1、离心率的专题复习椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率一、直接求出、，求解已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ）A. B. C. D. 解：由、知 ，又椭圆过原点，所以离心率.故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D 解：由题设，则，因此选C变式练习3：点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方
2、向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A B C D 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，则，故选A二、构造、的齐次式，解出根据题设条件，借助、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式， 即，得，解得（舍去），故选D变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )A. B.
3、 C. D. 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ,两边平方，得，整理得，得或，又 ，故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 解：如图所示，不妨设，则，又，在中， 由余弦定理，得,即， ，故选B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：变式练习1已知长方形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 . 变式练习2已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若
4、边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 . 变式练习3如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为 . 四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，于，为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， 变式练习1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 解：变式练习2：已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 . 变式练习3：
5、已知椭圆C：（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线于C相交于A、B两点，若，则k = . 五、构建关于的不等式，求的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式（一）基本问题例椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是 Ex1设，则双曲线的离心率的取值范围是 （二）数形结合例已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得F1PF260，则椭圆离心率的取值范围是 .Ex1
6、已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 .（三）利用焦半径的取值范围例1已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 (1, )变：已知椭圆1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆的右准线上存在一点P，使得PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是 Ex1双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 Ex2已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围是 配套练习1. 设双曲线（）的离心率为，且
7、它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A BCD3已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 4在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A B C D 5在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 6如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 7. 设、分别是椭
8、圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）A B C D 8设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（ ）A B C D 9已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C D 10椭圆（）的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）AB CD答案：1.由可得故选D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍， ，椭圆的离心率，选D。3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A4.不妨设椭圆方程为（ab0），则有，据此求出e
9、5.不妨设双曲线方程为（a0，b0），则有，据此解得e，选C6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，连接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，双曲线的离心率为，选D。7.由已知P（），所以化简得8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中， 离心率，选B。9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率e2=，
10、 e2，选C10.椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则，该椭圆离心率e，选D椭圆离心率的求法1. 椭圆方程的右焦点为,过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为60，,求椭圆的离心率？（焦半径公式，的应用左加右减，弦长公式）2. 椭圆方程的右焦点为,其右准线与轴的交点为,在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点,则椭圆的离心率的范围？（焦准距的应用）3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于的二元二次方程解法）4. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴上的一个端点，线段的延长线交于,且,则的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例 的应用）5. 过椭圆的左
11、焦点,右顶点为,点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）6. 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点，若，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积）7. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质的应用）8. 椭圆的离心率为?（椭圆基本性质的应用）9. 椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质的应用）10. 设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距；垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三
12、边 应用）11. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为？（通径，焦准距）12. 已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围是？（正弦定理，第一定义）13. 在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为？（直线方程交点坐标）14. 在中，.若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率为？（余弦定理，第一定义）15. 已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为？（通径）16. 已知椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆。若过点作圆的两条切线相互
13、垂直，则该椭圆的离心率为？（基本性质）17. 已知分别是椭圆的左、右焦点，满足的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是？（圆周角:圆直径所对的圆周角等于90）18. 过椭圆左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为?（焦半径公式，弦长公式）19. 已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为？20. 椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为？21. 已知椭圆的短轴的上下端点分别为，左右焦点分别为，长轴右端点为，若，则椭圆的离心率为?（向量坐标加减）22. 若以椭圆的右焦点为圆心，为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距）23. 已知点，为椭圆的左准线与轴的交点，若线段的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率为？24. 若斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为？（通径）25. 已知两点分别是椭圆的左顶点和上顶点，而是椭圆的右焦点，若，则椭圆的离心率为？（两直线垂直，有）第 11 页 共 11 页
