1、2022年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）1（5分）已知集合Ax|x2n+1，nZ，B（）A1，3B1，3，5，7，9C3，5，7D1，3，5，72（5分）已知某公交车早晨5点开始运营，每20分钟发一班车，小张去首发站坐车（）ABCD3（5分）若x，y满足约束条件，则z2x+y的最小值为（）A1B2C3D44（5分）已知抛物线y24ax的焦点是F，点P的坐标为（a，2a）若|PF|6（）A4B3C4或4D3或35（5分）已知数列an满足a115，a2，且2an+1an+an+2若akak+10，则
2、正整数k（）A21B22C23D246（5分）2019年1月3日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，地球P和月球Q都绕地月系质心O做圆周运动，POr1，QOr2，设地球质量为M，月球质量为m，地月距离PQ为R，月球绕O做圆周运动的角速度为，且m2r2M2r1，则（）ABCGDr1R7（5分）有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，丙都未当选”，丙说：“我当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是（）A甲B乙C丙D丁8（5分）函数在区间3，5上的所有零点之和等于
3、（）A2B0C3D29（5分）习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计哈九中落实讲话内容，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（）A100B120C300D60010（5分）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（）A3B4C9D1611（5分）偶函数f（x）满足f（4+x）f（4x），4时，不等式f2（x）+af（x
4、）0在200，200上有且只有100个整数解（）ABCD12（5分）在钝角ABC中，a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，若AGBG，则cosC的取值范围是（）A（0，）B，）C（，1）D，1）二、填空题：（本题共4小题，每小题5分）13（5分）若复数z满足zi2i，则|z| 14（5分）在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 15（5分）双曲线C：1（a0，b0），P为双曲线C上的一点，则双曲线的半焦距c的取值范围 16（5分）在梯形ABCD中，ABCBAD90，ABBC，M为AC的中点，将ABC沿直线AC翻折成AB1C，当三棱锥B1ACD的体积最大时，
5、过点M的平面截三棱锥B1ACD的外接球所得截面面积的最小值为 三、解答题：（共70分。解答写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17（12分）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）（亿元）的数据统计如表：序号123456789101112x23
6、46810132122232425y1522274048546068.56867.56665当0x17时，建立了y与x的两个回归模型：模型：4.1x+10.914.4；当x17时（1）根据下列表格中的数据，比较当0x17时模型，的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；回归模型模型模型回归方程4.1x+10.914.479.1320.2（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型（直接收益+国家补贴）的大小附：刻画回归效果的指数R21，且当R2越大
7、时，回归方程的拟合效果越好4.1用最小二乘法求线性同归方程的截距：18（12分）已知数列an满足a1a2an22an，nN*（1）证明：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）记，求bn的前n项和Sn19（12分）三棱锥PABC中，ACBC，平面PAC平面ABC，BC4，E，F分分别为PC和PB的中点（1）证明：直线lBC；（2）设M是直线l上一点，且直线PB与平面AEF所成的角为，直线PM与直线EF所成的角为，求|AM|的值20（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：+1（ab0），右焦点为F，且椭圆过点（0，）、（2，）（点P在x轴的上方）（1）求椭圆的标准方程；（2）若+2，
8、求点P的坐标；（3）设直线AP，BQ的斜率分别为k1、k2，是否存在常数，使得k1+k20？若存在，请求出的值；若不存在21（12分）已知函数f（x）（x+b）（exa）（b0）在（1，f（1）处的切线方程为（e1）（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）m有两个实数根x1，x2，证明：；当m0时，|x2x1|2m+1是否成立？如果成立，请简要说明理由（二）选考题：共10分，22，23题中任选一题作答22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线经过伸缩变换2，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：（1）写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C2上
9、求一点P，使点P到直线l的距离最小23已知函数f（x）|2xa|2x+3|，g（x）|x2|（1）当a1时，解不等式f（x）0；（2）若f（x）g（x）在x1，求实数a的取值范围2022年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）1（5分）已知集合Ax|x2n+1，nZ，B（）A1，3B1，3，5，7，9C3，5，7D1，3，5，7【解答】解：Bx|35，又Ax|x2n+1，nZ，AB4，3，5，5，9，故选：B2（5分）已知某公交车早晨5点开始运营，每20分钟发一班车，小张去首发站坐车（
10、）ABCD【解答】解：若小张等车时间少于5分钟，则他至多在发车前5分钟到达车站即可，由几何概型的概率公式可知，小张等车时间少于8分钟的概率为故选：B3（5分）若x，y满足约束条件，则z2x+y的最小值为（）A1B2C3D4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z2x+y得y2x+z，平移直线y7x+z，由图象平移知当直线y2x+z，直线y2x+z的截距最大，由，得，即A（0，则z2x+y5+11，故选：A4（5分）已知抛物线y24ax的焦点是F，点P的坐标为（a，2a）若|PF|6（）A4B3C4或4D3或3【解答】解：由抛物线y24ax知焦点F（a，8），|PF|6，|a+a|6故选
11、：D5（5分）已知数列an满足a115，a2，且2an+1an+an+2若akak+10，则正整数k（）A21B22C23D24【解答】解：由2an+1an+an+7，得an+1anan+2an+2，又a115，a2，则数列an是以15为首项，以为公差的等差数列，由an0，得，得n，nN*，n23则使akak+18的正整数k23故选：C6（5分）2019年1月3日，嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，地球P和月球Q都绕地月系质心O做圆周运动，POr1，QOr2，设地球质量为M，月球质量为m，地月距离PQ为R，月球绕O做圆周运动
12、的角速度为，且m2r2M2r1，则（）ABCGDr1R【解答】解：由m2r2M2r1，所以，又Rr8+r2，所以，即，故选项B正确；又，故选项C错误；又，故选项D错误，故选：B7（5分）有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，丙都未当选”，丙说：“我当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是（）A甲B乙C丙D丁【解答】解：若甲当选，则都说假话若乙当选，则甲、乙，丙说假话若丁当选，则甲、丁，乙说真话故当选是丙故选：C8（5分）函数在区间3，5上的所有零点之和等于（）A2B0C3D2【解答】解：函数7，5（x8）k，kZ令k1，0，
13、3，可得x2，1，3函数在区间3故选：C9（5分）习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计哈九中落实讲话内容，有A、B、C、D、E、F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（）A100B120C300D600【解答】解：先排B，除了第一个不能选之外其余5个都可以，有，A，C，D3个成果，按照A，C10，剩余E，F，进行排列汇报有，则共有6102100，故选：A10（5分）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等已知圆O
14、是某窗的平面图，O为圆心，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（）A3B4C9D16【解答】解：因为，所以）22，所以6|，则|，因为点P是圆O内部一点，所以|8，所以cosAOP6，则（+）22+6+28+9，故的最小值是8故选：A11（5分）偶函数f（x）满足f（4+x）f（4x），4时，不等式f2（x）+af（x）0在200，200上有且只有100个整数解（）ABCD【解答】解：偶函数f（x）满足f（x）满足f（4+x）f（4x），f（x+7）f（4x）f（x4），f（x）的周期为7，且f（x）的图象关于直线x4对称由于200，200上含有50个周期，关于x的不等式f2（x）+af（
15、x）4在（0，4上有6个整数解当x（0，4时，f（x）在（0，e）上单调递增，4）上单调递减，f（1）ln10，f（2），f（3）7，当xk（k2，3，7）时，当a0时，f2（x）+af（x）7在（0，4上有8个整数解，a0，由f2（x）+af（x）2可得f（x）0或f（x）a，显然f（x）0在（2，4上无整数解，故而f（x）a在（0，8上有1个整数解，f（x）a在（7，4上有1个整数解，从而有a且a，ln3a故选：C12（5分）在钝角ABC中，a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，若AGBG，则cosC的取值范围是（）A（0，）B，）C（，1）D，1）【解答】解：如图所示：，连接C
16、G，并延长交AB于D，由G是三角形的重心，得D是AB的中点，AGBG，DGc，由重心的性质得CD3DG，即CDc，由余弦定理得：AC2AD2+CD72ADCDcosADC，BC2BD3+CD22BDCDcosBDC，ADC+BDC，ADBD，AC6+BC2a2+b32AD2+5CD25c5，则cosC（+），AGDACD，BGDBCD，ACB为锐角，ABC是钝角三角形，BAC或ABC为钝角，b2+c2a6或a2+c2b8，将a2+b22c2代入得：（，），cosC1故选：C二、填空题：（本题共4小题，每小题5分）13（5分）若复数z满足zi2i，则|z|【解答】解：由zi2i，得z，|z|故答
17、案为：14（5分）在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 27【解答】解：设在1和9之间插入三个数为a，b，c，使这五个数3，a，b，c，则19acb2，ac9，b3，则中间三个数的积等于abc27，故答案为：2715（5分）双曲线C：1（a0，b0），P为双曲线C上的一点，则双曲线的半焦距c的取值范围 2，+）【解答】解：由题意，双曲线，设P（x，y），因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3，可得，又由，可得b2x2a2y2a2b5，所以，即，即，所以c2，当且仅当ab时等号成立，所以双曲线的半焦距c的取值范围8，+）故答案为：2，+）16（5分）在梯形AB
18、CD中，ABCBAD90，ABBC，M为AC的中点，将ABC沿直线AC翻折成AB1C，当三棱锥B1ACD的体积最大时，过点M的平面截三棱锥B1ACD的外接球所得截面面积的最小值为 【解答】解：如下图所示，连接B1M，则B1MAC，则AB2C90，故，设二面角B2ACD的平面角为，设三棱锥B1ACD的高为h，则，当且仅当90时，等号成立1AC平面ACD时，三棱锥B8ACD的体积最大，故ABC为等腰直角三角形，在梯形ABCD中，ABCBAD90，所以，在ACD中，由余弦定理可得，故AC7+CD2AD2，CDAC，因为平面B5AC平面ACD，平面B1AC平面ACDAC，CDAC，CD平面B1AC，A
19、B4平面B1AC，则AB1CD，因为AB6B1C，B1CCDC，AB8平面B1CD，B1D平面B8CD，所以1B1D，记AD中点为O，由OB4OAOCOD得O为三棱锥B1ACD的外接球的球心，且球的半径为，设OM与过点M的平面所成的角为，设点O到截面的距离为d，则，当且仅当90时，过点M的平面截三棱锥外接球O所得截面面积最小故答案为：三、解答题：（共70分。解答写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17（12分）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，
20、成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）（亿元）的数据统计如表：序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665当0x17时，建立了y与x的两个回归模型：模型：4.1x+10.914.4；当x17时（1）根据下列表格中的数据，比较当0x17时模型，的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元
21、时的直接收益；回归模型模型模型回归方程4.1x+10.914.479.1320.2（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型（直接收益+国家补贴）的大小附：刻画回归效果的指数R21，且当R2越大时，回归方程的拟合效果越好4.1用最小二乘法求线性同归方程的截距：【解答】解：（1）对于模型，对应的，（1538）2+（2238）7+（2738）2+（4038）2+（4838）8+（5438）2+（6038）21750，所以相关指数R15.9548，同理，模型的相关指数R0.9889，因为0.98893.9548，所以模型
22、拟合精度更高；故对型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为21.314.472.93；（2）当x17时，后五组的，67，由最小二乘法可得67（0.7）2383.5，故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：0.720+83.3+574.172.93，故投入17亿元比投入20亿元时收益小18（12分）已知数列an满足a1a2an22an，nN*（1）证明：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）记，求bn的前n项和Sn【解答】证明：（1）当n1时，a122a1，得，当n8时，由a1a2an22an，得a1a8an127an1，两式作商得，整理为：，即，为等差数列，首
23、项为，整理得：；解：（2），则19（12分）三棱锥PABC中，ACBC，平面PAC平面ABC，BC4，E，F分分别为PC和PB的中点（1）证明：直线lBC；（2）设M是直线l上一点，且直线PB与平面AEF所成的角为，直线PM与直线EF所成的角为，求|AM|的值【解答】解：（1）证明：E、F分別为PB，BCEF，又EF面EFA，BC面EFA，BC面ABC，面EFA面ABC1，（2）以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，3，0），0，8），设M（m，2，7），设平面AEF法向量（x，y，则，取y1，得，直线PB与平面AEF所成的角为，直线
24、PM与直线EF所成的角为，cossin，即存在M满足题意，此时|AM|120（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：+1（ab0），右焦点为F，且椭圆过点（0，）、（2，）（点P在x轴的上方）（1）求椭圆的标准方程；（2）若+2，求点P的坐标；（3）设直线AP，BQ的斜率分别为k1、k2，是否存在常数，使得k1+k20？若存在，请求出的值；若不存在【解答】解：（1）因为椭圆过点（0，）、（2，），所以，解得，故椭圆的标准方程为；（2）设P（x1，y1）（y50），Q（x2，y7），由（1）可知，F（2，因为+2，所以（2x1，y7）+2（2x4，y2）（0，6），则，解得，所以，分别将点
25、P，Q的坐标代入椭圆的方程，则，解得，故所求点P的坐标为；（3）设存在常数，使得k1+k27，设直线BP的斜率为k3，由题意可得，则，所以，由题意，设直线l的方程为xmy+8，联立方程组，可得（5m2+7）y2+20my250，所以900（m8+1）0，且，则，所以，则，故存在，k1+k8021（12分）已知函数f（x）（x+b）（exa）（b0）在（1，f（1）处的切线方程为（e1）（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）m有两个实数根x1，x2，证明：；当m0时，|x2x1|2m+1是否成立？如果成立，请简要说明理由【解答】（1）解：f（x）（x+b+1）exa，a6，b1或；（2）证明：
26、由（1）可知f（x）（x+2）（ex1），f（x）（x+2）ex7，g（x）f（x）（x+2）ex1，g（x）（x+4）ex，g（x）0得x3，所以当x（，8）时，f（x）单调递减；当x（3，+）时g（x）单调递增，所以，当x+时，f（x）+，f（x）6且f（0）10，x0（1，7）0）0，x0（1，2）0+2（7，2）min，成立，理由如下：当直线过（7，（x0，f（x0）时割线方程为，得当直线过（0，2）0，f（x0）时割线方程为，得，（二）选考题：共10分，22，23题中任选一题作答22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线经过伸缩变换2，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直
27、线l的极坐标方程为：（1）写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小【解答】解：（1）由题意，曲线C1的参数方程为（为参数），经过伸缩变换后，曲线C8的参数方程为（为参数）因为，所以由ysin，xcos，所以，曲线C2的参数方程为（为参数）直线l的直角坐标方程为x+y+40（2）设P（2cos，2sin），点P到直线l的距离为，（其中，），当sin（+）1时，即时，点P到直线l的距离d取到最小值，此时，所以，点P的坐标为23已知函数f（x）|2xa|2x+3|，g（x）|x2|（1）当a1时，解不等式f（x）0；（2）若f（x）g（x）在x1，求实数a的取值范围【解答】（1）当a1时，8分当时，f（x）4恒成立当时，由4x30，得综上，以不等式f（x）2的解集为（2）f（x）g（x），即|4xa|2x+3|x6|，又因为x1，2，3分整理得|2xa|x+5，则x72xax+5，即x6a3x+5在x7，2有解，所以实数a的取值范围为4，11第23页（共23页）
