1、第五节第五节 静止流静止流体与固体壁面体与固体壁面间的作用力间的作用力 本节导读本节导读 静止液体作用在平面上的总压力包括三个问题：静止液体作用在平面上的总压力包括三个问题： 平面平面水平面水平面垂直面垂直面斜斜 面面1.总压力的总压力的大小大小2.总压力的总压力的作用点作用点3.总压力的总压力的方向方向pp一、水平面一、水平面1.总压力的总压力的大小大小ph0p 容器底面上液体静压强容器底面上液体静压强ghpp 0 水面上部压力分布均匀水面上部压力分布均匀AghApAp )(0 水面下部压力水面下部压力0pAghFp )( 仅有液体产生的力仅有液体产生的力0p相减相减ph0pAghFp )(
2、 物理含义：物理含义：水平面上总压力大小底面积为水平面上总压力大小底面积为A、高度为、高度为h、密度、密度 为为这么多液体的质量力这么多液体的质量力3.总压力的总压力的方向方向沿内法线方向，垂直指向底面沿内法线方向，垂直指向底面2.总压力的总压力的作用点作用点平面（？）的形心平面（？）的形心ph0p平面的形心平面的形心几何中心几何中心r1/2 h2/3 hhhph0pAghFp )( 仅由液体产生作用在水平平面上的总压力仅由液体产生作用在水平平面上的总压力同样只与同样只与液体的密度、平面面积和液深液体的密度、平面面积和液深有关。有关。),(AhfF AhAhAhAh 液体对容器底部的作用力液体
3、对容器底部的作用力相等相等静水奇象静水奇象二、斜面二、斜面（一）（一）总压力的总压力的大小大小 则作用在这条微元面积上静止液体的总压力为则作用在这条微元面积上静止液体的总压力为 h h为倾斜平面上任一点到自由液面的深度为倾斜平面上任一点到自由液面的深度 y y为相应的点在为相应的点在OYOY轴上的坐标轴上的坐标 在深度在深度h h内选取一微元面积，内选取一微元面积，dA=xdydA=xdy 由静止液体产生的压强由静止液体产生的压强 p=ghp=ghh=ysinh=ysinpdAdF ghdA dAgy sin 图2-20 静止液体中倾斜平面上液体的总压力 图2-20 静止液体中倾斜平面上液体的
4、总压力 MyFhh=ysinh=ysinpdAdF ghdA dAgy sin dA=xdyp=gh积分上式积分上式得静止液体作用在整个淹没平面上的总压力得静止液体作用在整个淹没平面上的总压力pdAdF dAgy sin AAgyFdsin AygFc sin AAygdsin 淹没面积淹没面积A A对对OXOX轴的面积矩轴的面积矩为平面A的形心C到O点的距离cy称为形心y坐标 图2-20 静止液体中倾斜平面上液体的总压力 MychchcAygFc sin 如果用如果用 表示形心的垂直深度，称为形心淹深表示形心的垂直深度，称为形心淹深ch 那么那么 sinccyh AghFc 与水平面完全一致
5、与水平面完全一致v 思考一下！思考一下！1h2h3h1A2A3A 三个面上的压力三个面上的压力111AghF 222AghF 333AghF 容器旋转结果怎样？容器旋转结果怎样？（二）（二）总压力的总压力的作用点作用点 淹没在静止液体的平面上总压力的作用点，淹没在静止液体的平面上总压力的作用点，压力中心压力中心。 合力矩定理可知，总压力对合力矩定理可知，总压力对OX轴之矩等于各微元面轴之矩等于各微元面积上的总压力对积上的总压力对OX轴之矩的代数和。轴之矩的代数和。用一个集中压力代用一个集中压力代替分布压力系替分布压力系AgyFdsind 作用在微元面积上的总压力作用在微元面积上的总压力 对对O
6、X轴的力矩为轴的力矩为AygFydsind2 AFyyFd 用用 表示表示OY轴上点轴上点O到压力中心的距离到压力中心的距离py 则按合力矩定理有则按合力矩定理有 ApAygFydsin2 AygFydsind2 AFyyFdxIg sin AxAyId2为平面面积对为平面面积对OX的惯性矩。的惯性矩。xpIgFy sin 总压力总压力AygFc sin 两式相除两式相除AyIAygIgycxcxp sinsinAyIAygIgycxcxp sinsin 根据惯性矩的平行移轴公式根据惯性矩的平行移轴公式cxcxIAyI 2AyIyAyIAyyccxcccxcp 2AyIyAyIAyyccxcc
7、cxcp 2 面积对于通过它形心且平行于面积对于通过它形心且平行于OXOX轴的轴线的惯性矩轴的轴线的惯性矩cxI 平面形心的平面形心的y y坐标坐标cy查表查表 通常，实际工程中遇到的平面多数是对称的，因此压力通常，实际工程中遇到的平面多数是对称的，因此压力中心的位置是在中心的位置是在平面对称的中心线平面对称的中心线上，此时不必求上，此时不必求 的坐标的坐标值，只需求得值，只需求得 坐标值即可。坐标值即可。pypxAyIyAyIAyyccxcccxcp 2 压力中心的位置与压力中心的位置与角无关，即平面面积可以绕与角无关，即平面面积可以绕与OX轴轴平行且通过压力中心的轴旋转。平行且通过压力中心
8、的轴旋转。 由方程还可看到，压力中心总是在形心下方，随淹没的由方程还可看到，压力中心总是在形心下方，随淹没的深度增加，压力中心逐渐趋近于形心。深度增加，压力中心逐渐趋近于形心。截面几何图形面积A型心yc惯性距Icx bh 1/2h 1/12bh3 1/2bh 2/3h 1/36bh3 1/2h(a+b)babah 231bababah22343612rr44rbh42h364bh23rr344272649r【例例2-6】 图2-22表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为h1=2m，h2=4m，试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。 【解解】 淹没在自由液面下h1深
9、的矩形水闸的形心 yc=hc=h1/2 每米宽水闸左边的总压力为 由式(2-40)确定的作用点F1位置 )(19612 298062121 12221111NghhhgAghFcAyIyycccp1图 2-22784484980621212222ghF其中通过形心轴的惯性矩IC=bh31/12，所以F1的作用点位置在离底1/3h=2/3m处。1113111322112121hbhhbhhyp 淹没在自由液面下h2深的矩形水闸的形心yc=hc=h2/2。每米宽水闸右边的总压力为331122hFhFFh 56. 158836321961247844831122 FhFhFh同理F2作用点的位置在离
10、底1/3h2=4/3m处。每米宽水闸上所承受的净总压力为F=F2-F1=78448-19612=58836假设净总压力的作用点离底的距离为h，可按力矩方程求得其值。围绕水闸底O处的力矩应该平衡，即第六节 曲面上的静水总压力 AghsghbFddd一、总压力的大小和方向一、总压力的大小和方向图2-23所示为一圆柱形开口容器中某一部分曲面AB上承受液体静止压强的情况设曲面的宽度为b，在A处取一微小弧段ds则作用在宽度为b、长度为ds的弧面dA上仅由液体产生的总压力为CDAxHhdFdFxdFzds图2-23 作用在圆柱体曲面上的总压力BAghsghbFdddcosdcosddAghFFxsinds
11、inddAghFFzAghsghbFddd OX轴方向的分力为 OZ轴方向的分力为cosdcosddAghFFxsindsinddAghFFzcosdcosddAghFFx1. 水平分力水平分力 dsdxdhxdAzdAxAAdcosdxxAghFdd因此，静止液体作用在曲面AB上的总压力在OX轴方向的分力，即水平分力为xcAxxAghAhgFd dsdxdhxdAzdAxcAxxAghAhgFdAxcxAhAhd曲面面积在垂直平面（曲面面积在垂直平面（OYZ坐标面）上坐标面）上的投影面积的投影面积AX对对OY轴的面积矩轴的面积矩 该圆柱形曲面在垂直平面上的投影面积该圆柱形曲面在垂直平面上的投
12、影面积Ax=bH， 则则 其形心其形心hc=H/2221gbHFx dsdxdhxdAzdA221gbHFx xcAxxAghAhgFd 静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力等于作用在这一曲面的垂直投影面上的总压力。 F作用线的位置位于自由液面下2/3H处。1113111322112121hbhhbhhyp 思考一下！思考一下！判断：下述结论哪一个是正确的？判断：下述结论哪一个是正确的？两图中两图中F均为单位宽度上的静水总压力。均为单位宽度上的静水总压力。 A. FxF2 B. Fx=F2 正确答案正确答案B2. 垂直分力垂直分力 dsdxdhxdAzdAzAAdsind sindsindd
13、AghFFz AzzAhgFd 静止液体作用在曲静止液体作用在曲面面ABAB上的垂直分力上的垂直分力pgV dsdxdhxdAzdApAzVAhd曲面AB与自由液面间的柱体体积压力体压力体pzgVF 静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力体的液体重量，Fz的作用线通过压力体的重心。3. 总压力的大小和方向总压力的大小和方向pzgVF 221gbHFx 静止液体作用在曲面上水平分力Fx 静止液体作用在曲面上水平分力Fz 静止液体作用在曲面上的总压力22zxFFF 总压力与垂线间夹角的正切为zxFFtg二、总压力的作用点二、总压力的作用点总压力的作用线通过点总压力的作用线通过点Fx和和Fz
14、与作用线的交点。与作用线的交点。总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用总压力作用线与曲面的交点就是总压力在曲面上的作用点，即压力中心。点，即压力中心。FzF ABFx 总压力总压力F的作用点：作出的作用点：作出Fx及及Fz的作用线，得交点，的作用线，得交点，过此交点，按倾斜角过此交点，按倾斜角作总压力作总压力F的作用线，与曲面壁的作用线，与曲面壁AB相交的点，即为总压力相交的点，即为总压力F的作用点。的作用点。三、压力体的概念三、压力体的概念 v 定义定义 压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）压力体是所研究的曲面（淹没在静止液体中的部分）到自由液面或自由液面的延长面间投影所
15、包围的一块空到自由液面或自由液面的延长面间投影所包围的一块空间体积。间体积。v 数学体积计算式数学体积计算式 AzpAhVdv 作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的重量，并且与压力体内是否充满液体无关。重量，并且与压力体内是否充满液体无关。v 压力体体积的组成：压力体体积的组成：（1）受压曲面本身；）受压曲面本身；（2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面；）通过曲面周围边缘所作的铅垂面； （3）自由液面或自由液面的延长线。）自由液面或自由液面的延长线。压力体压力体bAVabcdp v 压力体的种类：压力体的种类： 实压力体：实压力体方向向下实压
16、力体：实压力体方向向下 虚压力体：虚压力体方向向上虚压力体：虚压力体方向向上实压力体实压力体虚压力体虚压力体v 压力体的绘制（一）：压力体的绘制（一）：v 压力体的绘制（二）：压力体的绘制（二）：四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序四、静止液体作用在曲面上的总压力的计算程序(1) 将总压力分解为水平分力将总压力分解为水平分力Fx和垂直分力和垂直分力Fz(3) 确定压力体的体积确定压力体的体积(7) 作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。作用点的确定，即总压力的作用线与曲面的交点即是。(2) 水平分力的计算水平分力的计算xcxAghF(4) 垂直分力的计算，垂直分力的计算， 方向
17、由虚、实压力体确定。方向由虚、实压力体确定。pzgVF(5) 总压力的计算总压力的计算22zxFFF(6) 总压力方向的确定总压力方向的确定zxFF /tg 【例例2-7】 求图2-25所示流体施加到水平放置的单位长度圆柱体上的水平分力和垂直分力：（a）如果圆柱体左侧的流体是一种计示压强为35kPa被密封的箱内的气体；（b）如果圆柱体左侧的流体是水，水面与圆柱体最高部分平齐，水箱开口通大气。 【解解】 （a）圆柱体表面所研究部分的净垂直投影为则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平分力为 Az=4-2(1-cos300) 1 则35kPa计示压强的气体作用在单位长度圆柱体上的水平
18、分力为 Fx=pAz=354-2(1-cos300) 1 =353.75=130.5(kN) 圆柱体表面所研究部分的净水平投影为 Ax=2sin3001 则气体作用在单位长度圆柱体上的垂直分力为 Fz=pAx=352sin3001=35(kN) （b） Fx=ghcAx=9.81(1/23.73) (3.731) 1000=68.1（kN） Fz=gVp=9.811000(2100/360022+1/21 1.732+12) 1=100.5(KN) 图2-25 【例例2-8】 图2-26所示为一水箱，左端为一半球形端盖，右端为一平板端盖。水箱上部有一加水管。已知h=600mm，R=150mm，
19、试求两端盖所受的总压力及方向。 【解解】 （1）右端盖是一圆平面，面积为 A右=R2 其上作用的总压力有 F右=g(h+R)A右=g(h+R) R2 =1039.806(0.6+0.15) 3.140.152=520 （N） 方向垂直于端盖水平向右 （2）左端盖是一半球面，分解为水平方向分力Fx左和 垂直方向分力Fz左。 Fx左=g(h+R)Ax=g(h+R) R2 =1039.806(0.6+0.15) 3.140.152=520 （N） 方向水平向左 垂直方向分力由压力体来求，将半球面分成AB、BE两部分，AB部分压力体为ABCDEOA，即图中左斜线部分，记为VABCDEOA，它为实压力体，方向向下；BE部分压力体为BCDEB，即图中右斜线部分，记为VBCDEB ，它为虚压力体，方向向上。因此总压力体为它们的代数和。 Vp= VABCDEOA -VBCDEB=VABEOA
