1、2022年福建省莆田市高考数学第二次质检试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设全集UxZ|3x4，集合A1，0，1，3，B0，2，3，则A（UB）（）A1，1B0，3C2，1，1D2，0，32（5分）已知双曲线x24-y2b2=1（b0）的一条渐近线方程为3xy0，则b（）A2B22C23D43（5分）（x2-1x）6展开式中的常数项为（）A30B15C15D304（5分）若sin12+cos12a，则cos66（）A1aBa1C1a2Da215（5分）下列直线中，既不是曲线C1：yex的切线，也不是曲线C2：yln
2、x的切线的是（）Ayx+1Byx1CyexDye（x2）6（5分）莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成60角的次数是（）A2B4C6D87（5分）已知函数yf（2x+1）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x1对称，则（）Af（3）0Bf（1）0Cf（0）0Df（2）08（5分）已知抛物线E：x24y，直线l交E于A，B两点，C（2，3）为弦AB的中点，过A，B分别作E的切线，它们的交点为P，则PAB的面积为（）A62B82C122D162二、选择题：本题共4小题，每小
3、题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）sinx+3cosx（0），其图象相邻的两条对称轴之间的距离是2，则（）Af（x）是偶函数Bf（x）在3，73单调递减Cf（x）的图象关于点（，0）对称Df（x）的图象关于直线x=-53对称（多选）10（5分）已知直线l：ax+by+10（a0，b0）与圆C：x2+y21相切，则下列说法正确的是（）Aab12B1a2+1b24C（a+b2）212D1a+1b22（多选）11（5分）函数f（x）=ax+bx2+c（a，b，cR）的图象可能为（）ABCD
4、（多选）12（5分）意大利数学家卡尔达诺（CardanoGirolamo，15011576）发明了三次方程的代数解法17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：第一步，把方程x3+a2x2+a1x+a00中的x用x-a23来替换，得到方程x3+px+q0；第二步，利用公式x3+y3+z33xyz（x+y+z）（x+y+2z）（x+2y+z）将x3+px+q因式分解；第三步，求得y，z的一组值，得到方程x3+px+q0的三个根：yz，y2z，2yz（其中=-1+3i2，i为虚数单位）；第四步，写出方程x3+a2x2+a1x+a00的根：x1=-a23-yz，x2=-a23-y2z，x3=-
5、a23-2yz某同学利用上述方法解方程8x312x242x+550时，得到y的一个值：1+i，则下列说法正确的是（）Aa2=-32Byz2Cx2=-12+3Dx31-3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量a=（2，1），b=（2，0），c=（1，m），若（2a-b）c，则m 14（5分）每年3月5日是“学雷锋纪念日”，今年3月5日恰逢周六，甲、乙、丙、丁四位同学计划周六到A，B，C，D四个社区参加志愿服务，每人只去一个社区，则四位同学去的社区互不相同的概率是 15（5分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与时间t（单位
6、：h）间的关系为PP0ekt，其中P0，k是正的常数，如果2h后还剩下90%的污染物，5h后还剩下30%的污染物，那么8h后还剩下 %的污染物16（5分）定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点，ABCD23，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为 ；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知数列an，bn满足a13，an+13an+3n+1，bn=an3n（1）证明：数列b
7、n为等差数列；（2）求数列（1）nbn2的前2n项和T2n18（12分）某企业有生产能力相同的甲、乙两条生产线，生产成本相同的同一种产品为保障产品质量，质检部门分别从这两条生产线上各随机抽取100件产品，并检测其某项质量指标值根据该质量指标值对应的产品等级，统计得到甲、乙生产线的样本频数分布表如下：质量指标值0.15，0.20）0.20，0.25）0.25，0.30）0.30，0.35）0.35，0.40）0.40，0.45等级次品二等品一等品二等品三等品次品甲生产线（件）2194024141乙生产线（件）2165012191（1）根据样本频数分布表，估计乙生产线的该质量指标值的中位数；（2）
8、该企业为了守法经营，将所有次品销毁，每销毁一件次品的费用为10元已知一、二、三等品的售价分别为120元/件、90元/件、60元/件为响应政府拉闸限电的号召，企业计划关停一条生产线视频率为概率，若您是企业的决策者，根据生产线效益的差异情况，您应关停哪条生产线，并说明理由19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，F为PD的中点（1）证明：PB平面AFC；（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答ABC=3，BD=3AC，PC与平面ABCD所成的角为4；若PA平面ABCD，ABAP2，且 _，求二面角FACD的余弦值20（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别
9、为a，b，c，已知B为锐角，且bcsinB+acosC（1）求C；（2）若AB4，点D满足BD=3DA，当ABC的面积最大时，求CD和cosACD的值21（12分）已知F1，F2是椭圆C：x24+y2b2=1（b0）的左、右焦点，过F1的直线与C交于A，B两点，且|AF2|：|AB|：|BF2|3：4：5（1）求C的离心率；（2）设M，N分别为C的左、右顶点，点P在C上（P不与M，N重合）证明：MPNMAN22（12分）已知函数f（x）ex12x+2（1）求f（x）的最小值；（2）设函数g（x）xex1+4x2lnxax3，若g（x）1，求实数a的取值范围2022年福建省莆田市高考数学第二次质
10、检试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设全集UxZ|3x4，集合A1，0，1，3，B0，2，3，则A（UB）（）A1，1B0，3C2，1，1D2，0，3【解答】解：UxZ|3x42，1，0，1，2，3，A1，0，1，3，B0，2，3，UB2，1，1，A（UB）1，1故选：A2（5分）已知双曲线x24-y2b2=1（b0）的一条渐近线方程为3xy0，则b（）A2B22C23D4【解答】解：双曲线x24-y2b2=1（b0）的一条渐近线方程为3xy0，可得b2=3，所以b23故选：C3（5分）（x2-1
11、x）6展开式中的常数项为（）A30B15C15D30【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1C 6r(x2)6-r(-1x)r=C 6r(-1)rx12-3r，r0，1，2，3，4，5，6，令123r0，解得r4，则展开式的常数项为C 64(-1)4=15，故选：C4（5分）若sin12+cos12a，则cos66（）A1aBa1C1a2Da21【解答】解：依题意sin12+cos12a，两边平方，可得sin212+cos212+2sin12cos12a2，化简得1+sin24a2，可得sin24a21，所以cos66cos（9024）sin24a21故选：D5（5分）下列直线中，既不是曲线C1
12、：yex的切线，也不是曲线C2：ylnx的切线的是（）Ayx+1Byx1CyexDye（x2）【解答】解：yex的导函数为yex，ylnx的导函数为y=1x对于A，yx+1的斜率为1，由ex1，得x0，ye01，yx+1是曲线C1：yex的切线，故A错误；对于B，yx1的斜率为1，由判断A可知，yx1不是曲线C1：yex的切线，由1x=1，得x1，yln10，则yx1是曲线C2：ylnx的切线，故B错误；对于C，yex的斜率为e，由exe，得x1，ye1e，yex是曲线C1：yex的切线，故C错误；对于D，由判断C可知，ye（x2）不是曲线C1：yex的切线，由1x=e，得x=1e，yln1e
13、=-1，点（1e，-1）不适合直线ye（x2），则ye（x2）不是曲线C2：ylnx的切线故选：D6（5分）莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成60角的次数是（）A2B4C6D8【解答】解：由题设，在0、6点时相邻钟面上的时针都平行，即夹角为0度；在3点时相邻针面上的时针垂直，即夹角为90度，所以相邻钟面上的时针，在03、36、69、912点之间各有一次成60角的情况，故共有4次成 60 角故选：B7（5分）已知函数yf（2x+1）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x
14、1对称，则（）Af（3）0Bf（1）0Cf（0）0Df（2）0【解答】解：由题意可知函数yf（2x+l）是定义在R上的奇函数，所以f（20+1）f（l）0，又因为图象关于直线x1对称，x0，x2关于x1对称，所以f（3）f（2（2）+1）f（22+l）f（20+1）f（l）0，f（1），f（0），f（2）的函数值无法确定故选：A8（5分）已知抛物线E：x24y，直线l交E于A，B两点，C（2，3）为弦AB的中点，过A，B分别作E的切线，它们的交点为P，则PAB的面积为（）A62B82C122D162【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x12=4y1x22=4y2，两式相减得（x
15、1x2）（x1+x2）4（y1y2）又因为C（2，3）是线段AB的中点，所以x1+x24，所以kAB=y1-y2x1-x2=x1+x24=1，所以直线l的方程为yx+1由x24y，可得y=14x2，y=12x，所以在A，B处的切线方程分别为y+y1=12(x+x1），y+y2=12(x+x2)，由以上两式，可得xP=x1+x22=2，yP1，即P（2，1），联立y=x+1x2=4y，可得x24x40，所以x1x24，x1+x24，所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=8，所以P到直线AB的距离为d=|2+1+1|12+12=22，则PAB的面积为12822=82故选：B二、选择题
16、：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）sinx+3cosx（0），其图象相邻的两条对称轴之间的距离是2，则（）Af（x）是偶函数Bf（x）在3，73单调递减Cf（x）的图象关于点（，0）对称Df（x）的图象关于直线x=-53对称【解答】解：因为f（x）sinx+3cosx2sin（x+3），其图象相邻的两条对称轴之间的距离是2，所以函数周期T=2=22，解得=12，可得f（x）2sin（12x+3），则f（x）不是偶函数，故A错误，当x3，73，则12x6，76，则1
17、2x+32，32，此时f（x）为减函数，故B正确，当x时，12x+3=56，则f（56）0，即f（x）的图象关于点（，0）不对称，故C错误，当x=-53时，12（-53）+3=-2，此时f（x）2为最小值，则f（x）的图象关于直线x=-53对称，故D正确，故选：BD（多选）10（5分）已知直线l：ax+by+10（a0，b0）与圆C：x2+y21相切，则下列说法正确的是（）Aab12B1a2+1b24C（a+b2）212D1a+1b22【解答】解：直线ax+by+10与圆x2+y21相切，圆心O（0，0）到直线ax+by+10的距离d=|1|a2+b2=1，即a2+b2112ab，ab12，故
18、A错误；1a2+1b2=a2+b2a2b2=1(ab)24，故B正确；（a+b2）2=a2+2ab+b22=12+ab12+12=1，故C错误；令acos，bsin（0，2），a+bcos+sin=2sin（+4）（1，2，（1a+1b）2=a2+b2+2aba2b2=（1ab）2+2ab=（1ab+1）21，ab12，1ab2，+），（1ab+1）218，（1a+1b）28，1a+1b22，故D正确；故选：BD（多选）11（5分）函数f（x）=ax+bx2+c（a，b，cR）的图象可能为（）ABCD【解答】解：若f（x）的图象经过原点，可得f（0）0，即b0，f（x）=axx2+c，若f（x
19、）的图象关于y轴对称，可得f（x）为偶函数，即f（x）f（x），可得a0，即f（x）0，故C不可能成立；当ac1，即有f（x）=xx2+1，f（x）f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，且x0时，f（x）为连续函数，故A可能成立；当a1，c1，即有f（x）=-xx2-1（x1），f（x）f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，且x1时，f（x）为增函数，0x1时，f（x）为增函数，故B可能成立；若a0，则f（x）=bx2+c，当b1，c1，即有f（x）=-1x2-1（x1），f（x）f（x），可得f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，且x1时，f（x）为增函数，0x1
20、时，f（x）为增函数，故D可能成立故选：ABD（多选）12（5分）意大利数学家卡尔达诺（CardanoGirolamo，15011576）发明了三次方程的代数解法17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：第一步，把方程x3+a2x2+a1x+a00中的x用x-a23来替换，得到方程x3+px+q0；第二步，利用公式x3+y3+z33xyz（x+y+z）（x+y+2z）（x+2y+z）将x3+px+q因式分解；第三步，求得y，z的一组值，得到方程x3+px+q0的三个根：yz，y2z，2yz（其中=-1+3i2，i为虚数单位）；第四步，写出方程x3+a2x2+a1x+a00的根：x1=-
21、a23-yz，x2=-a23-y2z，x3=-a23-2yz某同学利用上述方法解方程8x312x242x+550时，得到y的一个值：1+i，则下列说法正确的是（）Aa2=-32Byz2Cx2=-12+3Dx31-3【解答】解：A：8x3-12x2-42x+55=0x3-32x2-214x+558=0，依题意可知a2是2次项系数，所以a2=-32，A选项正确，B：第一步，把方程x3-32x2-214x+558=0中的x，用x+12来替换，得(x+12)3-32(x+12)2-214(x+12)+558=x3-6x+4=0，第二步，对比x36x+40 与x3+y3+z33xyz0，可得y3+z3=
22、4-3yz=-6y=-1+i，解得yz2，z1i，B选项正确，C：x2=-a23-y-2z=12-1+3i2(-1+i)+(-1+3i2)2(1+i)=-12+3，C选项正确，D：x3=-a23-2y-z=12-(-1+3i2)2(-1+i)+(-1+3i2)(1+i)=-12-3，D选项错误故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量a=（2，1），b=（2，0），c=（1，m），若（2a-b）c，则m3【解答】解：向量a=（2，1），b=（2，0），c=（1，m），（2a-b）c=2ac-bc=2（2+m）（2+0）0，则m3，故答案为：314（5分）每
23、年3月5日是“学雷锋纪念日”，今年3月5日恰逢周六，甲、乙、丙、丁四位同学计划周六到A，B，C，D四个社区参加志愿服务，每人只去一个社区，则四位同学去的社区互不相同的概率是 332【解答】解：甲、乙、丙、丁四位同学计划周六到A，B，C，D四个社区参加志愿服务，共有44种情况；要求每人只去一个社区，则有A44种情况则四位同学去的社区互不相同的概率=A4444=332故答案为：33215（5分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为PP0ekt，其中P0，k是正的常数，如果2h后还剩下90%的污染物，5h后还剩下30%的污染物，
24、那么8h后还剩下 10%的污染物【解答】解：设初始污染物有P，则P0e-2k=910PP0e-5k=310P，两式相除得e3k3所以8h后PP0e8ke3kP0e5k=13310P=110P，即还剩下110100%=10%的污染物故答案为：1016（5分）定义：若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点，ABCD23，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为 （0，2；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为 4【解答】解：设O为A，B，C，D所在球面的球心，OAOC2AB=C
25、D=23，且E，F分别是AB，CD的中点，OEAB，OECD，且AE=CF=3，OEOF1，则E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，若以EF为直径作球，则0EFOE+OF2，即AB，CD的伴随球的直径取值范围是（0，2；E是AB中点，VA-BCD=2VA-CDE=23SCDEd，d为点A到平面CDE距离，dAE=3，又SCDE=12CDh，h为点E到CD距离，hEF2，VA-BCD2323223=4，当且仅当E，O，F三点共线，且ABCD时，等号成立故答案为：（0，2；4四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知数列an，bn满足a13
26、，an+13an+3n+1，bn=an3n（1）证明：数列bn为等差数列；（2）求数列（1）nbn2的前2n项和T2n【解答】解：（1）依题意a1=3，an+1=3an+3n+1，两边除以3n+1得an+13n+1=an3n+1，即bn+1bn1，所以数列bn是首项b1=a13=1，公差为1的等差数列所以bnn（2）(-1)nbn2=(-1)nn2所以 T2n=-12+22-32+42-(2n-1)2+(2n)2（2+1）（21）+（4+3）（43）+（2n+2n1）2n（2n1）1+2+3+4+（2n1）+2n=1+2n22n=(2n+1)n18（12分）某企业有生产能力相同的甲、乙两条生产
27、线，生产成本相同的同一种产品为保障产品质量，质检部门分别从这两条生产线上各随机抽取100件产品，并检测其某项质量指标值根据该质量指标值对应的产品等级，统计得到甲、乙生产线的样本频数分布表如下：质量指标值0.15，0.20）0.20，0.25）0.25，0.30）0.30，0.35）0.35，0.40）0.40，0.45等级次品二等品一等品二等品三等品次品甲生产线（件）2194024141乙生产线（件）2165012191（1）根据样本频数分布表，估计乙生产线的该质量指标值的中位数；（2）该企业为了守法经营，将所有次品销毁，每销毁一件次品的费用为10元已知一、二、三等品的售价分别为120元/件、
28、90元/件、60元/件为响应政府拉闸限电的号召，企业计划关停一条生产线视频率为概率，若您是企业的决策者，根据生产线效益的差异情况，您应关停哪条生产线，并说明理由【解答】解：（1）乙生产线抽取了100件产品，由样本频数分布表可知质量指标值位于前两组的频数为18，前三组的频数为68，中位数位于第三组，设乙生产线的该质量指标值的中位数为x，则0.02+0.16+（x0.25）0.50.05=0.5，解得x0.282，乙生产线的该质量指标值的中位数为0.282（2）由题可得甲生产线生产次品的概率为3100，一等品的概率为40100=25，二等号的概率为19+24100=43100，三等品的概率为141
29、00=750，设甲生产线生产一件产品的收入为x，则E（X）=3100(-10)+25120+4310090+75060=94.8（元），乙生产线生产次品的概率为3100，一等品的概率为50100=12，二等品的概率为16+12100=725，三等品的概率为19100，设乙生产线生产一件产品的收入为Y，则E（Y）=3100(-10)+12120+72590+1910060=96.3（元）94.8（元），甲生产线生产一件产品的平均收入低于乙生产线生产一件产品的平均收入，应关停甲生产线19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，F为PD的中点（1）证明：PB平面AFC；（2）请从下
30、面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答ABC=3，BD=3AC，PC与平面ABCD所成的角为4；若PA平面ABCD，ABAP2，且 _，求二面角FACD的余弦值【解答】证明：（1）设AC，BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以O为BD的中点连结OF因为F为PD的中点，所以OF为PBD的中位线，所以OFPB因为OF面AFC，PB面AFC，所以PB平面AFC解：（2）过O作OzAP以O为原点，OB，OC，Oz为x，y、z轴正方向建立空间直角坐标系选条件：ABC=3在菱形 ABCD 中，ACBD因为ABAP2，所以OB=OD=2sin3=3，OA=OC=2cos3=1所以O（0，0，0），
31、A(0，-1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(-3，0，0)，P(0，-1，2)，F(-32，-12，1)所以AF=(-32，-12，1)，AC=(0，1，0)不妨令x2，则n=(2，0，3)显然m=（0，0，1）为面ACD的一个法向量设二面角FACD的平面角为，由图示，为锐角，所以cos=|cosn，m|=|nm|n|m|=|0+0+3|4+0+30+0+1=217选条件：BD=3AC在菱形ABCD 中，BD=3AC，所以OB=3OC，所以BC=OB2+OC2=2OC因为ABAP2，所以OB=OD=3，OAOC1所以O(0，0，0)，A(0，-1，0)，B(3，0，0)，C(0
32、，1，0)，D(-3，0，0)，P(0，-1，2)，F(-32，-12，1)所以AF=(-32，-12，1)，AC=(0，1，0)设n=（x，y，z） 为面ACF的一个法向量，则nAC=0+y+0=0nAF=-32x-12y+z=0，不妨令x2，则n=(2，0，3)显然m=（0，0，1）为面ACD的一个法向量设二面角FACD的平面角为，由图示，为锐角，所以cos=|cosn，m|=|nm|n|m|=|0+0+3|4+0+30+0+1=217选条件：PC与平面ABCD所成的角为4因为PA平面ABCD，所以PCA为PC与平面ABCD所成的角，即PCA=4在直角三角形PAC中，由PCA=4，可得PA
33、CA2所以OB=OD=3，OA=OC=1所以O（0，0，0），A（0，1，0），B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(-3，0，0)，P(0，-1，2)，F(-32，-12，1)所以AF=(-32，-12，1)，AC=(0，1，0)设n=(x，y，z) 为面ACF的一个法向量，则nAC=0+y+0=0nAF=-32x-12y+z=0，不妨令x2，则i=(2，0，3)显然m=（0，0，1）为面ACD的一个法向量设二面角FACD的平面角为，由图示，为锐角，所以cos=|cosn，m|=|nm|n|m|=|0+0+3|4+0+30+0+1=217选条件：PC与平面ABCD所成的角为4因为PA平面A
34、BCD，所以PCA为PC与平面ABCD所成的角，即PCA=4在直角三角形PAC中，由PCA=4，可得PACA2所以OB=OD=3，OA=OC=1所以O（0，0，0），A（0，1，0），B（3，0，0），C（0，1，0），D（-3，0，0），P（0，1，2），F（-32，-12，1），所以AF=(-32，-12，1)，AC=(0，1，0)设n=(x，y，z) 为面ACF的一个法向量，则nAC=0+y+0=0nAF=-32x-12y+z=0，不妨令x2，则n=(2，0，3)显然m=（0，0，1）为面ACD的一个法向量设二面角FACD的平面角为，由图示，为锐角，所以cos=|cosn，m|=|nm|
35、n|m|=|0+0+3|4+0+30+0+1=21720（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B为锐角，且bcsinB+acosC（1）求C；（2）若AB4，点D满足BD=3DA，当ABC的面积最大时，求CD和cosACD的值【解答】解：（1）依题意bcsinB+acosC由正弦定理得sinBsinCsinB+sinAcosC，sin（A+C）sinCsinB+sinAcosC，sinAcosC+cosAsinCsinCsinB+sinAcosC，cosAsinCsinCsinB，由于0C，所以sinC0，依题意B是锐角，即0B2，02-B2，cosA0，A为锐角，且co
36、sAsinBcos（2-B），所以A=2-B，A+B=2，C=2；（2）依题意得ACB=2，c4，a2+b2c216，SABC=12ab12a2+b22=12162=4，当且仅当ab22时取等号，此时三角形ABC是等腰三角形，A=4，由于BD=3DA，所以AD1，BD3，在三角形ACD中，由余弦定理有CD=8+1-222122=5，cosACD=8+5-12225=3101021（12分）已知F1，F2是椭圆C：x24+y2b2=1（b0）的左、右焦点，过F1的直线与C交于A，B两点，且|AF2|：|AB|：|BF2|3：4：5（1）求C的离心率；（2）设M，N分别为C的左、右顶点，点P在C上
37、（P不与M，N重合）证明：MPNMAN【解答】（1）解：由x24+y2b2=1(b0)，得a24，得a2，由题意设|AF2|3m，|AB|4m，|BF2|5m，则|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，所以BAF290，因为|AF2|+|AB|+|BF2|3m+4m+5m12m4a8，所以m=23，所以|AF2|2，所以|AF1|2a|AF2|422，所以AF1F2为等腰直角三角形，所以点A是椭圆短轴的一个端点，所以bc，因为b2+c22b2a24，得b=c=2，所以椭圆的离心率为e=ca=22（2）证明：由（1）可得椭圆方程为x24+y22=1，则M（2，0），N（2，0），因为点A是椭圆短
38、轴的一个端点，所以不妨设A(0，2)，由椭圆的对称性，不妨设P（x0，y0），y0(0，2，PMN，PNM，则tan=y0x0+2，tan=y02-x0，x024+y022=1，所以tantan=y0x0+2y02-x0=y024-x02=y022y02=12，tan+tan=y0x0+2+y02-x0=4y04-x02=4y02y02=2y0，所以tan(+)=tan+tan1-tantan=4y0，所以当y0=2时，tan（+）取得最小值22，由（1）可知BAF290，所以(+)(0，2)，所以当tan（+）取得最小值时，+取得最小值，即点P与点A重合时，+取得最小值，此时MPN（+）取得
39、最大，所以MPNMAN22（12分）已知函数f（x）ex12x+2（1）求f（x）的最小值；（2）设函数g（x）xex1+4x2lnxax3，若g（x）1，求实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）ex12，令f（x）0，此时xln2+1，因为f（x）在（，ln2+1）恒小于0，在（ln2+1，+）上恒大于0，所以f（x）在（，ln2+1）上单调递减，在（ln2+1，+）上单调递增，所以f（x）minf（ln2+1）eln22（ln2+1）+222ln22+222ln2（2）由题意可得g（x）xex1+4x2lnxax31，当x1时，1a1，解得a2，证明当a2时，不等式成立，xex1+4x2lnxax31xex1+4x2lnx2x31ex-1x+4lnx-2x+1x20，令h（x）=ex-1x+4lnx-2x+1x2，则h（x）=(x-1)x(ex-1-2x+2)+2x3，因为x（ex12x+2）（22ln2）x+20，所以当x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减，当x（1，+）时，h（x）0，h （x）单调递增，所以h（x）minh（1）0，所以a的取值范围为（，2第22页（共22页）
