1、2022年安徽省江南十校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|x1|2，Bx|log4x1，则AB（）A（3，4）B（，1）（3，4）C（1，4）D（，4）2（5分）已知复数z在复平面内对应的点为（2，1），是z的共轭复数，则（）A+BC+D3（5分）已知函数f（x）2|x|，af（log0.53），bf（log45），cf（cos），则（）AacbBabcCbacDcab4（5分）已知an是各项均为正数的等比数列，若3a2是a3与a4的等差中项，且a3a13，则a5（）AB16CD
2、325（5分）（x2y）5的展开式中x2y3的系数为（）A80B80C40D406（5分）某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）ABCD7（5分）安徽省2021年高考综合改革实施方案中规定：高考考试科目按照“3+1+2”的模式设置，“3”为语文、数学、外语3门必考科目；“1”为由考生在物理、历史2门中选考1门作为首选科目，若他们的首选科目均为物理，在再选科目中，且他们的选择互不影响，则这两名同学的再选科目中至多有一门相同的概率为（）ABCD8（5分）已知实数a，b满足2a2b21，则|2ab|的最小值为（）A0BC1D9（5分）周髀算经中“侧影探日行”
3、一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，空正掩目，而日应空之孔”意谓：“取竹空这一望筒，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔”如图所示，O为竹空底面圆心（）ABCD10（5分）声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数若某声音对应的函数可近似为f（x）sinx+，则下列叙述正确的是（）Ax为f（x）的对称轴B（，0）为f（x）的对称中心Cf（x）在区间0，10上有3个零点Df（x）在区间上单调递增11（5分）设F1、F2是椭圆C：1（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|PQ|若PF1
4、F2的面积为，则（）ABCD12（5分）已知函数f（x）ae|x|2x2ln（x+1）+lna，若f（x），则a的取值范围为（）Ae，+）B2e，+）Ce2，+）D2e2，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）设向量（t，2），（t，1），且|2|2+|2，则t 14（5分）设F1，F2分别是双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点2|F1F2|，点F2到直线PF1的距离为2a，则C的离心率为 15（5分）已知数列an的通项公式为annsin，其前n项和为Sn，则S2022 16（5分）半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示，如此
5、共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，六个面为正方形，它们的边长都相等1的二十四等边体，外接球体积为V2，则 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC（1）求的值；（2）设M和N分别是ABC的重心和内心，若MNBC且c2，求a的值18（12分）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，AD2AF2AB2，M，AE上异于端点的动点，且BMAN（1）求证：直线MN
6、平面CDE；（2）当MN的长最小时，求二面角AMND的余弦值19（12分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，A两点，且（1）若1，求点P的坐标；（2）设点E（a，0），直线PE与抛物线C的另一个交点为B，且，若420（12分）2021年10月12日中华人民共和国主席习近平在生物多样性公约第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“万物各得其和以生，各得其养以成生物多样性使地球充满生机，也是人类生存和发展的基础保护生物多样性有助于维护地球家园，完善政策法规，改善生态环境质量，建立国家公园体系，实施长江十年禁渔，积极履行国际公约义务，全社会生物多样性保护意识不断增
7、强，生物多样性下降势头得到基本控制，生态系统稳定性明显增强某兴趣小组在开展昆虫研究时（n4，nN）只现在盒子上开一小孔，每次只能飞出一只昆虫（1）若盒子中共有8只昆虫，从中任意飞出2只昆虫时，飞出的恰好有1只是蜜蜂的概率为，求蜜蜂的只数；从盒子中任意飞出3只昆虫，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与期望E（X）；（2）若盒子中的昆虫有一半是蝴蝶时，求“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只蝴蝶飞出”的概率最大值21（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a1时，求证：f（x）（1，+）恒成立（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
8、一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C围成的图形的面积选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|2x+a|，g（x）|2x1|（1）当a2时，求不等式f（x）+g（x）；（2）若存在x0R，使得f（x0）4g（x0+a），求a的取值范围2022年安徽省江南十校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|x1|2，Bx|log4x1，则A
9、B（）A（3，4）B（，1）（3，4）C（1，4）D（，4）【解答】解：集合Ax|x1|2x|x5或x3，Bx|log4x3x|0x4，ABx|2x4（3，8）故选：A2（5分）已知复数z在复平面内对应的点为（2，1），是z的共轭复数，则（）A+BC+D【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（2，1），故选：D3（5分）已知函数f（x）2|x|，af（log0.53），bf（log45），cf（cos），则（）AacbBabcCbacDcab【解答】解：af（log0.52）f（），bf（log45）f（），cf（cos），函数f（x）2|x|是偶函数，af（log83）log27，当x0时函
10、数f（x）7|x|单调递增，f（log23）f（）f（），abc故选：B4（5分）已知an是各项均为正数的等比数列，若3a2是a3与a4的等差中项，且a3a13，则a5（）AB16CD32【解答】解：由题意，设等比数列an的公比为q（q0），3a5是a3与a4的等差中项，2（3a2）a5+a4，即6a7a2q+a2q3，6q+q2，即（q2）（q+3）0，解得q3或q3（舍去），又a3a73，a1q8a13，即7a1a13，解得a11，a8a1q42416故选：B5（5分）（x2y）5的展开式中x2y3的系数为（）A80B80C40D40【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1CC，令5r2，则
11、r3，所以x2y6的系数为C80，故选：A6（5分）某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）ABCD【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由棱长为2的正方体ABCDEFGH，切去两个角锥体DIJH和锥体BKLM构成的多面体如图所示：故：故选：C7（5分）安徽省2021年高考综合改革实施方案中规定：高考考试科目按照“3+1+2”的模式设置，“3”为语文、数学、外语3门必考科目；“1”为由考生在物理、历史2门中选考1门作为首选科目，若他们的首选科目均为物理，在再选科目中，且他们的选择互不影响，则这两名同学的再选科目中至多有一门相同的概率为（）
12、ABCD【解答】解：“至多有一门相同的”对立事件，即为“两门均相同”，故先求出“两门课程均相同”的概率，两人在最后四门中每人均有6种可能，则两人在最后四门中所有可能性为6636种，两门课程相同的情况有6种，则两门课程相同的概率为，则：“至多有一门相同的”的概率为8，故选：D8（5分）已知实数a，b满足2a2b21，则|2ab|的最小值为（）A0BC1D【解答】解：因为2a2b31，所以（2ab）54a27ab+b22a2b2+（2a34ab+2b6）1+2（ab）71，故当ab时，上式取得最小值1则|5ab|的最小值为1故选：C9（5分）周髀算经中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，
13、长八尺，空正掩目，而日应空之孔”意谓：“取竹空这一望筒，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔”如图所示，O为竹空底面圆心（）ABCD【解答】解：如图所示，设AOB，则，所以tan故选：A10（5分）声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数若某声音对应的函数可近似为f（x）sinx+，则下列叙述正确的是（）Ax为f（x）的对称轴B（，0）为f（x）的对称中心Cf（x）在区间0，10上有3个零点Df（x）在区间上单调递增【解答】解：对于A由已知得f（x）sin（x）+sin2x，故f（x）不关于x对称；对于Bf（+sin31
14、8；对于C利用二倍角公式知f（x）sinx（1+cosx），令f（x）0得sinx3或cosx1，即xk（kZ），所以该函数在区间0，10内有5个零点；对于D求导f（x）cosx+cos2x2cos2x+cosx1，令cosxt，由x，1，即g（t）8t2+t1，利用二次函数性质知g（t）6，即f（x）0，可知f（x）在区间x，故D正确；故选：D11（5分）设F1、F2是椭圆C：1（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|PQ|若PF1F2的面积为，则（）ABCD【解答】解：在PF1F2中，设F7PF2，由余弦定理可得|F1F4|2|PF1|6+|PF2|2
15、5|PF1|PF2|cos，即8c2（|PF1|+|PF4|）22|PF7|PF2|2|PF2|PF2|cos4a6+（22cos）|PF6|PF2|，则（2+6cos）|PF1|PF2|4a24c84b2，所以F7PF2的面积S|PF1|PF2|sinb2，又|PF7|PQ|所以PF1F2的是等边三角形，即|PF6|QF1|QP|，由椭圆的定义可得|PF1|+|QF7|+|QP|4a，即有则|PF1|a，则|PF2|，则|QF2|，PQF1F6，则7tanPF1F2故选：B12（5分）已知函数f（x）ae|x|2x2ln（x+1）+lna，若f（x），则a的取值范围为（）Ae，+）B2e，+
16、）Ce2，+）D2e2，+）【解答】解：f（x）3恒成立，x（1，a（7，取x0，则f（0），+）上单调递增5时，g（e2）1+63，因此ae2取ae4时，f（x），1x6时，f（x）exxg（x）x3+g（0）10，g（x）在（5，0）上单调递增，f（x）f（0）22，此时函数f（x）单调递减同理可得：x0时，f（x）exxf（0），此时函数f（x）单调递增，f（0）4，因此f（x）3恒成立，a的取值范围为e2，+），故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）设向量（t，2），（t，1），且|2|2+|2，则t【解答】解：向量（t，（t，（2t，|2|2+|2，可得
17、（）2t3+4+t2+3，解得t故答案为：14（5分）设F1，F2分别是双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点2|F1F2|，点F2到直线PF1的距离为2a，则C的离心率为 【解答】解：设双曲线的焦距为2c，则|PF2|F6F2|2c，由双曲线的定义知2|2a+2c，又F8到直线PF1的距离为2a，结合等腰三角形性质及勾股定理6+（2a）2（3c）2，即3c42ac5a60，两边同除以a2，4e22e70，解得e，C的离心率为故答案为：15（5分）已知数列an的通项公式为annsin，其前n项和为Sn，则S2022【解答】解：对于ysin，其周期T，由annsin，可得a1sin，a22sin
18、2，a32sin20；a74sin4sin，a35sin6，a86sin43；，20223640+2，则S2022（12+0+47+0+20212022），故答案为：，16（5分）半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，六个面为正方形，它们的边长都相等1的二十四等边体，外接球体积为V2，则【解答】解：设该半多面体是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，内侧即为二十四等边体，其体积；由二十四等边体的对称性可知，如图所示，其外接球的球心即为正方体中心O，半径为中心到一个顶点的距离，则，
19、故，从而故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC（1）求的值；（2）设M和N分别是ABC的重心和内心，若MNBC且c2，求a的值【解答】解：（1）因为tanC，所以sinAcosC2sinCsinCcosA，即sin（A+C）2sinC，所以sinB2sinC，即b2c，所以6；（2）因为c2，由（1）得b4，设三角形内切圆半径r，则内心N到边BC的距离r，因为MNBC，所以M到B
20、C边的距离为r，A到BC边的距离为2r，所以，即（a+6+2）3a，所以a318（12分）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，AD2AF2AB2，M，AE上异于端点的动点，且BMAN（1）求证：直线MN平面CDE；（2）当MN的长最小时，求二面角AMND的余弦值【解答】证明：（1）过N作NNAD与ED交于N点，过M作MMAD与CD交于M点，由BMAN，易知NNMM，又NNADMM，则四边形MNNM为平行四边形，所以MNNMMN平面CDE，MN平面CDE，MN平面CDE（2）由平面ABCD平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD，又AF平面ADEF，AFAD，AF平面A
21、BCD，以A为坐标原点，分别以AB，AF为x，y，过M点作MGAD，垂足为G，易知NGAD，设AGa（0a2），可得，可知当a1时，MN的最小值为，此时，又A（0，0，3），2，0），设平面AMN的法向量为，由，可得，令x32，可得设平面MND的法向量为，由，可得，令x22，可得，4，2），易知二面角AMND为钝二面角，则二面角AMND的余弦值为19（12分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，A两点，且（1）若1，求点P的坐标；（2）设点E（a，0），直线PE与抛物线C的另一个交点为B，且，若4【解答】解：（1）由，知焦点F（1，又抛物线C：y23x关于x轴对称
22、，所以PAx轴l的方程x1，代入y27x得，y2，所以P（1，2）或P（1；（2）设点P（x0，y7）（y00），A（x8，y1）（y14），由，设直线l：xmy+2与抛物线C：y24x联立得y74my44，所以16（m2+1）3，y0y13，由可得，设点B（x2，y2），由，得，直线PB：xny+a与抛物线C：y28x联立得y24ny4a0，所以需要满足16（n2+a）5，y0y28a，由可得，又4，所以4，因为y80，解得a4，此时16（n8+a）16（n2+4）5，所以a的值为420（12分）2021年10月12日中华人民共和国主席习近平在生物多样性公约第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲
23、话中提出：“万物各得其和以生，各得其养以成生物多样性使地球充满生机，也是人类生存和发展的基础保护生物多样性有助于维护地球家园，完善政策法规，改善生态环境质量，建立国家公园体系，实施长江十年禁渔，积极履行国际公约义务，全社会生物多样性保护意识不断增强，生物多样性下降势头得到基本控制，生态系统稳定性明显增强某兴趣小组在开展昆虫研究时（n4，nN）只现在盒子上开一小孔，每次只能飞出一只昆虫（1）若盒子中共有8只昆虫，从中任意飞出2只昆虫时，飞出的恰好有1只是蜜蜂的概率为，求蜜蜂的只数；从盒子中任意飞出3只昆虫，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与期望E（X）；（2）若盒子中的昆虫有一半是蝴蝶
24、时，求“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只蝴蝶飞出”的概率最大值【解答】解；（1）记“从盒子中先后任意飞出两只昆虫，设盒子中蜜蜂的只数为x（xN*），则，解得x4，故蜜蜂共有6只；随机变量X的取值为0，1，7，3，故X的分布列为： X 8 1 2 6 P （2）记“任意飞出两只昆虫，至少有1只是蝴蝶”为事件B为“任意飞出两只昆虫，当n4时，.21（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a1时，求证：f（x）（1，+）恒成立【解答】解：（1）f（x）2a1+，若a，当x（0，
25、f（x）0；当x（4，+）时，f（x）单调递减若a7，1）时，f（x）单调递增；当x（1，）时，f（x）单调递减：当x（，+）时，f（x）单调递增若a4，则f（x），f（x）在x（0若a1，当x（8，f（x）0；当x（，1）时，f（x）单调递减：当x（4，+）时，f（x）单调递增综上：当a时，f（x）单增区间为（2，f（x）单减区间为（1；当a1时，1），（；f（x）单减区间为（3，）；当a1时，f（x）单增区间为（0，f（x）无单减区间；当a4时，f（x）单减区间为（0，），+），1）（2）由（1）可知当a1时时取得最小值f（），要证：f（x）对x（4，等价于求证：f（，即证：12aln（7
26、a1），设g（x）lnx（x1）（x7），则g（x）2，所以g（x）g（1）0，即lnxx1（x6），所以ln1，则82aln（2a6）12a，而a1，则，所以，即得f（），所以f（x）对x（1（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C围成的图形的面积【解答】解：（1）|sin|+|cos|，2|sin|+|cos|，曲线C的直角坐标方程为x2+y7|x|+|y|（x，y不同时为0）（2）当
27、x0，y4时2+y2x+y，配方得，则曲线C在第一象限内的图形由一个直角边为1的等腰直角三角形和一个半径为的半圆组成，易知，曲线C在第一象限内的围成的图形面积为，由对称性可知，曲线C围成的图形的面积为2+选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|2x+a|，g（x）|2x1|（1）当a2时，求不等式f（x）+g（x）；（2）若存在x0R，使得f（x0）4g（x0+a），求a的取值范围【解答】解：（1）当a2时，则|2x+8|+|2x1|8，当x1时，不等式化为4x64，当1时，不等式化为34，当x时，不等式化为4x+64，综上所述，不等式f（x）+g（x）4的解集为（2）存在x5R，使得f（x0）4g（x7+a），|2x0+a|6|2x0+5a1|成立，（|2x2+a|+|2x0+2a1|）min4，由绝对值不等式可知，|3x0+a|+|2x6+2a1|3x0+a2x52a+1|a+7|，即|a1|4，故a的取值范围为（3，5）第21页（共21页）
