1、12关键词：关键词：数学期望数学期望方差、变异系数方差、变异系数协方差、相关系数协方差、相关系数 其它数字特征其它数字特征第四章 随机变量的数字特征3在一些实际问题中，我们需要了解随机变在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。某些特征。问题的提出：问题的提出：4 例：例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离均长度，又需要注意纤
2、维长度与平均长度的偏离程度；程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。5,甲乙两个射手 他们的某次射击成绩分别为试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例: 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击击中中环环数数次数1098206515甲射手甲射手击中环数击中环数次数10981080106 解：计算甲的平均成绩：解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩：计算乙的平均成绩： 所以甲的成绩好于乙的成绩。所以甲的成绩好于乙的成绩。 8 10 9 80 10
3、 1010801089109100100100100 8 209 65 10 1520651589108.95100100100100 7定义：定义：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXEx pE Xx pX绝对收敛设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的值为随机变量的，记为即 数学期望，1 1 数学期望数学期望(expectation)8定义：定义： , 0!的分布律为：keXP Xkkk()E X由上节例子中已算得2 ()E X而22 ()() ()D XE XE X所以即泊松分布的均值与方差相等，都等于参数(1)()E X XE X(1)E X XX22
4、2(2)!kkek0(1)!kkek kk22e e( )()XD X 。设，求 56例：例：( , )() XU a bD X。设，求22()( )E Xx f x dx22()() ()D XE XE X1 ( )0 axbbaf x其它21(),22bbaaxxabE Xdxbaba21baxdxba333()baba223abab2222234abababab2()12ba解：解：X X的概率密度为：的概率密度为：57例：例：设随机变量设随机变量X X服从指数分布，其概率密服从指数分布，其概率密度为：度为： 0( ) 0()0 0 xexf xD Xx，求.()1/ ,E X解：由前面
5、的例子知22()( )E Xx f x dx20 xxedx2200|22/,xxx exedx 22()() ()D XE XE X于是 2222/1/1/.58方差的性质：方差的性质： 22, ,()()( )X Ya b cD aXbYca D Xb D Y综合上述三项，设相互独立，是常数，则( )0CD C 1. 设 是常数，则2()( )XCD CXC D X2. 设 是随机变量， 是常数，则有,()( )( ) 2( )( ),()( )( )X YD X YD XDYE XE XYE YX YD X YD XDY3. 设是两个随机变量， 则有 特别，若相互独立，则有594. ()
6、0()1 ()D XP XCCE X且推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况2011()()nniiiiiiD cc Xc D X60证明：证明：21. ( )( )0D CECE C22222222222. ()() ()() () () ()()D CXE CXE CXC E XCE XCE XE XC D X22223. ()()()()( ) ()( )2()( ) ()( )2()( )D XYEXYE XYEXE XYE YEXE XEYE YEXE XYE YD XD YEXE XYE Y4. 证略。,()( )()( )() ( )
7、0()()( )X YXE XYE YEXE XYE YE XE XE YE YD XYD XD Y当相互独立时，与相互独立故所以61例例 ( , )(),()Xb n pE XD X。设，求1 1,2,0 kAkXknAk在第 次试验发生在第 次试验不发生Xkpk011-pp121 易知：nniiXXXXX解：随机变量 是 重伯努利试验中事件 发生的次数，设P(A)= . 引入随机变量：XnAp12,0 1nX XX于是相互独立，服从同一分布：6211()()()nniiiiE XEXE Xnp故知：()()(1)E XnpD Xnpp即，11()()()(1)nniiiiD XDXD Xn
8、pp,0 1n pnp以为参数的二项分布变量，可分解为 个相互独立且都服从以 为参数的分布的随机变量之和。63例：例： 解：解：2( ,)(),()XNE XD X 。设，求XZ先求标准正态变量的数学期望和方差221( )2tZte的概率密度为：221( )02tE Ztedt于是 22()(),()()( )XZE XEZD XDZD Z因为，故2( )()D ZE Z22212tt edt222211|122ttteedt 2, 即正态分布的两个参数分别是该分布的数学期望和方差。65表表1 1 几种常见分布的均值与方差几种常见分布的均值与方差数学期望数学期望 方差方差 分布率或 密度函数
9、分布01分布 p p(1-p)二项分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布 均匀分布U(a,b)指数分布正态分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn( ) ()!0,1,.,kP Xkekk1 (),( )0,baaxbf x其它a+b22(b-a)12( )Exp,0( )0,xexf x其它1212( ,)N 22()21( )2xf xex 2201122222222011112212(,) 1,2, (,) ,iiinnnnnnnXNinCC XC XC XN CCCCCCC CC 若且它们相互独立则它们的线性组合：是不全为0的常
10、数 (1,3)(2,4),23如:，且相互独立，则XNYNX YZXYn独立的 个正态变量的线性组合仍服从正态分布：( 4,48)N67例：例： 2(22.40,0.03 ),XN2(22.50,0.04 ),)YNXYP XY和 相互独立，计算（()P XY解：2( 0.10,05 ) 0.XYN由于()(0)P XYP XY故有0( 0.10)()0.05 (2)0.9772 (0)P XY68 定义：设随机变量定义：设随机变量X X具有数学期望具有数学期望()E X*()0()1E XD XX显然，且无量纲.*11()() ()0E XE XE X证：2*()0XD XX方差，记2*22
11、2222 ()() ()() 1() 1XD XE XE XEE X *XX则称为 的标准化变量.69 定义：设随机变量定义：设随机变量X X具有数学期望具有数学期望()E X2()0D X方差，则称X为 的(coefficient of variati变异系数on).vC703 协方差与相关系数协方差与相关系数定义：定义： (, )()( )()( )(, ),(.)()XYXYCov X YEXE XYE YCov XEXE XYE YXYCovYD X DYYX YX量称为随机变量 与 的，协方差相关记为：，即称为随机变量 与 的.是一个无系数量纲的量71协方差的计算公式：协方差的计算公
12、式：(,() ( )E XYE XCov XE YY方差性质的补充：方差性质的补充：()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y111()()2(,)nniiijiiij nDXD XCov XX 推广到任意有限个随机变量之和的情况推广到任意有限个随机变量之和的情况72协方差的性质：协方差的性质：1212(, )( ,);(,)(2.3.1. );(4,)(, ),(, )(, )() .,; Cov X YCov Y XCov X XD XCov aX bYab Cov X Ya bCov XXYCov X YCov XY其中为两个实数；73(,)? ()?Cov aXbY c
13、XdYD aXbY22()( )()(, ) ()( )2(, )acD XbdD Yadbc Cov X Ya D Xb D YabCov X Y答案：思考题：思考题：741,()1 0.102 1XYXYXYa bP YabXbb 存在常数，使 特别的，时，；时，1. 1XY2()( )0(, )()( ),()12D X D YCov X YD X D YXYa bP YabX“ ”其实也可以写成：当时，有 其中等号当且仅当 与 之间有严格的线性关系,即存在常数，使说明：说明：相关系数的性质相关系数的性质752( , )()( , )XabXYe a bEYabXabXYe a babX
14、Y证明：考虑以 的线性函数来近似表示 我们以均方误差来衡量 以近似表达 的好坏程度,越小，与 的近似 程度越好。00,(,)( , )a be a bmine a b下面来求最佳近似式：22220020( , )()()2()2()2( )( , )( )()22()2 ( )0 (, )( , )2()2 ()2()0()e a bE Yb E XabE XYabE XaE Ye a baE Yb E XabE XE YaCov X Ye a bbbE XE XYaE XD Xb计算得: 续76001(,)0.e a b 由00(, )0(, )00() 0(, )00特别，当时，当时，XY
15、XYCov X YCov X YbD XCov X Yb20000(,)()e a bE Yab X此时20000()()D Yab XE Yab X0()D Yb X200( )()2(, )D Yb D Xb Cov X Y2(, )( )()Cov X YD YD X2(1)( )XYD Y210XY 1XY2001(2.) 0 XYEYab X 0000()0()0D Yab XE Yab X且00()01P Yab X000(, )( )(),()Cov X YaE Yb E XbD X已得：77,是一个用来表征之间相关系数线性关系紧密程度的量XYX Y00(,),XYe a bX
16、Y当较大时，较小，表明线性关系的程度较好；001 (,)0,XYe a bX Y当时， ，表明之间以概率1存在线性关系；00(,),XYe a bX Y当较小时，较大，表明线性关系的程度较差；00XYXYXYXY当时，称 与 为；当正相关时，称 与 为负相关；78例：例：(2),61,2,6.().iijijnnNniiNN ij独立地抛一枚均匀的骰子 次则每次试验具有 种可能结果，每种结果出现的概率均为1/6.令表示 次试验中“ 点朝上”发生的次数,求与的相关系数7961212611226612661( ,1/6),1,2,6,(,)!111,( ) ( )( ) ,! 666,1,2,6,
17、.innniiiNB niN NNnP Nn NnNnn nnnn inn解：由题意知，且的联合分布律为 其中0且61212611226612661( ,1/6),1,2,6,(,)!111,( ) ( )( ) ,! 666,1,2,6,.innniiiNB niN NNnP Nn NnNnn nnnn inn解：由题意知，且的联合分布律为 其中0且61212611226612661( ,1/6),1,2,6,(,)!111,( ) ( )( ) ,! 666,1,2,6,.innniiiNB niN NNnP Nn NnNnn nnnn inn解：由题意知，且的联合分布律为 其中0且612
18、12611226612661( ,1/6),1,2,6,(,)!111,( ) ( )( ) ,! 666,1,2,6,.innniiiNB niN NNnP Nn NnNnn nnnn inn解：由题意知，且的联合分布律为 其中0且1,( )1,2,6.0,mkmIkm令 第 次试验的结果是 点朝上， 其它，80( )1/6,( ( )( )0,.mijE IkE I k Ikij那么，( ( ),( )0,.ijCov I kI lkl且有 21,2, ,( ( ),( )( ( )( )( ( ) ( )0(1/6)1/36.ijijijkn mlCov I kIkE I k IkE I
19、 kE Ik 而对任意的，有 111,(,( ( ),( )( ( ),( )/36.nnnijijijklkijCov N NCov I kI lCov I kIkn 于是对有 ）111,(,( ( ),( )( ( ),( )/36.nnnijijijklkijCov N NCov I kI lCov I kIkn 于是对有 ）81),1,2,6,(,)/361 0,5 /365()(ijijiji jijCov N NnnD N D N 故对于有11,2,6, ()( ( )5 /36,niikiD ND I kn又由于对于任意的有().ijNNij即，与是负相关的820XYXY ，称
20、与 不相关或定义：零相关.0XYXY随机变量 与 不相关，即的等价条件有：1. (, )0Cov X Y 2. ()() ( )E XYE X E Y3. ()()( )D XYD XD YXYXYXYXY从而可知，当 与 相互独立与 一定不相关反之，若 与 不相关， 与 却不一定相互独立83例：例：设设X,YX,Y服从同一分布，其分布律为：服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/4 1/2 1/4 0P XY 已知已知 , 判断判断X和和Y是否不相关？是否不相关？是否独立？是否独立？ 84,10111 401 211 41 41 21
21、 4jiX YYXpp解： 先求的联合分布律：000001 41 41 41 485()( 1) 1 40 1 2 1 1 40E X (, )0,ovYCX YX所以，与即不相关.(1,1)0,P XY (1,1)(1) (1)P XYP XP YXY 所， 与以不独立。()( 1) ( 1) 1 4( 1) 1 1 41 ( 1) 1 4 1 1 1 40E XY (1) (1)1 4 1 4P XP Y 862122211222221212(, )1 ( , )21()()()()1exp22(1) X Yf x yxxyyXYXYXY 设服从二维正态分布，它的概率密度为：求 和 的相关
22、系数，并证明 与 相互独立：与例不相关87,X Y解：由于的边缘概率密度为：2121()211( ) 2xXfxex ；2222()221( ) 2yYfyey 续221122(),()( ),( )E XD XE YD Y所以；8812(, )()()Cov X YEXY而12()() ( , )xyf x y dxdy 2121()21221222212212()()2211()2(1)xxyedxexpyxdy 892121()21221211()()2xxexdx 2121()222111() 2xxedx 221121 (, )()( )XYCov X YD XD Y于是90(, )
23、,X YX YX Y即二维正态变量的概率密度中的参数就是的相关系数，因而二维正态变量的分布完全可由各自的均值、方差以及它们的相关系数所确定。 (, )0 (, )XYXYXYX YXYX Y若服从二维正态分布，那么 和 相互独立现在知道，从而和 不相知：对于二维正态变量来关，与说相互独立914.4 4.4 其它数字特征其它数字特征 XY定义：设 和 是随机变量() 1,2, () kkE XkX若存在，则阶 原它为 的点称矩；() 1,2,kkEXE XkX若存在， 则称它为 的 阶中心矩；,1,2,klE X Yk lYklX若存在 存在， 则阶混合(原称它为 和 的点)矩；() ( ) ,
24、1,2,klEXE XYE YkklXlY若存在， 阶 则称它为的混合中心矩；显然，最常用到的是一、二阶矩92( )( ), 1()( )xXF xf xP XxF xf x dxxX 定义： 为连续型随机变量，其分布函数和概率密度函数分别为和称满足条件的实数为随机变量（或此分布）的上（侧） 分位数.93z0,1 ,01XNzP Xzz设若满足条件则称点为标准正态分布的上 分位数.1zz 1/21/21/21/2 1/4 3/4xXxXxX特别地，当时，称为 的；当时，称中位数为 的；当时，称为上1 4分位数上3的4分位数. 例：例：1/20zexcel实现94X定义：随机变量 最可能取的数值
25、，称为众数.( )f xx对于连续型随机变量，众数是其密度函数达到最大的自变量 的值；对于离散型随机变量，众数是其分布律中最大概率所对应的那个变量可能取值.954.5 多元随机变量的数字特征多元随机变量的数字特征 1212(,)( )( (), (),()(. )TnTnnX XXEE XE XXnEXXX定义：设 元随机变量，若其每一分量的数学期望都存在，则称 元随机变量 的数学为期望 向量 961211212212(,)()(,)(,)(,)()XXD XCov XXXXCov XXD X定义：设二维随即变量的四个二阶中心矩存在，将它们排成矩阵协方：，称为的差矩阵.121121212212
26、12(,)(,),1,2,()(,)(,)(,)()(,)(,)(,)()(,)nijnnnnnnnXXXCov X Xi jnD XCov XXCov XXCov XXD XCov XXCov XXCov XXD XnXXX定义：设维随机变量，都存在，称矩阵为 维随即变量的协方差矩阵.协方差矩阵是一个对称的非负定矩阵.利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到得到n n维正态变量的概率密度。维正态变量的概率密度。122211112222122222121212(,)()()()()11( ,)exp22(1)21XXxxxxf x x
27、 已知服从二维正态分布，其概率密度为：1122,xXx引入列向量：，2112122122(,)XXC 的协方差矩阵为：122211112222122222121212(,)()()()()11( ,)exp22(1)21XXxxxxf x x 已知服从二维正态分布，其概率密度为：9822212(1)C 它的行列式为 2121221211CCC 的逆矩阵为2121221221111 9912221121211(,)( ,)exp()()2(2 )TXXf x xXCXC于是的概率密度可写成：221111122222221212()()()()1()()21TxxxxXCX 经计算，2211111
28、22222221212()()()()1()()21TxxxxXCX 经计算，12221121211(,)( ,)exp()()2(2 )TXXf x xXCXC于是的概率密度可写成：122121112221112122(,)()() =,()11(,)()2(,)(2,()nnnnnnTnnnXXXxE XxE XXxE XBf x xxexXXXXXXXBXpBaaa上式容易推广到 维正态变量的情况引入列向量：是的协方差矩阵,的概率密度定义为：101n元元正态变量具有以下四条重要性质：正态变量具有以下四条重要性质：12121212 (,)(,1,)(1). ,1,2,(,)kTTniiii
29、nnnXXXXXXknkX inXXXXXXn元正态变量中的任意子向量也服从 元正态分布.特别地，每一个分量都是正态变量；反之，若都是正态变量，且相互独立，则是 维正态变量；1211211222(,) 2. , ,nnnnnnXXXnlXXXl Xl Xll Xl的任意线性维随机变量服从 维正态分布其中组合服从一维正态分布不全为零102121212(,), (1,2,),3. )nkjkXXXnY YYXjnY YY若服从 维正态分布，设是的线性函数，则(也服从多维正正态态分布变量； 这的线性变一性质称为换不变性121212(,),. ,4nnnXXXnXXXXXX设服从 维正态分布， 则相互独立两两不相关 协方差矩阵为对角矩阵.2022-4-16课件结束!
