角的夹角URUcos 所以所以: P UR I U I cos - 功率因数功率因数 cos 在在 R、L、C 串联的电路中，串联的电路中，储能元件储能元件 R、L、C 虽然不消耗能量虽然不消耗能量，但存在能量吞吐，但存在能量吞吐， 吞吐的规模用吞吐的规模用无功功率来表示。
34、其大小为：无功功率来表示。其大小为： 3. 无功功率无功功率 Q：Q QL QC UL I （ UC I） （ UL UC ）I UI sin 总电压总电压总电流总电流u 与与 i 的夹角的夹角4. 视在功率视在功率 S： 电路中总电压与总电流有效值的乘积。电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：单位：VA、kVA注：注： SU I 可用来衡量发电机可能提供的最大功率可用来衡量发电机可能提供的最大功率.（额定电压（额定电压额定电流）额定电流）S U I5. 帮助记忆的三个三角形：帮助记忆的三个三角形：功率三角形功率三角形电压三角形电压三角形阻抗三角形阻抗三角形相似三角形相似三角形QSPUL-U
35、CUURXL-XCRZ 例例:有一有一RLC串联电路串联电路,已知已知R=4 , L=12.74mH, C=455uF,电源电压电源电压Vtu)10314sin(22200试计算电路试计算电路(1)感抗感抗,容抗和总阻抗容抗和总阻抗;(2)求电流求电流的瞬时值的瞬时值;(3)各部分电压的有效值和瞬时值各部分电压的有效值和瞬时值的表达式的表达式;(4)有功功率有功功率,无功功率和视在功率无功功率和视在功率解解(1)(41074.123143LXL)(710455314116CXC)(5)(22CLXXRZ(2)(445220AZUI&09 .36774arctanarctanRXXCL)(9 .
36、3610314sin(24400Ati(3)(176444VIRUR)(9 .46314sin(21760VtuR)(176444VIXULL)(9 .136314sin(2176)909 .46314sin(2176000VttuL)(308744VIXUCC)(1 .43314sin(2308)909 .46314sin(2308000VttuC(4)(74.7)9 .36cos(44220cos0kWUIP(var)5810)9 .36sin(44220sin0UIQ)(86.9)(968044220kVAVAUIS二二 功率因数的提高功率因数的提高COS I当当U、P 一定时，一定时，
37、问题的提出问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，日常生活中很多负载为感性的，其消耗其消耗的有功功率为：的有功功率为：P = PR = UICOS 功率因数低带来的第一个问题是：线路电流大，线路功率因数低带来的第一个问题是：线路电流大，线路损失大。损失大。当当U、P 一定时，一定时，又又COS S =PCOS 功率因数低带来的第二个问题是：需要电源的容量大。功率因数低带来的第二个问题是：需要电源的容量大。说明：说明：由负载性质决定。与电路的参数和由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。频率有关，与电路的电压、电流无关。cos功率因数和电路参数的关系功率因数和电路参数的关
38、系负负载载iuRXXtgCL1RCLXX Z纯电阻电路纯电阻电路1COS纯电感电路或纯电感电路或纯电容电路纯电容电路0COS电动机电动机 空载空载 满载满载0.30.2COS0.90.7COS 日光灯日光灯 （RL串联电路）串联电路）0.60.5COS常用电路的功率因数常用电路的功率因数 供电局一般要求用户的功率因数高于供电局一般要求用户的功率因数高于0.850.85，否，否则受经济处罚。则受经济处罚。 提高功率因数的原则提高功率因数的原则：必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。的电压和负载的有功功率不变。提高功率因
39、数的措施提高功率因数的措施: :并电容并电容uiRLRuLuCRLI&CI&I&L并联电容值的计算并联电容值的计算设原电路的功率因数为设原电路的功率因数为 cos L，要求补偿到，要求补偿到cos 须并联多大电容？（设须并联多大电容？（设 U、P 为已知）为已知）U&uiRLRuLuC分析依据：补偿前后分析依据：补偿前后 P、U 不变。不变。由相量图可知：由相量图可知：IsinsinIILRLCLRLcosUIPUIcosP CUXUICCsinUcosPsinUcosPULLCRLI&CI&I&LU&并联电容补偿后，总电路（并联电容补偿后，总电路（R-L/C）的有功功率是）的有功功率是否改变
40、了？否改变了？)tg(tgUPCL2功率因数补偿问题（功率因数补偿问题（1）问题与讨论问题与讨论 定性说明：电路中电阻没有变，所以消耗的功率定性说明：电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。也不变。呈电容性。呈电容性。1cos I&U&RLI&CI&呈电感性呈电感性1cos 0U&I&CI&RLI&0CI&U&I&RLI&问题与讨论问题与讨论 功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况三种情况:功率因数补偿问题（功率因数补偿问题（2）1cos 呈电阻性呈电阻性0结论：结论：在在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容角相同的情况下，补偿成
41、容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算，容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态所以一般工作在欠补偿状态。感性（感性（ 较小较小）CI&容性（容性（ 较大）较大）CI&C 较大较大功率因数补偿成感性好，还是容性好？功率因数补偿成感性好，还是容性好？ 一般情况下很难做到完全补偿一般情况下很难做到完全补偿 （即：（即： ）1cos过补偿过补偿欠补偿欠补偿RLI&U&I&CI&U&I&CI&RLI& 40W的日光灯的日光灯,接在接在220V,50Hz的交流电路中的交流电路中,通通过的电流为过的电流为0.41A,求它的功率因数求它的功率因数,如果把功率如果把功率提高到提高到0.95,问应并联
42、多大的电容问应并联多大的电容?解解:根据已知条件根据已知条件,并联电容前并联电容前,电路功率因数为电路功率因数为44.041.022040cos11UIP45630104.2tan1欲将功率因数提高到欲将功率因数提高到95. 0cos则则33. 0tan )(5 . 4)33. 004. 2(31422040)tan(tan212FUPC如果把功率因数提高到如果把功率因数提高到1,即即0tan,0, 1cos)(4 . 5)004. 2(31422040)tan(tan212FUPC则则谐振概念谐振概念：含有电感和电容的电路，如果无功功率得含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，使电路
43、的功率因数等于到完全补偿，使电路的功率因数等于1，即：即：u、 i 同相，同相，便称此电路处于便称此电路处于谐振状态谐振状态。谐振谐振串联谐振：串联谐振：L 与与 C 串联时串联时 u、i 同相同相并联谐振：并联谐振：L 与与 C 并联时并联时 u、i 同相同相谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛中应用非常广泛。2-1005-9 5-9 电路中的谐振电路中的谐振CU&RLCU&RU&LU&I&串联谐振电路串联谐振电路若令：若令：()()RXXtgXXRZXXjRZCL12CL2CL串联谐振的条件串联谐振的条件CLXX IU&、
44、同相同相 0则：则：谐振谐振CLXX 串联谐振的条件是：串联谐振的条件是：2-101一、串联谐振一、串联谐振求谐振频率求谐振频率 f0 0： C1L00CLXX LC102-102XL=L=2f L ； XC=1C12f C=LC21f0即：即：串联谐振的特点串联谐振的特点()RXXRZZ2CL2minCLXX 0RXXtgCL1U、I 同相同相 当电源电压一定时：当电源电压一定时：RUIIImax02-103注：串联谐振也被称为注：串联谐振也被称为电压谐振电压谐振LU&CU&I&UUR&2-104 RX XCL当当时时RIUXI U XIU0C0CL0LUC 、UL将大于将大于电源电压电源电
45、压U品质因数品质因数 - - 简称简称Q 值值 定义：定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压和总电压之比。和总电压之比。UCR1URXUURLURXU0CC0LL谐振时谐振时:RC1RLUUUUQ00CL2-105RLC串联电路的阻抗随频率变化的曲线串联电路的阻抗随频率变化的曲线()2CL2CLXXR)Xj(XRZ0LRC1容性容性()0 感性感性()0Z2-106RLC串联电路电流随频率变化的曲线串联电路电流随频率变化的曲线0I0f2I01f2ffIRUI0谐振电流谐振电流0f谐振频率谐振频率1221fffff通频带通频带下限截止频率下限截止频率上
46、限截止频率上限截止频率2-107串联谐振应用举例串联谐振应用举例收音机接收电路收音机接收电路1L2L3LC:L1接收天线接收天线2L与与 C ：组成谐振电路：组成谐振电路:L3将选择的信号送将选择的信号送接收电路接收电路2-108 组成谐振电路组成谐振电路 ，选出所需的电台。，选出所需的电台。C - L2 为来自为来自3个不同电台（不同频率）的个不同电台（不同频率）的电动势信号；电动势信号；321 eee、C2L2LR1e2e3e2-1091L2L3LC例例:将一个将一个L=4mH,R=50 的线圈与一个的线圈与一个C=160pF的电容器串联的电容器串联,接在接在U=25mV的交流电的交流电源
47、上源上,求求(1)发生谐振时的电源频率发生谐振时的电源频率f0(2)谐振时电流谐振时电流I0和电容端电压和电容端电压UC解解(1)电路的谐振频率电路的谐振频率)(1991016010421211230kHzLCf(2)谐振电流谐振电流)(5.050102530mARUI谐振时电容端电压谐振时电容端电压)( 5 . 2101601019921105 . 0211233000VCfIXIUCCCCLRLjXUIjXRUI&U&RLI&CI&I&CRLIII&二二. .并联谐振并联谐振U&I&RLI&CI&U、I&同相时则谐振同相时则谐振2-110()()UCLRLjLRRUjjR1I2222&CL
48、虚部虚部实部实部则则 、 同相同相 I&U&谐振条件：虚部谐振条件：虚部=0CRLIII&2-111()0CLRL02020由上式虚部由上式虚部并联谐振频率并联谐振频率2220RLC1LC1LRLC1得：得：LC10LC210f或或0RLC2当当 时时 2-112并联谐振的特点并联谐振的特点 电路的总阻抗最大。电路的总阻抗最大。 2-113 I&同相。同相。U&、()()UCLRLjLRRI2222&因为：因为：谐振时虚部为零谐振时虚部为零,即即:()ULRRI22&得：得：IRCLU&220LRLC1代入：代入：总阻抗：总阻抗：RCLZZmax0什么性质什么性质?2-114当当0Z0R 时时
49、U&U&所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。外加电压一定时，总电流最小；外加电压一定时，总电流最小；外加恒流源时，输外加恒流源时，输出电压最大。出电压最大。并联支路中的电流可能比总电流大。并联支路中的电流可能比总电流大。 品质因数品质因数-Q: : 为支路电流和总电流之比。为支路电流和总电流之比。 CUXUI0CC ULRCZUI0RLIIQ0C并联谐振特性曲线并联谐振特性曲线ZI0容性容性感性感性思考思考为什么？为什么？2-119并联谐振应用举例并联谐振应用举例()beLCiOr/RRUUA&CCVCRLR0U&iU&CR替代后，在谐振替代
50、后，在谐振频率下放大倍数频率下放大倍数将提高。该种频将提高。该种频率的信号得到较率的信号得到较好的放大，起到好的放大，起到选频作用。选频作用。2-120例例: 如图所示的并联谐振电路中如图所示的并联谐振电路中,已知谐振的角已知谐振的角频率为频率为5X106rad/s,品质因素为品质因素为100,谐振的阻抗谐振的阻抗为为2k ,求电路参数求电路参数R,L,C.解解:在一般情况下在一般情况下RL 0则则LC10LC201RQRLRCLZ22200)(2.01002000220QZR)(41052.010060HQRL)(01. 02 . 0102104360FRZLC本章小结本章小结2-132一、
