1、异方差性及序列相关性2016年月年月一、异方差的定义一、异方差的定义二、异方差的类型二、异方差的类型三、实际经济问题中的异方差性三、实际经济问题中的异方差性四、异方差性的后果四、异方差性的后果五、异方差性的检验五、异方差性的检验六、异方差的修正六、异方差的修正七、案例七、案例目录目录第一部分：异方差性 一、异方差的定义一、异方差的定义设线性回归模型为:异方差性主要发生在横截面数据的情况，时间序列问题中一般不会发生，除非时间跨度过大。 一、异方差的定义一、异方差的定义产生异方差的原因、模型中遗漏了某些解释变量、模型函数形式的设定误差、样本数据的测量误差、随机因素的影响 二、异方差的类型二、异方差
2、的类型 同方差同方差性假定性假定：i2 = 常数 f(Xi) 异方差异方差时：时： i2 = f(Xi)异方差一般可归结为异方差一般可归结为三种类型三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式 二、异方差的类型二、异方差的类型 三、实际经济问题中的异方差性三、实际经济问题中的异方差性 例例1.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+iYi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化的
3、方差呈现单调递增型变化 例例1.2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数： Ci=0+1Yi+i将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。 一般情况下，居民收入服从正态分布一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。 所以所以样本观测值的观测误差观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。 三、实际经济问题中的异方差性三、实际经济问题中的异方差性 例例1.3，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 被解释变量：产出量Y 解释变量：
4、资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 三、实际经济问题中的异方差性三、实际经济问题中的异方差性 四、异方差性的后果四、异方差性的后果 计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1 1、参数估计量非有效、参数估计量非有效 OLS估计量仍然具有仍然具有无偏性无偏性，但不具有不具有有效性有效性 因为在有效性证明中利用了 E()=2I 而且，
5、在大样本情况下，尽管参数估计量具有一一致性致性，但仍然不具有渐近有效性渐近有效性。 2、变量的显著性检验失去意义、变量的显著性检验失去意义 变量的显著性检验中，构造了t统计量 其他检验也是如此。 3、模型的预测失效、模型的预测失效 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质； 所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 五、异方差性的检验五、异方差性的检验 检验思路：检验思路： 由于异方差性异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的检验异方差性，
6、也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的关的“形式形式”。 问题在于用什么来表示随机误差项的方差问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：一般的处理方法：首先采用 OLS 法估计模型，以求得随机误差项的估计量 （注意， 该估计量是不严格的） ， 我们称之为 “近近似估计量似估计量” ，用ei表示。于是有VarEeiii()()22( )eyyiiils0几种异方差的检验方法：几种异方差的检验方法： 1 1、图示法、图示法（1）用）用X-Y的散点图进行判断的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大散点扩大、缩小缩小或复杂型
7、复杂型趋势趋势（即不在一个固定的带型域中） ( (2 2) )X X- -ei2的的散散点点图图进进行行判判断断看是否形成一条斜率为零的直线ei2 ei2 X X 同方差 递增异方差ei2 ei2 X X 递减异方差 复杂型异方差2、帕克、帕克(Park)检验与戈里瑟检验与戈里瑟(Gleiser)检验检验 基本思想基本思想: : 偿试建立方程：ijiiXfe)(2或ijiiXfe)(|选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。 如： 帕克检验常用的函数形式：ieXXfjiji2)(或ijiiXelnln)
8、ln(22 若若 在统计上是显著的，表明存在异方差性在统计上是显著的，表明存在异方差性。 3、戈德菲尔德、戈德菲尔德-匡特匡特(Goldfeld-Quandt)检验检验 G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。 G-QG-Q检验的思想检验的思想： 先将样本一分为二，对子样和子样分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。 由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。 G-Q G-Q检验的步骤：检验的步骤：将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队将序列中间的c=
9、n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和 在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量) 12, 12() 12() 12(2122kcnkcnFkcnekcneFii 给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明存存在异方差在异方差。 当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。 3、怀特（、怀特（White）检验）检验 怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差 怀特检验的基本思想与步骤
10、怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：iiiiXXY22110然后做如下辅助回归iiiiiiiiXXXXXXe215224213221102 可以证明，在同方差假设下：(*)R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，表示渐近服从某分布。注意：注意： 辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。 如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。 当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。 六、异方差的修正六、异方
11、差的修正 模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘加权最小二乘法法（Weighted Least Squares, WLS）进行估计。 加权最小二乘法的基本思想：加权最小二乘法的基本思想： 加权最小二乘法加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。 在采用OLS方法时: 对较小的残差平方ei2赋予较大的权数， 对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。21102)(kkiiiiXXYWeW 例如例如，如果对一多元模型，经检验知：222)()()(jiiiiXfEVar ijiijijiijiXXfXXfXfYXf22110)(1)(1)(1)(1
12、ijikijikXfXXf)(1)(1 新模型中，存在 222)()(1)(1()(1(ijiijiijiEXfXfEXfVar即满足同方差性，可用OLS法估计。一般情况下一般情况下: 对于模型 Y=X + 存在 W2)()(0)(ECovEW wwwn12即存在异方差性异方差性。 W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得 W=DD 用D-1左乘 Y=X + 两边，得到一个新的模型： DXDYD111*XY该模型具有同方差性。因为 1211211111)()()(DDDDDDDDDD*EEEI2*1*)(YXXXYWXXWXYDDXXDDX11111111)()(这就是原模型 Y=X + 的加
13、权最小二乘估计量加权最小二乘估计量，是无偏、有效的估计量。 这里权矩阵为D-1，它来自于原模型残差项 的方差-协方差矩阵2W 。如何得到如何得到2W ？ 从前面的推导过程看，它来自于原模型残差项 的方差-协方差矩阵。因此 仍对原模型进行OLS估计，得到随机误差项的近似估计量i，以此构成权矩阵的估计量，即2212neeW 这时可直接以 | /1 ,|,| /1|,| /1211neeediagD作为权矩阵。 注意：注意： 在实际操作中人们通常采用如下的经验方法： 不对原模型进行异方差性检验，而是直接不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据选择加权最小二乘法，尤其
14、是采用截面数据作样本时。作样本时。 如果确实存在异方差，则被有效地消除了； 如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法七、案例七、案例-中国农村居民人均消费函数中国农村居民人均消费函数 例例1.4 中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。 农村人均纯收入包括(1)从事农业经营的收入，(2)包括从事其他产业的经营性收入(3)工资性收入、(4)财产收入(5)转移支付收入。 考察从事农业经营的收入从事农业经营的收入( (X1 1) )和其他收入其他收入( (X2 2) )对中国农村居民消费支出农村居民消费支出( (Y) )增长的影响:22110lnlnlnXXY表表 4.1.1
15、 中中国国 2001 年年各各地地区区农农村村居居民民家家庭庭人人均均纯纯收收入入与与消消费费支支出出相相关关数数据据（单单位位：元元） 地区 人均消费 支出 Y 从事农业经营 的收入 1X 其他收入 2X 地区 人均消费 支出 Y 从事农业经营 的收入 1X 其他收入 2X 北 京 3552.1 579.1 4446.4 湖 北 2703.36 1242.9 2526.9 天 津 2050.9 1314.6 2633.1 湖 南 1550.62 1068.8 875.6 河 北 1429.8 928.8 1674.8 广 东 1357.43 1386.7 839.8 山 西 1221.6 6
16、09.8 1346.2 广 西 1475.16 883.2 1088.0 内蒙古 1554.6 1492.8 480.5 海 南 1497.52 919.3 1067.7 辽 宁 1786.3 1254.3 1303.6 重 庆 1098.39 764.0 647.8 吉 林 1661.7 1634.6 547.6 四 川 1336.25 889.4 644.3 黑龙江 1604.5 1684.1 596.2 贵 州 1123.71 589.6 814.4 上 海 4753.2 652.5 5218.4 云 南 1331.03 614.8 876.0 江 苏 2374.7 1177.6 260
17、7.2 西 藏 1127.37 621.6 887.0 浙 江 3479.2 985.8 3596.6 陕 西 1330.45 803.8 753.5 安 徽 1412.4 1013.1 1006.9 甘 肃 1388.79 859.6 963.4 福 建 2503.1 1053.0 2327.7 青 海 1350.23 1300.1 410.3 江 西 1720.0 1027.8 1203.8 宁 夏 2703.36 1242.9 2526.9 山 东 1905.0 1293.0 1511.6 新 疆 1550.62 1068.8 875.6 河 南 1375.6 1083.8 1014.1
18、 普通最小二乘法的估计结果： 21ln5084.0ln3166.0655.1lnXXY (1.87) (3.02) （10.04） 2R=0.7831 2R=0.7676 DW=1.89 F=50.53 RSS=0.8232 异方差检验 递增型的异方差进一步的统计检验进一步的统计检验 (1)G-Q检验检验 将原始数据按X2排成升序，去掉中间的7个数据，得两个容量为12的子样本。 对两个子样本分别作OLS回归，求各自的残差平方和RSS1和RSS2： 子样本1：21ln119. 0ln343. 0061. 4lnXXY (3.18) (4.13) (0.94) R2=0.7068， RSS1=0.
19、0648子样本2：21ln776. 0ln138. 0791. 0lnXXY (0.43) (0.73) (6.53) R2=0.8339， RSS2=0.2729计算计算F F统计量：统计量： F= RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31 查表查表 给定=5%，查得临界值 F0.05(9,9)=2.97判断判断 F F0.05(9,9) 否定两组子样方差相同的假设，从而该总体随机项存在递增异方差性存在递增异方差性。（2 2）怀特检验）怀特检验 作辅助回归: 2222112)(ln026. 0ln055. 0)(ln015. 0ln102. 017. 0XXXXe （-0.0
20、4）(0.10) (0.21) (-0.12) (1.47)21lnln043. 0XX (-1.11) R2 =0.4638似乎没有哪个参数的t检验是显著的 。但 n R2 =31*0.4638=14.38=5%下，临界值 20.05(5)=11.07，拒绝拒绝同方差性同方差性 原模型的加权最小二乘回归原模型的加权最小二乘回归 对原模型进行OLS估计，得到随机误差项的近似估计量i，以此构成权矩阵2W的估计量； 再以1/| i|为权重进行WLS估计，得 21ln527.0ln319.0497.1lnXXY (5.12) (5.94) （28.94） 2R=0.9999 2R=0.9999 DW
21、=2.49 F=924432 RSS=0.0706 各项统计检验指标全面改善各项统计检验指标全面改善去掉交叉项后的辅助回归结果 2222112)(ln039. 0ln539. 0)(ln042. 0ln570. 0842. 3XXXXe (1.36) (-0.64) (064) (-2.76) (2.90) R2 =0.4374X2项与X2的平方项的参数的t检验是显著的，且 n R2 =31 0.4374=13.56 =5%下，临界值 20.05(4)=9.49 拒绝拒绝同方差同方差的原假设的原假设 一、序列相关性概念一、序列相关性概念二、实际经济问题中的序列相关性二、实际经济问题中的序列相关
22、性 三、序列相关性的后果三、序列相关性的后果四、序列相关性的检验四、序列相关性的检验五、具有序列相关性模型的估计五、具有序列相关性模型的估计第二部分：序列相关性 一、序列相关性概念一、序列相关性概念如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性不相关的，而是存在某种相关性Cov(i , j) 0 则认为出现了则认为出现了序列相关性，即序列相关性，即 是相关的是相关的 对于模型 Yi=0+1X1i+2X2i+k Xki +i i=1,2, ,n 随机项互不相关的经典假设为： Cov(i , j)=0 ij, i,j=1,2, ,n
23、1ttuu 与其中：被称为一阶自相关系数一阶自相关系数（first-order coefficient of autocorrelation） 自相关自相关往往可写成如下形式： i=i-1+i -10）22()E122212121111222221111()122.2nnnttttnnutttnnnnttttitttx xx xx xVarxxxx22(1)()()OLSARVarVar因此， 2、变量的显著性检验失去意义、变量的显著性检验失去意义 在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础之上的，这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立。 如果存在序列相关，模型参数
24、的估计方差会被低估，从而高估t检验值，t检验就失去意义 F检验也是如此111tSis 3、模型的预测失效、模型的预测失效 区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的情况下（低估），使得预测估计不准确，预测精度降低。 所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效222ien2212323222()2 222.ittttttttteEX XX XX XnXXX存在自相关，随机误差的方差估计： 经典模型随机误差项的方差估计： 然后然后，通过分析这些“近似估计量近似估计量”之间的相关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。 序列相关性序列相关性检验方法有多种，但基本思路相同：检验方法有多种，但基
25、本思路相同：首先首先， 采用 OLS法估计模型， 以求得随机误差项的“近似估计量近似估计量” ，用ei表示： lsiiiYYe0)( 基本思路基本思路: : 四、序列相关性的检验四、序列相关性的检验 1 1、图示法、图示法例例2 2美国个人实际可支配收入和个人实际消费收入美国个人实际可支配收入和个人实际消费收入 2、回归检验法、回归检验法例题例题3 3 北京市城镇居民家庭人均收入与支出北京市城镇居民家庭人均收入与支出以te为被解释变量， 以各种可能的相关量， 诸如以1te、2te、2te等为解释变量，建立各种方程： tttee1tttteee2211 如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，
26、则说明原模型存在序列相关性。 回归检验法回归检验法的优点优点是：（1）能够确定序列相关的形式；（2）适用于任何类型序列相关性问题的检验3、杜宾、杜宾-瓦森（瓦森（Durbin-Watson）检验法）检验法 D-W检验是杜宾（检验是杜宾（J.Durbin）和）和瓦森瓦森(G.S. Watson)(G.S. Watson)于于19511951年提出的一种检验序列自相关的方法年提出的一种检验序列自相关的方法，该方法的假该方法的假定条件是定条件是：（1）解释变量X非随机；（2）随机误差项i为一阶自回归形式： i=i-1+i（3）回归模型中不应含有滞后因变量作为解释变量，即不应出现下列形式： Yi=0+
27、1X1i+kXki+Yi-1+i（4）回归含有截距项 D-W检验最大优点是简单易行，它以检验最大优点是简单易行，它以OLS残残差为基础，而许多软件包都可以对残差进行计算。差为基础，而许多软件包都可以对残差进行计算。通常，统计结果在给出通常，统计结果在给出t值、值、F值、值、R2值的同时，值的同时，也给出了也给出了d 值。值。Eviews软件用软件用Durbin-Watson stat表示表示 杜宾和瓦森针对原假设：H0: =0， 即不存在一阶自回归，构如下造统计量： nttnttteeeWD12221)(.D.W. 统计量统计量:如果存在如果存在完全一阶正相关完全一阶正相关，即，即 =1，则，
28、则 D.W. 0 完全一阶负相关完全一阶负相关，即，即 = -1, 则则 D.W. 4 完全不相关完全不相关， 即即 =0，则，则 D.W. 2其中，nttntttnttnttteeeeee22211221 为一阶自回归模型 i=i-1+i 的参数估计。)1 (2)1 (2.1221nttnttteeeWD例题例题4 4 日本工薪家庭实际消费支出与实际可支配收入日本工薪家庭实际消费支出与实际可支配收入2221221nnntttiiteee假设有（1）计算DW值（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界值dL和dU（3）比较、判断 若 0D.W.dL 存在正自相关 dLD.W.dU 不能确定
29、 dU D.W.4dU 无自相关 4dU D.W.4 dL 不能确定 4dL D.W.4 存在负自相关0 dL dU 2 4-dU 4-dL 正相关不能确定无自相关不能确定负相关D.W检验步骤检验步骤:d d值从值从0 0到到2 2，从，从2 2到到4 4，自相关性是在变化的，由完全一，自相关性是在变化的，由完全一阶正相关到无一阶自相关，再由无一阶自相关逐步过度到阶正相关到无一阶自相关，再由无一阶自相关逐步过度到存在完全一阶负相关。这里一定存在一些临界值点作为转存在完全一阶负相关。这里一定存在一些临界值点作为转折。折。DurbinDurbin和和 WatsonWatson建立了建立了d d统计
30、量检验的上限临界值统计量检验的上限临界值d du u和和下限临界值下限临界值d dL L，他们与样本容量及解释变量的个数有关。有，他们与样本容量及解释变量的个数有关。有了这两个临界值之后，可以确定判断一阶自回归的区域：了这两个临界值之后，可以确定判断一阶自回归的区域： 如果模型被检验证明存在序列相关性，则需要发展新的方法估计模型。最常用的方法是： 广义差分法广义差分法(Generalized Difference) 科克伦科克伦-奥科特奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法）迭代法 杜宾杜宾（durbin）两步法）两步法五、序列相关的补救五、序列相关的补救 1、广义差分法、广义差分法
31、广义差分法广义差分法是将原模型变换为满足OLS法的差分模型，再进行OLS估计。如果原模型存在可以将原模型变换为: 1ttt1011122111.tttkkttYXXX01122.tttkkttYXXX（1）（2）10111122211(1)()().ttttttttYYXXXX（1）式-（2）式t符合经典假定1tttuu10111122211(1)()().ttttttttYYXXXX新的随机误差项*1ttYYY*1111tttXXX*00(1)*2221tttXXX令*01122tttYXX估计新模型 2、随机误差项相关系数的估计、随机误差项相关系数的估计 应用广义最小二乘法或广义差分法，必
32、须已知应用广义最小二乘法或广义差分法，必须已知随机误差项的相关系数随机误差项的相关系数 1 1, , 2 2, , , L L 。 实际上，人们并不知道它们的具体数值，所实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行估计。以必须首先对它们进行估计。 常用的估计方法有：常用的估计方法有： DW法法 科克伦科克伦-奥科特奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法迭代法。 杜宾杜宾（durbin）两步法两步法（1）D.W.方法)1 (2)1 (2.1221nttnttteeeWD(1)2DW把代入广义差分方程，进行最小二乘估计OLS（2）科克伦科克伦-奥科特迭代法奥科特迭代法例题例题
33、5 1978-2001年中国国内生产总值和进口额年中国国内生产总值和进口额 首先首先，采用OLS法估计原模型 Yi=0+1Xi+i得到的的“近似估计值”，并以之作为观测值使用OLS法估计下式 i=1i-1+2i-2+Li-L+i得到, 12l，作为随机误差项的相关系数 12,l的第一次估计值第一次估计值。求出i新的“近拟估计值” i(2) ， 并以之作为样本观测值，再次估计 i（2）=1i-1+2i-2+Li-L+iilln12 ,ililiilliliiXXXYYY)()1 (1111011 类似地，可进行第三次、第四次迭代类似地，可进行第三次、第四次迭代 一般是事先给出一个精度，当相邻两次1,2, ,L的估计值之差小于这一精度时，迭代终止。 比如i（n）- i（n-1）du=1.43 (样本容量24-2=22) 表明：已不存在自相关162.300.469)0.938- /(186.18)1/(21*00于是原模型为： ttGDPM020. 030.162与与OLS估计结果的差别只在估计结果的差别只在截距项截距项： ttGDPM02. 091.152谢 谢！
