1、等腰三角形等腰三角形1.1.两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截, ,如果如果_相等相等, ,那么这两条直线平行那么这两条直线平行; ; 2.2.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截,_,_相等相等; ; 3. _3. _对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等; ; （SASSAS）4. _4. _对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等; ; （ASAASA）5. _5. _对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等; ; （SSSSSS） 你能证明下面的推论吗？你能证明下面的推论吗？推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等推论两角及其
2、中一角的对边对应相等的两个三角形全等. .（AASAAS）基本事实基本事实: :同位角同位角同位角同位角两边及其夹角两边及其夹角两角及其夹边两角及其夹边三边三边用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等三角形全等. .（AASAAS）已知：如图已知：如图,A=D,B=E,BC=EF.,A=D,B=E,BC=EF.求证：求证：ABCABCDEF.DEF.证明：证明：A+B+C=180A+B+C=180， D+E+F=180 D+E+F=180（三角形内角和等于（三角形内角和等于180180） C=180 C=1
3、80(A+B)(A+B)，F=180F=180(D+E)(D+E) A=D,B=E A=D,B=E（已知）（已知） C=F C=F（等量代换）（等量代换） BC=EF BC=EF（已知）（已知） ABCABCDEFDEF（ASAASA）F FE ED DC CB BA A议一议议一议, , 做一做一做做(1)(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? ?尽可能回忆出来尽可能回忆出来. .(2)(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? ? 如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，如图，先自己折纸观察探索并写
4、出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足然后再小组交流，互相弥补不足. .D DC CB BA AD DC CB BA AD D(C)(C)B BA A定理定理: : 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. (. (等边对等边对等角等角) )已知：如图已知：如图, , 在在ABCABC中中, AB=AC., AB=AC.求证：求证：B=C.B=C.证明：取证明：取BCBC的中点的中点D, D, 连接连接AD.AD. 在在ABDABD和和ACDACD中中 AB=AC, BD=CD, AD=AD AB=AC, BD=CD, AD=AD ABDABDACD (SSS)ACD (S
5、SS) B=C B=C （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）C CB BA AD D证法一证法一: :等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的性质已知：如图已知：如图, , 在在ABCABC中中, AB=AC., AB=AC.求证：求证：B=C.B=C.证明：作证明：作ABCABC顶角顶角AA的角平分线的角平分线AD.AD. 在在ABDABD和和ACDACD中中 AB=AC, BAD=CAD, AD=AD AB=AC, BAD=CAD, AD=AD ABDABDACD (SAS)ACD (SAS) B=C B=C （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应
6、角相等）C CB BA AD D证法二证法二: :定理定理: : 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. (. (等边对等边对等角等角) )等腰三角形的性质等腰三角形的性质已知：如图已知：如图, , 在在ABCABC中中, AB=AC., AB=AC.求证：求证：B=C.B=C.证明：在证明：在ABCABC和和ACBACB中中 AB=AC, A=A, AC=AB, AB=AC, A=A, AC=AB, ABCABCACB (SAS)ACB (SAS) B=C B=C （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）C CB BA A证法三证法三: : 点拨：点拨：此题还有多种证
7、法，不论怎样证，依据都是此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。全等的基本性质。定理定理: : 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等. (. (等边对等边对等角等角) )想一想想一想C CB BA AD D 在上面的图形中在上面的图形中, ,线段线段ADAD还具有怎样的性质还具有怎样的性质? ?为为什么什么? ?由此你能得到什么结论由此你能得到什么结论? ? 推论推论: : 等腰三角形顶角等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合的高互相重合. (. (三线合一三线合一) ) 1. 1.等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的
8、两个底角相等； 2. 2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合；底边上高三条线重合； 等腰三角形的性质等腰三角形的性质如图如图, ,在在ABDABD中中,C,C是是BDBD上的一点，且上的一点，且ACBDACBD，AC=BC=CDAC=BC=CD，（1 1）求证：）求证： ABDABD是等腰三角形是等腰三角形; ;（2 2）求）求BADBAD的度数的度数. .BCDA解：（解：（1 1）ACBDACBD，AC=BC=CDAC=BC=CD，ACB=ACD=90ACB=ACD=90ACBACBACDACDAB=ADAB=ADABDABD是等腰三角形
9、是等腰三角形（2 2）ACBDACBD，AC=BC=CDAC=BC=CD，ACBACB、ACDACD都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形B=D=45B=D=45BAD=90BAD=90 1. 1. 通过折纸活动获得三个定理，均给予了严通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据。丰富的理论依据。 2. 2. 体会了证明一个命题的严格的要求，体会体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性。了证明的必要性。课堂小结课堂小结, , 畅谈收获：畅谈收获：等腰三角形等腰三角形(2)(2)三角形的证明
10、想一想想一想, , 做一做做一做 在等腰三角形中作出一些线段在等腰三角形中作出一些线段( (如角平分线、中如角平分线、中线、高等线、高等) )，你能发现其中一些相等的线段吗，你能发现其中一些相等的线段吗? ? 你能证你能证明你的结论吗明你的结论吗? ? 作图观察作图观察, ,我们可以发现：等腰三角形两底角的平我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等分线相等；两腰上的高、中线也分别相等 我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不
11、移地去承认它，相信它人们坚定不移地去承认它，相信它 下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中， AB=AC AB=AC， BD BD、CECE是是ABCABC的角平分线的角平分线例例1. 1. 证明证明: : 等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等. .用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成21E ED DC CB BA A求证：求证：BD=CEBD=CE证明：证明：AB=ACAB=AC，ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边
12、对等角) ) 1= ABC 1= ABC，2= ACB2= ACB，1=21=2 在在BDCBDC和和CEBCEB中，中， ACB=ABC ACB=ABC，BC=CBBC=CB，1=21=2 BDCBDCCEB(ASA)CEB(ASA) BD=CE( BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中， AB=AC AB=AC， BD BD、CECE是是ABCABC的角平分线的角平分线例例1. 1. 证明证明: : 等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等. .用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成43E ED DC
13、CB BA A求证：求证：BD=CEBD=CE证明：证明：AB=ACAB=AC，ABC=ACBABC=ACB 3= ABC 3= ABC，4= ACB4= ACB， 3=43=4 在在ABDABD和和ACEACE中，中， 3=4 3=4，AB=ACAB=AC，A=AA=A ABDABDACE(ASA)ACE(ASA) BD=CE( BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中， AB=AC AB=AC， BD BD、CECE是是ABCABC的高的高1. 1. 证明证明: : 等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等. .求
14、证：求证：BD=CEBD=CEE ED DC CB BA A 证明：证明：AB=ACAB=AC，BDBD、CECE是高，是高，ADB=AEC=90ADB=AEC=90，在在ABDABD和和ACEACE中，中， ADB ADBAEC AEC ，AAA A ，ABABAC AC ，ABDABDACEACE（AASAAS），），BD=CEBD=CE分析：要分析：要证证BD=CEBD=CE，就需证就需证BDBD和和CECE所在所在的两个三的两个三角形的全角形的全等等已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中， AB=AC AB=AC， BD BD、CECE是是ABCABC的中线的中线2. 2. 证
15、明证明: : 等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等. .求证：求证：BD=CEBD=CEE ED DC CB BA A分析：要分析：要证证BD=CEBD=CE，就需证就需证BDBD和和CECE所在所在的两个三的两个三角形的全角形的全等等 证明：证明：AB=ACAB=AC，BDBD、CECE是是ABCABC的中线，的中线，ABABAC AC ，AAE E=A=AD D，在在ABDABD和和ACEACE中，中， A AE E=A=AD D，AAA A ，ABABAC AC ，ABDABDACEACE（AASAAS），），BD=CEBD=CE 刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形刚才
16、，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段中比较特殊的线段( (角平分线、中线、高角平分线、中线、高) )相等，相等，还有其他的结论吗还有其他的结论吗? ?你能从上述证明的过程中得到你能从上述证明的过程中得到什么启示什么启示? ? 把腰二等分的线段相等，把底角二等分的把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等如果是三等分、四等分线段相等如果是三等分、四等分结果如何结果如何呢呢? ?想一想想一想, , 做一做做一做议一议议一议1 1在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中，中，(1)(1)如果如果ABD= ABCABD= ABC，ACE= ACBACE= ACB，那么，那么BD=CEBD=
17、CE吗吗? ?如果如果ABD= ABCABD= ABC，ACE= ACBACE= ACB呢呢? ?由由此，你能得到一个什么结论此，你能得到一个什么结论? ?(2)(2)如果如果AD= ACAD= AC，AE= ABAE= AB，那么，那么BD=CEBD=CE吗吗? ?如果如果AD= ACAD= AC，AE= ABAE= AB呢呢? ?由此你得到什么结论由此你得到什么结论? ?小结小结 （1 1）在）在ABCABC中，如果中，如果AB=ACAB=AC，ABD= ABCABD= ABC，ACE= ACBACE= ACB，那么，那么BD=CE.BD=CE. （2 2）在）在ABCABC中，如果中，如
18、果AB=ACAB=AC，AD= ACAD= AC，AE= ABAE= AB，那么，那么BD=CE.BD=CE. 简述为：简述为： （1 1）在）在ABCABC中，如果中，如果AB=ACAB=AC，ABD=ACEABD=ACE，那么，那么BD=CE.BD=CE. （2 2）在）在ABCABC中，如果中，如果AB=ACAB=AC，AD=AEAD=AE，那么，那么BD=CE.BD=CE.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=BC=AC。求证：求证：A=B=C=60.证明：在证明：在ABC中
19、，中，AB=AC， B=C(等边对等角等边对等角). 同理：同理：C=A， A=B=C（等量代换）（等量代换）. 又又A+B+C180（三角形内角和定理）（三角形内角和定理） A=B=C60.CBA随堂练习随堂练习 及时巩固及时巩固如图如图, ,已知已知ABCABC和和BDEBDE都是等边三角形都是等边三角形, ,求证求证:AE=CD:AE=CDABCDE证明证明: : ABCABC和和BDEBDE都是等边三角形都是等边三角形AB=BC,ABC=DBE=60AB=BC,ABC=DBE=60, ,BE=BDBE=BD ABEABECBDCBDAE=CDAE=CD课时小结课时小结 1. 1.等腰三
20、角形中还有那些相等的等腰三角形中还有那些相等的线段？线段？ 2. 2.等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些性质？ 3. 3.本节课你学到的探索问题的本节课你学到的探索问题的方法是什么？方法是什么？等腰三角形等腰三角形(3)(3)三角形的证明想一想想一想问题问题1.1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题 的题设和结论分别是什么？的题设和结论分别是什么？问题问题2.2.我们是如何证明上述定理的？我们是如何证明上述定理的？问题问题3.3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？ 如果一个三角形有两个角相等，那
21、么这两个角所对如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等？的边也相等？ 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? ?议一议议一议已知：在已知：在ABCABC中，中，B=CB=C，求证：求证：AB=ACAB=AC 证明：如图，过点证明：如图，过点A A作作ADBCADBC于点于点D D则则ADB=ADCADB=ADC在在ABDABD与与ACDACD中，中， BBC C ，ADBADBADCADC， AD ADAD AD ，ABDABDACDACD（AASAA
22、S），），AB=ACAB=ACC CB BA A分析：只要构造两个全等的三角形，使分析：只要构造两个全等的三角形，使ABAB与与ACAC成为对应边就可成为对应边就可以了以了. . 作角作角A A的平分线，或作的平分线，或作BCBC上的高，都可以把上的高，都可以把ABCABC分成两分成两个全等的三角形个全等的三角形 定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形. . ( (等角对等边等角对等边.).)等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理：在在ABCABC中中BBCC（已知），（已知），AB=ACAB=AC（等角对等边）（等角对等边）. .几何的三种语言几何的
23、三种语言ACB 练习练习1 1如图，如图，A =36A =36，DBC =36DBC =36，C =72C =72，图中一共有几，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明ABCD随堂练习随堂练习 证明：答案不唯一，可找一个等腰证明：答案不唯一，可找一个等腰ABCABC在在ABCABC中，中，A=36A=36，C=72C=72，ABC=180ABC=180- -（7272+36+36）=72=72C=ABCC=ABC，AB=ACAB=AC，ABCABC是等腰三角形。是等腰三角形。练习练习2 2：已知：如图，：已知：如图，CAECAE
24、是是ABCABC的外角，的外角， ADBC ADBC且且1=21=2求证：求证：AB=ACAB=AC随堂练习随堂练习 21BACED解：解：ADBCADBC，（已知），（已知）1=B1=B，（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同位角相等）2=C2=C，（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）1=21=2，（已知），（已知）B=CB=C，AB=ACAB=AC（等角对等边）（等角对等边）想一想想一想 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗么这两个角所对的边也不相等你认为这个结论成立吗
25、? ?如如果成立，你能证明它吗果成立，你能证明它吗? ? 我们来看一位同学的想法：我们来看一位同学的想法： 如图，在如图，在ABCABC中，已知中，已知BCBC，此时此时ABAB与与ACAC要么相等，要么不相等要么相等，要么不相等 假设假设AB=ACAB=AC，那么根据，那么根据“等边对等角等边对等角”定理可得定理可得C=BC=B，但已知条件是，但已知条件是BCBC“C=BC=B”与已知条件与已知条件“BCBC”相矛相矛盾，因此盾，因此 ABAC ABAC 你能理解他的推理过程吗你能理解他的推理过程吗? ?C CB BA A 再例如，我们要证明再例如，我们要证明ABCABC中不可能有两个直角，
26、也中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法可以采用这位同学的证法. . 假设有两个角是直角，不妨设假设有两个角是直角，不妨设A=90A=90，B=90B=90，可得可得A+B=180A+B=180，但，但ABCABC中中A+B+C=180A+B+C=180“A+B=180A+B=180”与与“A+B+C=180A+B+C=180”相矛盾，相矛盾，因此因此ABCABC中不可能有两个直角中不可能有两个直角 上面的证法有什么共同的特点呢上面的证法有什么共同的特点呢? ? 在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的
27、定理相矛，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立我们把它叫做反证法盾，从而证明命题的结论一定成立我们把它叫做反证法 隋堂练习隋堂练习1.1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角已知：已知：ABCABC求证：求证：AA、BB、CC中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角证明：假设证明：假设AA、BB、CC中有两个角是直角，中有两个角是直角，设设A=B=90A=B=90，则，则A+B+C=90A+B+C=90+90+90+C+C180180这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，所以所以A=B=
28、90A=B=90不成立不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角所以一个三角形中不能有两个角是直角活动与探究活动与探究 1.1.如图，如图，BDBD平分平分CBACBA，CDCD平分平分ACBACB，且，且MNBCMNBC，设设AB=12AB=12，AC=18AC=18，求，求AMNAMN的周长的周长. . 分析：要求分析：要求AMNAMN的周长，的周长，则需求出则需求出AM+MN+ANAM+MN+AN，而这三条边都，而这三条边都是未知的由已知是未知的由已知AB=12AB=12，AC=18AC=18，可使我们联想到可使我们联想到AMNAMN的周长需转的周长需转化成与化成与ABAB、ACAC有关系
29、的形式而已有关系的形式而已知中的角平分线和平行线告诉我们知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口找到问题的突破口 N NM MC CB BA AD Dw例例1.1.证明证明: :如果如果a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4,a,a5 5都是正数都是正数, ,且且a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=1,=1,那么那么, ,这五个数中至少有一个大于这五个数中至少有一个大于或等于或等于1/5.1/5.用反证法来证用反证法来证: :证明证明: :假设这五个数全部小于假设这五个数全部小于
30、1/5,1/5,那么这五个数那么这五个数的和的和a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5就小于就小于1.1.这与已知这五个数的这与已知这五个数的和和a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=1=1相矛盾相矛盾. .因此假设不成立因此假设不成立, , 原原命题成立命题成立, ,即这五个数中至少有下个大于或等于即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.1/5.2.2.现有等腰三角形纸片现有等腰三角形纸片, ,如果能从一个角的顶点出如果能从一个角的顶点出发发, ,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片, ,问问此
31、时的等腰三角形的顶角的度数此时的等腰三角形的顶角的度数? ? 3636 90 90 108108活动与探究活动与探究 （1）本节课学习了哪些内容？）本节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系定的区别和联系（4 4）举例谈谈用反证法说理的基本思路）举例谈谈用反证法说理的基本思路课堂小结课堂小结等腰三角形等腰三角形(4)(4) (1) (1)一个等腰三角形满足什么条件时便成一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形为等边三角形? ? (2) (
32、2)你认为有一个角等于你认为有一个角等于6060的等腰三角的等腰三角形是等边三角形吗形是等边三角形吗? ?你能证明你的结论吗你能证明你的结论吗? ?把你的把你的证明思路与同伴交流证明思路与同伴交流想一想想一想 分析：有一个角是分析：有一个角是6060，在等腰三角形中有，在等腰三角形中有两种情况：两种情况：(1)(1)这个角是底角；这个角是底角；(2)(2)这个角是顶角这个角是顶角定理：有一个角是定理：有一个角是6060. .的等腰三角形是等边的等腰三角形是等边 三角形三角形等边三角形的判定定理：等边三角形的判定定理：求证：三个角都相等的三角形是等边三角形求证：三个角都相等的三角形是等边三角形已
33、知：已知：ABCABC中，中，A=B=CA=B=C求证：求证：ABCABC是等边三角形是等边三角形证明：证明：A=BA=B， BC=AC( BC=AC(等角对等边等角对等边) ) 又又A=CA=C， BC=AB( BC=AB(等角对等边等角对等边) ) AB=BC=CA AB=BC=CA， 即即ABCABC是等边三角形是等边三角形 随堂练习随堂练习C CB BA A性质性质判定的条件判定的条件等腰三角形等腰三角形( (含等边三角形含等边三角形) )等边对等角等边对等角等角对等边等角对等边“三线合一三线合一”, ,即等腰三即等腰三角形顶角平分线，底边上角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合的中
34、线、高互相重合有一角是有一角是6060的等腰的等腰三角形是等边三角形三角形是等边三角形等边三角形三个角都相等等边三角形三个角都相等，且每个角都是，且每个角都是6060三个角都相等的三角三个角都相等的三角形是等边三角形形是等边三角形等边三角形的性质和判定：等边三角形的性质和判定： 用含用含3030角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形角形? ?能拼出一个等边三角形吗能拼出一个等边三角形吗? ?说说你的理由说说你的理由 由此你能想到，在直角三角形中，由此你能想到，在直角三角形中，3030角所对的直角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系角边与斜边有怎样的大小关系?
35、 ?你能证明你的结论吗你能证明你的结论吗? ?做一做做一做D D( (1 1) )C CB BA A( (2 2) )B BC CA AD D 定理：定理：在直角三角形中，如果一个锐角等在直角三角形中，如果一个锐角等于于3030，那么它所对的直角边等于斜边的一半，那么它所对的直角边等于斜边的一半 已知：如图，在已知：如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，BAC=30BAC=30求证：求证：BC= ABBC= ABC CB BA AD D证明：延长证明：延长BCBC至至D D，使，使CD=BCCD=BC，连接，连接ADAD ACB=90 ACB=90ACD=90ACD=90 AC
36、=AC AC=AC，ABCABCADC(SAS)ADC(SAS) AB=AD( AB=AD(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) ) ABDABD是等边三角形是等边三角形( (有一个角是有一个角是6060的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形) ) BC= BD= AB BC= BD= AB 等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为1515腰长为腰长为2a2a，求腰上的高，求腰上的高 例题例题 已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，AB=AC=2aAB=AC=2a，ABC=ACB=15ABC=ACB=15,CD,CD是腰是腰ABAB上的高；上的高；求：求：CDCD的长
37、的长. . C CB BA AD D解：解：ABC=ACB=15ABC=ACB=15 DAC=ABC+ACB=15 DAC=ABC+ACB=15+15+15=30=30 CD= AC= CD= AC= 2a= a(2a= a(在直角三角形中，如果在直角三角形中，如果一个锐角等于一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于斜边的一，那么它所对的直角边等于斜边的一半半) ) 一个问题一个问题“反过来反过来”思考，就可能形成一个真命思考，就可能形成一个真命题你能举个例子吗题你能举个例子吗? ? 例如例如“等边对等角等边对等角”反过来反过来“等角对等边等角对等边”也是也是真命题；真命题；“等边三角形的
38、三个角都相等，并且每个角都等等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于于6060”，反过来，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形” 但有些命题但有些命题“反过来反过来”就不成立例就不成立例“对顶角相对顶角相等等”反过来反过来“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”就不成立就不成立想一想想一想D DC CB BA A已知：如图，在已知：如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，BC= ABBC= AB求证：求证：BAC=30BAC=30证明：延长证明：延长BCBC至至D D，使，使CD=BCCD=BC，连接，连接AD.AD.ACB=90ACB=90，A
39、CD=90ACD=90又又AC=ACAC=ACACBACBACD(SAS)ACD(SAS)AB=ADAB=ADCD=BCCD=BC，BC= BDBC= BD又又BC= ABBC= AB，AB=BDAB=BDAB=AD=BDAB=AD=BD，即即ABDABD是等边三角形是等边三角形B=60B=60在在RtRtABCABC中，中，BAC=30BAC=30试一试试一试 命题命题“在三角形中，如果一条直角边在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于角等于3030”是真命题吗？如果是，请你证是真命题吗？如果是，请你证明它明它 是真命题，证明如下：是真命题，证明如下：解：解：DEAC，BCAC，A = =30，2121BC = = AB，DE = = AD21又又AD = = AB，21DE = = AD = =1. .85（m） BC = =3. .7（m）答：立柱答：立柱BC 的长是的长是3. .7 m，DE 的长是的长是1. .85 m性质运用性质运用例如图是屋架设计图的一部分，点例如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁是斜梁AB的中点，立柱的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁垂直于横梁AC，AB = =7. .4 cm，A = =30，立柱，立柱BC、DE 要多长？要多长？ABCDE 这节课有何收获？这节课有何收获？
