1、2022年河北省张家口市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合UxN|1x4，集合A0，1UA（）A0，2，3B1，0，2，3C2，3D2，3，42（5分）已知（1+3i）z5i，则z的虚部是（）ABCD3（5分）已知cos，0，则sin（+）（）ABCD4（5分）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（）Af（x）Bf（x）x2+xCf（x）|sinx|Df（x）x+x5（5分）如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角
2、形内切，则此铜镞的体积约为（）A0.25cm3B0.65cm3C0.15cm3D0.45cm36（5分）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人（）A18种B12种C72种D36种7（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，即，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”记a2022t，则a1+a3+a5+a2021（）At2Bt1CtDt+18（5分）已知当x（0，+）时，函数f（x）kex的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的
3、取值范围是（）A（0，）B（0，）C（，+）D（，+）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）若ab，则下列不等式中正确的有（）Aab0B2a2bCacbcDa2b2（多选）10（5分）某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和SO2浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和SO2浓度（单位：g/m3），得到如下所示的22列联表：SO2PM2.50，150（150，4750，756416（75，1151010经计算，则可以
4、推断出（）附：P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828A该市一天空气中PM2.5浓度不超过75g/m3，且SO2浓度不超过150g/m3的概率估计值是0.64B若22列联表中的天数都扩大到原来的10倍，K2的观测值不会发生变化C有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关D在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关（多选）11（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是线段BD1上（不含端点）的任意一点，点E是线段A1B的中点，点F是平面ABCD内一点，则下面结论中正确的有（）A
5、CD平面PBC1B以A1为球心、为半径的球面与该正方体侧面DCC1D1的交线长是C|EP|+|PF|的最小值是D|EP|+|PF|的最小值是（多选）12（5分）已知F是抛物线C：y28x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C相交于A，B两点，l2与C相交于E，D两点，M为A，N为E，D中点，则（）A点M到直线l的距离为定值B以|AB|为直径的圆与l相切C|AB|+|DE|的最小值为32D当|MN|最小时，MNl三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量（1，2），（x，3），若，则x 14（5分）已知函数，用minm，n表示m，设函数h（x）minf（
6、x），g（x）（x0）（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是 15（5分）已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，若，则椭圆C的离心率是 16（5分）已知函数，且f（x）在区间，则的最大值为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知数列an是等比数列，且8a3a6，a2+a536（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn，并证明：18（12分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c2B+sin2C+sinBsinCsin2A（1）求角A的大小；（2）若，求ABC周长的最大值19（12分）如
7、图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面ACC1A1，ABC90，ABBC，四边形ACC1A1是菱形，A1AC60，O是AC的中点（1）证明：BC平面B1OA1；（2）求二面角AOB1C1的余弦值20（12分）中医药传承数千年，治病救人济苍生中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率对改善发热、咳嗽、乏力等症状，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治现有6位症状相同的确诊患者，B两组，A组服用甲种中药，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概
8、率分别为（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求P（CD）；（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好21（12分）已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率是（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，3）的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|DB|PB|DA|成立，并求出该定值22（12分）已知函数f（x）axeax+（a+b）x，g（x）（1+x）lnx（1）当ab1时，证明：当x（0，+）时，f（x）g（x）；（2）若对x（0，+），都b1，0（x）g（x）恒成立2022年河北
9、省张家口市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合UxN|1x4，集合A0，1UA（）A0，2，3B1，0，2，3C2，3D2，3，4【解答】解：UxN|1x48，1，2，3，1，UA2，4故选：C2（5分）已知（1+3i）z5i，则z的虚部是（）ABCD【解答】解：因为（1+3i）z4i，所以zi，所以z的虚部是故选：B3（5分）已知cos，0，则sin（+）（）ABCD【解答】解：，sin，则sin（+）sincos+，故选：B4（5分）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（）
10、Af（x）Bf（x）x2+xCf（x）|sinx|Df（x）x+x【解答】解：Af（x），则f（x）是奇函数，f（x）1，故A正确，Bf（x）x7xf（x），f（x）不是奇函数Cf（x）|sin（x）|sinx|f（x），不满足条件Df（x）+，0）（0，f（8）7故选：A5（5分）如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm、底面边长为1cm的正三棱锥，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（）A0.25cm3B0.65cm3C0.15cm3D0.45cm3【解答】解：铜镞由两部分组成，前段是高为2cm，正三棱棱的底面正三角形边长为1，设正三角形内切圆半径为
11、r，由等体积法得：（4+1+1）r，解得r，其内切圆半径为，由三棱锥体积与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为：V2+3）故选：D6（5分）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人（）A18种B12种C72种D36种【解答】解：将4名教师分成3个组有种分法、乙、丙三地共有，所以共有36种选派方案，故选：D7（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，即，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”记a2022t，则a1+a3+a5+a2021（）
12、At2Bt1CtDt+1【解答】解：由，得a2022a2021+a2020a2021+a2019+a2018a2021+a2019+a2+a2a2021+a2019+a3+a6t故选：C8（5分）已知当x（0，+）时，函数f（x）kex的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（）A（0，）B（0，）C（，+）D（，+）【解答】解：由题设，当x（0，令，则，所以当时，h（x）6；当时，h（x）3，又，所以当时，直线yk与h（x）的图象有两个交点，即函数f（x）kex的图象与函数的图象有且只有两个交点故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，
13、有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9（5分）若ab，则下列不等式中正确的有（）Aab0B2a2bCacbcDa2b2【解答】解：若ab，则ab0，2a3b，故A，B正确，当a0时，C错误，令a1，b3，故选：AB（多选）10（5分）某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和SO2浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和SO2浓度（单位：g/m3），得到如下所示的22列联表：SO2PM2.50，150（150，4750，756416（75，1151010经计算，则可以推断出（）附：P（K2k0）0.
14、0500.0100.001k03.8416.63510.828A该市一天空气中PM2.5浓度不超过75g/m3，且SO2浓度不超过150g/m3的概率估计值是0.64B若22列联表中的天数都扩大到原来的10倍，K2的观测值不会发生变化C有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关D在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关【解答】解：对于A，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75g/m3，且SO2浓度不超过150g/m3的概率估计值是P7.64；对于B，22列联表中的天数都扩大到原来的10倍2的观测值为K210K5，所以K2的观测值变
15、为原来的19倍，选项B错误；对于CD，因为K22.48446.635，所以在犯错的概率不超过1%的条件下，即有超过99%的把握认为该市一天空气中PM8.5浓度与SO2浓度有关，选项CD正确故选：ACD（多选）11（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是线段BD1上（不含端点）的任意一点，点E是线段A1B的中点，点F是平面ABCD内一点，则下面结论中正确的有（）ACD平面PBC1B以A1为球心、为半径的球面与该正方体侧面DCC1D1的交线长是C|EP|+|PF|的最小值是D|EP|+|PF|的最小值是【解答】解：平面PBC1即为平面BC1D3，CDC1D1，C7D1平面BC1
16、D5，CD平面BC1D1，CD平面PBC8，故A正确；A1D1平面DCC6D1，以A1为球心、为半径的球面与该正方体侧面DCC1D1的交线即为以D3为圆心，1为半径的圆在面DCC1D7内的部分，故其交线长为，故B正确；点F是平面ABCD内一点，|PF|的最小值即为P到面ABCD的距离，即过点P向BD作垂线，把平面BA1D1绕BD2旋转平与BDD1在同一平面内，如图所示，由正方体ABCDA1B6C1D1的可知DBA22DBD1，又cosDBA3cos2DBD16cos2DBD182（）2，sinDBA1又BE，|EP|+|PF|的最小值即为E到BD的距离故C错误故选：ABD（多选）12（5分）已
17、知F是抛物线C：y28x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C相交于A，B两点，l2与C相交于E，D两点，M为A，N为E，D中点，则（）A点M到直线l的距离为定值B以|AB|为直径的圆与l相切C|AB|+|DE|的最小值为32D当|MN|最小时，MNl【解答】解：设A（x1，y1），B（x4，y2），C（x3，y5），D（x4，y4），M（xM，yM），N（xN，yN），直线l8的方程为xmy+2，则直线l2的方程为x，将直线l1的方程xmy+2代入y28x，化简整理可得，y68my160，则y7+y28m，y6y216，故x1+x4m（y1+y2）+48m2+4，所以，因为点
18、A到直线l的距离d1x2+2，点B到直线l的距离d2x2+2，点M到直线l的距离dMxM+2，又因为，所以，故A错误，因为|AB|AF|+|BF|，所以以|AB|为直径的圆的圆心M到直线l的距离为，故|AB|为直径的圆与l相切，故B正确，同理x3+x2，所以，|ED|EF|+|DF|，则|AB|+|ED|，当且仅当m1时，故C正确，设，则，|MN|，当t2时，即m1，这时xNxM，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知向量（1，2），（x，3），若，则x【解答】解：向量（1，（x，12（2）（x），解得故答案为：14（5分）已知函数，用minm，n
19、表示m，设函数h（x）minf（x），g（x）（x0）（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是 （，）【解答】解：函数f（x）x2+ax+恒过点（0，），g（x）lnx的零点为1，当f（x）x2+ax+的零点至少有一个大于或等于1时函数h（x）minf（x），g（x）（x2）的零点至多有2个，故要使h（x）恰有3个零点，则函数f（x）在区间（7，如图所示：故，解得，即实数a的取值范围是（，）故答案为：（，）15（5分）已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，若，则椭圆C的离心率是 【解答】解：因为直线AB过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA|OB|，所以|AB|2|OA|，
20、设右焦点F，连接BF，又因为2|OF|AB|2c，即|FF|AB|，且ABFAFF，在RtAFF中，|AF|FF|sinAFF2csinAFF，|AF|FF|cosAFF2ccosAFF，由椭圆的定义可得|AF|+|AF|6a，所以2a2c（sinAFF+cosAFF），因为，故AFF，所以离心率e故答案为：116（5分）已知函数，且f（x）在区间，则的最大值为 【解答】解：由题意知：（k1，k4Z），则：（k，其中kk2k1，kk8+k22k3k，当k1时，k4k2+1，k4Z，当k0时，4，k2Z；f（x）在区间上有且只有一个极大值点，所以，解得010；即，所以；当k6时，此时，故舍去；当
21、k5时，此时，故成立；所以的最大值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知数列an是等比数列，且8a3a6，a2+a536（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn，并证明：【解答】（1）解：由题意，设等比数列an的公比为q，则q38，a2+a836，a1q+a1q436，即2a1+16a436，解得a12，an62n12n，nN*（2）证明：由（1），可得，故Tnb1+b4+bn+，不等式对nN*恒成立18（12分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c2B+sin2C+sinBsinCsin2
22、A（1）求角A的大小；（2）若，求ABC周长的最大值【解答】解：（1）ABC中，因为sin2B+sin2C+sinBsinCsin7A，由正弦定理得b2+c2a6bc，由余弦定理得cosA，又A（0，），所以A；（2）由a，sinAsin，根据正弦定理得2，所以b2sinB，c3sinC2sin（cosBsinB，所以a+b+c+2sinB+（+cosB+sinB），又0B，所以当B时，ABC周长取得最大值为2+19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面ACC1A1，ABC90，ABBC，四边形ACC1A1是菱形，A1AC60，O是AC的中点（1）证明：BC平面B1OA1
23、；（2）求二面角AOB1C1的余弦值【解答】解：（1）证明：四边形ACC1A1是菱形，A5AC60，A1OAC，因为平面ABC平面ACC1A4，平面ABC平面ACC1A1AC，A4O平面ABC，A1OBC；B1C7BC，B1C1A2O，又B1C1A7B1，且A1OA3B1A1，B6C1平面B1OA3，BC平面B1OA1；（2）如图，连接BO，ABC90，ABBC，BDAC，又平面ABC平面ACC7A1，平面ABC平面ACC1A8AC，BO平面ACC1A1，设AC3，建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，5），0，0），B7（1，2），C1（2，0），（1，5，（1，（2，设平面AOB1的
24、一个法向量为（x，y，则，取z（0，），设平面C7OB1的一个法向量为（a，b，则，取a（，2，），cos，二面角AOB1C1的余弦值为20（12分）中医药传承数千年，治病救人济苍生中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率对改善发热、咳嗽、乏力等症状，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治现有6位症状相同的确诊患者，B两组，A组服用甲种中药，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为（1）设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好
25、有1人康复，求P（CD）；（2）若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好【解答】解：（1）依题意有，又事件C与D相互独立，则，所以；（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为X1，则 X1B（4，），所以，设A组的积分为X2，则X23X1，所以，设B组中服用乙种中药康复的人数为Y5，则Y1的可能取值为：0，6，2，3，P（Y20），P（Y14）+，P（Y12）+，P（Y23），故Y1的分布列为：Y17127P所以E（Y1）3+1+8，设B组的积分为Y2，则Y62Y1，所以E（Y2）E（2Y1）2E（Y1），因为，所以甲种中药药性更好21（12分）已知双曲线C：1（a0，
26、b0）的离心率是（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，3）的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|DB|PB|DA|成立，并求出该定值【解答】解：（1）依题意，得，解得，所以双曲线C的方程是（2）证明：设A（x3，y1），B（x2，y3），D（x0，y0），直线的方程为ykx+7，将直线方程ykx+3代入双曲线方程，化简整理3）x224kx520，（24k）8+4（13k2）52208256k2，则，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足 ，即，解得，由|PA|DB|PB|DA|，得，故，所以，又，所以点D的纵坐标为
27、定值22（12分）已知函数f（x）axeax+（a+b）x，g（x）（1+x）lnx（1）当ab1时，证明：当x（0，+）时，f（x）g（x）；（2）若对x（0，+），都b1，0（x）g（x）恒成立【解答】证明：（1）当ab1时，f（x）xex，令h（x）ex（x+1）（x8），则h（x）ex10，所以h（x）在（7，+）上单调递增，所以h（x）ex（x+1）0，即exx+2，令（x）xlnx（x0），则，所以（x）在（0，5）上单调递减，+）上单调递增，所以（x）xlnx10，所以xlnx，所以当x（4，+）时xx（x+1）（x+1）lnx，所以当x（6，+）时解：（2）因为b1，0，令（b
28、）axeax+（a+b）x，只需（b）maxg（x），即axeax+ax（5+x）lnx在x（0，+）上恒成立，整理得ax（eax+1）（x+2）lnxlnx（elnx+1）（*），设F（x）x（ex+1），则F（x）ex（x+5）+1，设H（x）F（x）ex（x+1）+2，又H（x）（x+2）ex，可得x2 时，H（x）2，x2时，H（x）0，因此当x7时，H（x）有最小值，所以F（x）在R上单调递增，所以（*）式即F（ax）F（lnx），所以axlnx，即，设，x6，则，令G（x）6，解得xe，当0xe时，G（x）0，当xe时，G（x）8，所以G（x）max，所以，所以实数a的取值范围为第21页（共21页）
