1、2022年甘肃省平凉市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（0，2），（1，1），则复数z1z2的虚部为（）A2iB2iC2D22（5分）设集合Ax|x2x60，则AB（）Ax|2x3Bx|1x3Cx|1x3Dx|2x33（5分）已知平面内两定点F1（3，0），F2（3，0），下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（）A|PF1|PF2|7B|PF1|PF2|6C|PF1|PF2|4D4（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，则f（x）（）A0B1C
2、2D35（5分）2022年北京冬奥会结束后，4位德国运动员和5位中国运动员排成一排拍照，则这4位德国运动员排在一起的排法数为（）ABCD6（5分）已知函数f（x）3cos2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），关于函数g（x），下列选项不正确的是（）A最小正周期为BCg（x）图象的对称中心为D当时，g（x）取得最大值7（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为C1D1的中点，则过点A1，B，P的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（）ABCD8（5分）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹜齐飞，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30，此人
3、往滕王阁方向走了42米到达点B，则滕王阁的高度最接近于（）（忽略人的身高）（参考数据：）A49米B51米C54米D57米9（5分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，则二面角PCDB的大小为（）A75B45C60D3010（5分）设x，y满足约束条件，则z2x+4y的最大值为（）AB30C32D3311（5分）已知，2|3|（m0），若点M是ABC所在平面内的一点，且，则的最小值为（）ABCD12（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）f（ex）（0，e）时，|，方程f（x）在区间e（）A2eB3eC4eD5e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把
4、答案填在答题卡中的横线上13（5分）log27log78 14（5分）已知tan（+）4，tan2 15（5分）某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在50，100内，60），60，70，80），90），90，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为 16（5分）已知F是椭圆E：1的右焦点，P是椭圆E上一点2+y22y+90上一点，则|PQ|PF|的最小值为 ，此时直线PQ的斜率为 三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要
5、求作答（一）必考题：共60分17（12分）一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：mm）服从正态分布N（200，2），且P（z210）0.9（1）求z190的概率；（2）若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于190mm的零件个数，求X的分布列与数学期望18（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，E为棱AD上一点（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若AE2，DEPE3，且四棱锥PABCD的体积为2019（12分）在a11，nan+1（n+1）an，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答问题：在数列an中，已知_（1）求an
6、的通项公式；（2）若，求数列bn的前n项和Sn20（12分）已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A（点A在第一象限），B两点（1）求C的标准方程；（2）已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N（M，N异于A，B）两点，证明：直线AM21（12分）已知函数（1）若a1，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（2）若f（x）0在（1，+）上恒成立（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线（t为参数），（为参数）（1）求C1，C2的普通方程；（2）若C1上的点P对应的参数为t，Q为C
7、2上一个动点，求|PQ|的最大值选修45：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|（1）解不等式f（x）+|x2|2；（2）若存在xR，使得成立2022年甘肃省平凉市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（0，2），（1，1），则复数z1z2的虚部为（）A2iB2iC2D2【解答】解：复数z1，z2对应的点分别是（7，2），1），z72i，z28+i，z1z27i（1+i）23i，复数z1z2的虚部为5故选：D2（5分）设集合Ax|x2x60，
8、则AB（）Ax|2x3Bx|1x3Cx|1x3Dx|2x3【解答】解：由集合Ax|x2x62，得Ax|2x3，则Bx|1x4，即ABx|1x3，故选：B3（5分）已知平面内两定点F1（3，0），F2（3，0），下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（）A|PF1|PF2|7B|PF1|PF2|6C|PF1|PF2|4D【解答】解：两定点F1（3，3），F2（3，6），|F1F2|7，由双曲线定义得|PF1|PF2|（4，6），四个选项的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是C故选：C4（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，则f（x）（）A0B1C2D3【解答】解：根据导数与函数单调性的关
9、系可得函数f（x）在区间（a，b）上的单调性为：增，减，增，结合函数的单调性可得函数有2个极值点故选：C5（5分）2022年北京冬奥会结束后，4位德国运动员和5位中国运动员排成一排拍照，则这4位德国运动员排在一起的排法数为（）ABCD【解答】解：把4位德国运动员看作一个元素，则有种排法，故选：D6（5分）已知函数f（x）3cos2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），关于函数g（x），下列选项不正确的是（）A最小正周期为BCg（x）图象的对称中心为D当时，g（x）取得最大值【解答】解：对于B，g（x）f（x+），故B正确；对于A，g（x）的最小正周期T，故A正确；对于C，令2x+（kZ
10、），此时g（x）0，g（x）的对称中心为（，0），故C正确；对于D，当g（x）7时8k，解得xk（kZ），当xk（kZ）时，故D错误故选：D7（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为C1D1的中点，则过点A1，B，P的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（）ABCD【解答】解：如图，过点A1，B，P的平面截正方体所得的截面为A1BQP，所以侧视图为C，故选：C8（5分）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹜齐飞，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，则滕王阁的高度最接近于（）（忽略人的身高）（参考数据：）A
11、49米B51米C54米D57米【解答】解：设CD为x，在BCD中，CBD45，BDCDx，在ACD中，A30，tan30，x21（+1）21（1.732+8）57故选：D9（5分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，则二面角PCDB的大小为（）A75B45C60D30【解答】解：因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，又ADCD，PAADA，因为PD平面PAD，则CDPD在RtPAD中，则PDA30故二面角PCDB的大小为30故选：D10（5分）设x，y满足约束条件，则z2x+4y的最大值为（）AB30C32D33【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，xZ，
12、当z6x+4y过可行域内的点A（7，z取最大值为2故选：A11（5分）已知，2|3|（m0），若点M是ABC所在平面内的一点，且，则的最小值为（）ABCD【解答】解：以A为坐标原点，AB，y轴建立直角坐标系则A（0，0），8），2m），0），8m），（1，所以M（1，m），m），3m），则3m27m+13（m）2+故选：B12（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）f（ex）（0，e）时，|，方程f（x）在区间e（）A2eB3eC4eD5e【解答】解：因为f（x）f（ex），所以f（x+e）f（x），为f（x）为奇函数，所以f（x）f（x），所以f（x+2e）f（xe）f（x+e）f
13、（x），所以f（x）的周期为2e，方程f（x），即f（x）（xe），所以f（x）在区间e（xe）交点的横坐标之和，如图，所以x1+x2+x5+x4+x53e故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13（5分）log27log783【解答】解：log27log383，故答案为：314（5分）已知tan（+）4，tan2【解答】解：因为tan（+）4，tan2，所以tantan（+），所以tan2，故答案为：15（5分）某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在50，100内，60），60，70，80），90）
14、，90，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为72.5【解答】解：由频率分布直方图，得：50，70）的频率为（0.010+0.030）106.4，70，80）的频率为0.040105.4，估计这100名同学的得分的中位数为：70+72.5故答案为：72.716（5分）已知F是椭圆E：1的右焦点，P是椭圆E上一点2+y22y+90上一点，则|PQ|PF|的最小值为 1，此时直线PQ的斜率为 1【解答】解：如图，由题可知，圆C的圆心坐标为，设椭圆E的左焦点为F1，椭圆中，则|PQ|PF|PQ|+|PF1|4|PC|+|PF8|5|CF1|81，当F1，P，Q，C四点共线
15、时，此时直线PQ的斜率为故答案为：4；1三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：mm）服从正态分布N（200，2），且P（z210）0.9（1）求z190的概率；（2）若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于190mm的零件个数，求X的分布列与数学期望【解答】解：（1）因为零件尺寸服从正态分布N（200，2），所以P（z210）1P（z210）7.1，因为，所以P（
16、z190）P（z210）6.1；（2）依题意可得XB（2，3.1），所以P（X0）（20.1）50.81，P（X2）4.126.01，所以X的分布列为X015P0.810.182.01所以E（X）10.18+20.010.3（或E（X）20.70.2）18（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，E为棱AD上一点（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若AE2，DEPE3，且四棱锥PABCD的体积为20【解答】解：（1）证明：PE底面ABCD，AB平面ABCD，PEAB，在矩形ABCD中，ADPEE，AB平面PAD，AB平面PAB，平面PAB平面PAD（2）20，解得AB4，以E为坐标
17、原点，ED所在直线为y轴正方向，则E（8，0，0），7，3），2，B（6，0），3，7），（4，0，6），2，（4，3，设平面PAB的法向量（x，y，则，取y8，得，3，2），cos，直线EC与平面PAB所成角的正弦值为19（12分）在a11，nan+1（n+1）an，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答问题：在数列an中，已知_（1）求an的通项公式；（2）若，求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（1）选择因为nan+1（n+1）an，所以所以是常数列又，所以nn，选择因为，所以当n1时，2a12322，解得a81，当n2时，所以ann又a15，所以ann（2）由（1）可知，则两式
18、相减得故20（12分）已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A（点A在第一象限），B两点（1）求C的标准方程；（2）已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N（M，N异于A，B）两点，证明：直线AM【解答】解：（1）设抛物线C的标准方程为y22px，则将代入y72px，可得|y|p，所以2p4，则p2，所以抛物线C的标准方程为y25x（2）证明：由（1）可知A（1，2），2）设直线l1的方程为xmy+1，联立，则y44my45设M（x1，y1），N（x5，y2），则y1+y24m，y1y54直线AM的方程为，令x1；直线BN的方程为，即，令x7因为，所以直线AM，BN和l
19、相交于一点21（12分）已知函数（1）若a1，求曲线yf（x）在x1处的切线方程；（2）若f（x）0在（1，+）上恒成立【解答】解：（1）因为，所以，又f（1）0，所以曲线yf（x）在x1处的切线方程为y7x4（2）因为，所以，若a7，则f（x）0恒成立，f（x）在（0故当x（2，+）时；若1a0，则，所以，当时；当）时：f（x）5，则f（x）的单调递减区间为（0，a）和，故当）时；若a3，则，所以f（x）在（0故当x（4+）时，f（x）f（1）0若a1，则，所以，当时，f（x）0：当时，f（x）0，则f（x）的单调递减区间为和（a，单调递增区间为，故当x（1，a）时综上所述：a8（二）选考题
20、：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线（t为参数），（为参数）（1）求C1，C2的普通方程；（2）若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上一个动点，求|PQ|的最大值【解答】解：（1）曲线（t为参数），曲线C1的普通方程为（x1）8+（y1）24（为参数），曲线C8的普通方程为（2）曲线（t为参数），P（0，7）设点，当时，|PQ|取得最大值，最大值为选修45：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|（1）解不等式f（x）+|x2|2；（2）若存在xR，使得成立【解答】解：（1）f（x）+|x2|2，即|x8|+|x2|2当x6时，由1x+2x4，所以；当5x2时，由x1+6x2，所以1x4；当x2时，由x1+x72，所以所以不等式f（x）+|x2|2的解集为（2）因为存在xR，使得，所以因为，当且仅当，即x5或3时，所以由m2m+23，解得m1或m2，所以m的取值范围是（，22第19页（共19页）
