1、2022年甘肃省武威市凉州区高考数学质检试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集UR，集合Ax|x216，Bx|x3，则A（UB）（）A（4，3）B3，4）C（4，3D（3，4）2（5分）已知复数，则|z|为（）A2B4CD103（5分）已知，则sin2的值为（）ABCD4（5分）在二项式的展开式中，含x的项的系数是（）A10B5C10D205（5分）已知向量，满足，且与的夹角为，则（）A6B8C10D126（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD7（5分）在区间1，2，0
2、，则两数差的绝对值不小于1的概率为（）ABCD8（5分）设a2log32，blog915，则a，b，c大小关系为（）AcabBcbaCabcDbac9（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（4x）+f（x），且当x（2，0）时，f（x）log3（2x+5），则f（2021）（）A1B1C2D210（5分）已知椭圆的左焦点为F，过F作倾斜角为60的直线与椭圆C交于A，M为线段AB的中点，若|OF|3|FM|（O为坐标原点）（）ABCD11（5分）如图所示的曲线为函数f（x）Acos（x）（A0，0，）的部分图象（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移，得到函数yg（x
3、）的图象，则（）A函数g（x）在上单调递减B点为g（x）图象的一个对称中心C直线为g（x）图象的一条对称轴D函数g（x）在上单调递增12（5分）已知三棱锥PABC三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，M、N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN的长度的最小值为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知平面向量，若与垂直，则实数 14（5分）已知x，y之间具有线性相关关系，若通过10组数据（xi，yi）（i1，2，10）得到的回归方程为，且，则 15（5分）已知实数x，y满足x2+y24，则的最小值为 16（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为
4、a，b，c，sinA+sinB2sinC，且ABC的面积为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）已知单调递增的等差数列an的前n项和为Sn，且S420，a2，a4，a8成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列bn的前n项和Tn18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，APBBPDAPD60，CDCB2，AP6（1）证明：APBD；（2）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值19（12分）2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建
5、成小康社会，实现第一个百年奋斗目标.2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词），中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1109万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2019年的0.6%；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，越要响鼓重锤某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图（1）求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）现从这50户2019年的家庭人均年纯收入在2，4）之
6、间的家庭中任抽取3户进行调查，进一步了解家庭生活情况，3）的户数为X，求X的分布列和数学期望20（12分）设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，|AB|8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程21（12分）已知f（x）2lnx+ax2（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当时，证明：函数f（x）有且仅有两个零点x1，x2，且x1+x22e（二）选考题：共10分.22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，曲线C的极坐标方程为2cos2+30（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方
7、程；（2）已知点，直线l与曲线C相交于点M，N，求的值2022年甘肃省武威市凉州区高考数学质检试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集UR，集合Ax|x216，Bx|x3，则A（UB）（）A（4，3）B3，4）C（4，3D（3，4）【解答】解：Ax|x216x|4x7，Bx|x3，UBx|x3，A（UB）（3，3故选：C2（5分）已知复数，则|z|为（）A2B4CD10【解答】解：复数，则|z|，故选：C3（5分）已知，则sin2的值为（）ABCD【解答】解：因为，所以sin（sinc
8、os），两边平方，可得sin2+cos24sincos1sin2，则sin2故选：B4（5分）在二项式的展开式中，含x的项的系数是（）A10B5C10D20【解答】解：二项式的展开式中，含x的项的为7个括号中有3个提供（），另外两个括号中均提供x3，故含x的项的系数是10，故选：A5（5分）已知向量，满足，且与的夹角为，则（）A6B8C10D12【解答】解：因为，且与的夹角为，所以，因此，故选：B6（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）ABCD【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体ABCD；如图所示：故故选：B7（5分）在区间1，2，0，则两数
9、差的绝对值不小于1的概率为（）ABCD【解答】解：根据题意，设1x2，其构成的平面区域为矩形ABCD，若|yx|6，即yx1或yx1，其中E（6，1），2），4），则有SABESCDF61ABE+SCDF1，故两数差的绝对值不小于1的概率P；故选：A8（5分）设a2log32，blog915，则a，b，c大小关系为（）AcabBcbaCabcDbac【解答】解：a2log32log916，又blog915，即8ba2，又9，即cab，故选：A9（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（4x）+f（x），且当x（2，0）时，f（x）log3（2x+5），则f（2021）（）A1B1C2D2【
10、解答】解：由题意得f（x）f（x），f（4x）f（x），所以f（4x）f（x），即f（6+x）f（x），因为x（2，0）时7（2x+5），则f（2021）f（1）f（8）log337故选：B10（5分）已知椭圆的左焦点为F，过F作倾斜角为60的直线与椭圆C交于A，M为线段AB的中点，若|OF|3|FM|（O为坐标原点）（）ABCD【解答】解：设A（x1，y1），B（x4，y2），M（x0，y4），由题意得，两式相减，得，因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为605设F（c，0）|OF|c，垂足为M，则|FM|MF|c|MF|c，由题易知M位于第二象限，所以M（），M的坐标代入AB的方程可
11、得：325b2，所以2a27c2，所以e故选：B11（5分）如图所示的曲线为函数f（x）Acos（x）（A0，0，）的部分图象（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移，得到函数yg（x）的图象，则（）A函数g（x）在上单调递减B点为g（x）图象的一个对称中心C直线为g（x）图象的一条对称轴D函数g（x）在上单调递增【解答】解：由图象可得A2，由f（0）f（），可得f（x）的最高点为（，2），0），所以f（x）的周期为T2（），则3）2，得，kZ，由|，可得k0，则f（x）2cos（3x），将yf（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，可得y4cos（2x，再将所得曲线向
12、右平移个单位长度），即g（x）2sin（2x）的图象由x，可得2x，）递增，递减；由g（）6sin不为g（x）图象的一个对称中心；由g（）2sin2不为g（x）图象的一条对称轴；由x，5上单调递增故选：D12（5分）已知三棱锥PABC三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，M、N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN的长度的最小值为（）ABCD【解答】解：由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示，设三棱锥内切球球心为O1，外接球球心为O2，内切球与平面ABC的切点为G，易知：O3，O2，G三点均在PD1上，且PD8平面ABC，设内切球的半径为r，外接球的半径为R，则，由等体积法：，得，由
13、等体积法：，得，将几何体沿截面PDD1C切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，M，N两点间距离的最小值为故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知平面向量，若与垂直，则实数1【解答】解：平面向量，与垂直，（+）+，求得4，故答案为：114（5分）已知x，y之间具有线性相关关系，若通过10组数据（xi，yi）（i1，2，10）得到的回归方程为，且，则8【解答】解：依题意知，因为回归方程为，所以可以计算出，所以，故答案为：415（5分）已知实数x，y满足x2+y24，则的最小值为 【解答】解：x2+y24表示以原点为圆心，以2为半径的圆，的几何意义为圆上的动点与
14、定点P（2，4）连线的斜率，如图：设过P斜率为k的直线方程为y+5k（x+2），即kxy+2k30由，解得k的最小值为故答案为：16（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA+sinB2sinC，且ABC的面积为【解答】解：因为acosB+bcosA2，所以acosB+bcosA2RsinAcosB+8RsinBcosA2Rsin（A+B）2RsinCc （其中R为ABC外接圆的半径），所以c7又sinA+sinB2sinC，所以a+b2c5，因为c2a2+b32abcosC（a+b）27ab（1+cosC），所以ab，因为absinC，所以，即sinCcosC1，所以s
15、in（C），又C（6，），所以C（，），所以C，所以C故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）已知单调递增的等差数列an的前n项和为Sn，且S420，a2，a4，a8成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）设an的公差为d（d0），由题意得，即，解得或（舍），所以an7+（n1）25n，即an2n（2）由（1）得，an2n，所以，所以18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，APBBPDA
16、PD60，CDCB2，AP6（1）证明：APBD；（2）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为APBAPD60，PDPB，所以ADAB取BD的中点E，连接AE，所以AEBD，又AEPEE，AE，所以BD平面PAE又AP平面PAE，所以APBD（2）解：在APB中，根据余弦定理得AB2AP2+PB72APPBcos6028，所以因为BE2，所以，所以AP8AE2+PE2，即AEPE又因为PEDB，AEDBE，DB平面ABCD，所以PE平面ABCD如图，以E为原点，EA、y轴，则，设平面PAD的法向量为，则，令y1，则，所以设直线PC与平面PAD所成角为，所以直线PC与平面P
17、AD所成角的正弦值为19（12分）2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标.2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词），中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1109万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2019年的0.6%；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，越要响鼓重锤某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图（1）求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用
18、该区间的中点值作代表）（2）现从这50户2019年的家庭人均年纯收入在2，4）之间的家庭中任抽取3户进行调查，进一步了解家庭生活情况，3）的户数为X，求X的分布列和数学期望【解答】解：（1）（0.06+0.08+3.14+0.18+0.7+a）11，a5.24，平均数为 0.082.4+0.38.5+0.245.5+0.145.5+0.186.5+0.063.54.7，（2）2，3）有506.084户，3，6）有500.315户，5，4）共有50（0.08+4.3）19户X的可能取值为 0，3，2，3，所以分布列为： X 7 126 P &nb
19、sp; 20（12分）设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k（k0）的直线l与C交于A，|AB|8（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y24x的焦点为F（4，0），设直线AB的方程为：yk（x1），设A（x8，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x25（k2+2）x+k40，则x1+x3，x1x81，由|AB|x1+x2+p+2721，则k4，直线l的方程yx1；方法二：抛物线C：y23x的焦点为F（1，0），由抛物线的弦长公式|AB|，解得：sin2，则直线的斜率k1，直线l的方程yx6；（2）由（1）可得
20、AB的中点坐标为D（3，2），即yx+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x4）2+（y2）216或（x11）2+（y+6）214421（12分）已知f（x）2lnx+ax2（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当时，证明：函数f（x）有且仅有两个零点x1，x2，且x1+x22e【解答】（1）解：f（x）的定义域为当a0时，f（x）0，+）上单调递增；当a8时，由f（x）0，得，得，故f（x）在，在上单调递减（2）证明：当时，由（1）知，e）单调递增，+）单调递减，所以f（x）maxf（e）10.，所以在区间（6，e）上f（x）存在零点，因为f（
21、x）在（0，e）单调递增，e）上存在唯一的零点；因为f（2e）4ln（2e）42ln245，所以在区间（e，因为f（x）在（e，+）单调递减，+）存在唯一的零点所以，函数f（x）有且仅有两个零点x1，x2不妨设x3（1，e），x2（e，4e）要证x1+x25e，只需证明x12ex7，因为f（x）在（0，e）单调递增且x1，7ex2（0，e）6）f（2ex2），f（x5）f（x2），只需证明f（x2）f（7ex2）设，当ex2e时5，所以，所以h（x）在（e，所以h（x）h（e）0，所以f（x）f（5ex），所以x1+x22e（二）选考题：共10分.22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l
22、的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，曲线C的极坐标方程为2cos2+30（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点，直线l与曲线C相交于点M，N，求的值【解答】解：（1）因为（t为参数），所以，则直线的普通方程为：，由2cos8+30，所以7（cos2sin2）+40，又因为cosx，cosy，所以x2y7+30，则曲线C的直角坐标方程为：x7y2+34（2）由（1）可知：直线l的参数方程标准形式为（t为参数），将该方程代人曲线C的直角坐标方程化简可得：3t2+20t+103，20243102800，设点M，N所对应的参数分别为t1，t7，所以，则t10，t40，所以第19页（共19页）
