1、 第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标第二节第二节 一阶系统的时间分析一阶系统的时间分析第三节第三节 二阶系统的时间分析二阶系统的时间分析第四节第四节 高阶系统的时间分析高阶系统的时间分析第五节第五节 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 第六节第六节 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标 一、时域分析法的特点一、时域分析法的特点 它根据系统微分方
2、程，通过拉氏变换，它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求直接求出系统的时间响应出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。与这些性能之间的关系。 这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。系统时间响应的全部信息。第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标二、典型输入信号二、典型输入信号1. 1. 典型初始状态典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为通常规定控制系统的初始状态为零零
3、状态。状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。态。第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标2. 2. 典型外作用典型外作用单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)1(t)tf(t)f(t)0 0 = = =0t00t1)t (1)t (f其拉氏变换为：其拉氏变换为：s1dte1)s(F)t (fL0st= = = = - - 其数学表达式为：其数学表达式为：第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标t 单位斜坡函数单位斜坡函
4、数0t0t0t)t (1t)t (f = =. .= =其拉氏变换为：其拉氏变换为：20sts1dtet)s(F)t (fL= = = = - -f(t)f(t)0 0 其数学表达式为：其数学表达式为：第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标它的数学表达式为它的数学表达式为 = =02100)(2tAtttr 曲线如图所示。曲线如图所示。当当A=1时，称为单位时，称为单位抛物线函数。抛物线函数。抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数（等加速度函数）31( )R ss=第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标单位脉冲函数单位脉冲函数000)()(= = = =
5、=ttttfd d 其数学表达式为：其数学表达式为：其拉氏变换为：其拉氏变换为：1)()(= = =sFtfL + - -= =1)( dttd d定义：定义：图中图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。结果。第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标正弦函数正弦函数其拉氏变换为：其拉氏变换为：220sin)()(sdte tsFtfLst+ += = = = - -000sin)( = =ttttf 其数学表达式为：其数学表达式为：f(t)第一节第一
6、节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标（1 1）动态过程）动态过程 系统在典型信号输入下，系统的输出量从初系统在典型信号输入下，系统的输出量从初始状态到最终状态的响应过程。始状态到最终状态的响应过程。（2 2）稳态过程）稳态过程 系统在典型信号输入下，当时间系统在典型信号输入下，当时间t t趋于无趋于无穷时，系统输出量的表现方式。穷时，系统输出量的表现方式。三、动态过程与稳态过程三、动态过程与稳态过程第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标四、动态性能与稳态性能四、动态性能与稳态性能（1 1）动态性能）动态性能定义：稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动定义：稳定的系统
7、在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间态过程随时间t t的变化状况的指标。的变化状况的指标。动态性能指标如下图：动态性能指标如下图：时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量% =AB100%调节时间调节时间ts第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标dt上升时间上升时间tr调节时间调节时间 ts第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标trtpAB%= 100%BAts第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标（2 2）稳态性能）稳态性能 稳态误差稳态误差ess : :当
8、时间当时间t t趋于无穷时，系统输趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。出响应的期望值与实际值之差。ess 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。 第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 根据系统的输出响应求取系统的性能根据系统的输出响应求取系统的性能指标指标,从而分析系统的性能，是时域分析从而分析系统的性能，是时域分析法分析系统性能的基本方法。法分析系统性能的基本方法。一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型二、一阶系统的时域响应及性能分析二、一阶系统的时域响应及性能分析第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法一、一阶
9、系统的数学模型一、一阶系统的数学模型时间常数时间常数一阶系统的动态结构图一阶系统的动态结构图闭环传递函数为闭环传递函数为1Ts+1(s)=C(s)R(s)= 当控制系统的数学模型为一阶微分当控制系统的数学模型为一阶微分方程时方程时,称其为一阶系统称其为一阶系统.第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 1TS-R(s)R(s)E(s)E(s)C(sC(s) )第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析拉氏反变换：拉氏反变换：R(s)=1s1sC(s)=(s)1Ts+1=1s=1s+1s-1T1 1单位阶跃响应单位阶跃响应 系统在单位阶跃信号作系统在单位阶跃信号作 用下的输出响
10、应用下的输出响应.一阶系统单位阶跃响应一阶系统单位阶跃响应: 单位阶跃响应单位阶跃响应:c(t)=1-e-t/T二、一阶系统时域响应及性能分析二、一阶系统时域响应及性能分析 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 c(t)t01T 2T3T4T0.980.6320.860.95 一阶系统没一阶系统没有超调，系统的有超调，系统的动态性能指标为动态性能指标为调节时间调节时间:ts = 3T(2%)ts = 4T(5%)第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析性能指标性能指标1. 1. 平稳性平稳性：2. 2. 快速性快速性t ts s：3.3.准确性准确性 e essss：非周期、无振荡，非周
11、期、无振荡， 0 0%595. 0)(3误差带误差带对应对应时，时，= = =tcTt%298. 0)(4误差带误差带对应对应时，时，= = =tcTt0)(1= = - -= =cess第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析2 2单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应为单位脉冲响应为:R(s)=1c(t)=g(t)=e-t/TT1单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线c(t)t0C(s)=(s)1Ts+1=s+1T1TT1第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3 3单位斜坡响应单位斜坡响应R(s)=1s2c(t)=t-T+Te-t/TC(s)=(s)1s21Ts+1=1s2T
12、=sTs+1/T-1s2+单位斜坡响应为单位斜坡响应为: 单位斜坡响应曲线单位斜坡响应曲线 h(t)t0c(t)r(t)T系统的误差：系统的误差：t ess= lim e(t) e(t)= r(t) -c(t)=t-(t-T+Te-t/T )=T(1-e-t/T )=T第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析4. 4.单位加速度响应单位加速度响应 设系统的输出信号为单位加速度函数，则求得设系统的输出信号为单位加速度函数，则求得一阶系统的单位加速度响应为：一阶系统的单位加速度响应为：22/1( )(1),02t Tc ttTtTet-=-+- 系统的跟踪误差为系统的跟踪误差为：2/(
13、)( )( )(1)t Te tr tc tTtTe-=-=- 系统输入信号导数的输出响应，等于该输系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。应，就可推知于其它。根据一阶系统三种响应的输入输出信号根据一阶系统三种响应的输入输出信号:可知可知:c(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T+Te-t/Tc(t)=e-t/TT1r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=(t)第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析r(t)=t212122/()(1)2t TcttTt Te-=- +-第二节第二节
14、一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析例例 一阶系统的结构如图，试求系统的调一阶系统的结构如图，试求系统的调节时间节时间t s (5%),如果要求如果要求 t s= 0.1s，求反，求反馈系数。馈系数。 Kk= 100 KH= 0.1解：解： 闭环传递函数闭环传递函数-KH KksC(s)C(s)R(s)R(s)E(sE(s) )(s)=C(s)R(s)=1+s KkKH s Kk 10= 0.1s+1100=s+10得得:t s=3T=30.1=0.3 若要求若要求:t s=0.1 s则则:(s)=1+s 100KH s 100 =0.01s+1KH 1 KH t s=30.01/KH=0.1
15、 KH =0.3第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析一、二阶系统的数学模型一、二阶系统的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应六、改善二阶系统性能的措施六、改善二阶系统性能的措施三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析四、过阻尼二阶系统的动态过程分析四、过阻尼二阶系统的动态过程分析第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法五、二阶系统的单位斜坡响应五、二阶系统的单位斜坡响应一、二阶系统的数学模型一、二阶系统的数学模型二阶系统的微分方程一般式为：二阶系统的微分方程一般式为：-阻尼比无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率- -n 2222
16、( )( )2( )( )nnnd c tdc tc tr tdtdt+=(0)n第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析二阶系统的反馈结构图二阶系统的反馈结构图)2(2nnss + +)(sR)(sC2(2)nns s+第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析二阶系统的传递函数二阶系统的传递函数开环传递函数：开环传递函数：222( )( )2nnnC sR sss=+2( )(2)nnG ss s=+闭环传递函数：闭环传递函数：二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为2220nnss+=解方程求得特征根解方程求得特征根：当
17、输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：12012( )s ts tc tAAeAe=+式中式中 为由为由r(t)r(t)和初始条件确定的待定的和初始条件确定的待定的系数。系数。 012,AAAs s1 1,s,s2 2完全取决于完全取决于 ， n n两个参数。两个参数。21,21nns= -第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析q此时此时s s1 1,s,s2 2为为一对共轭复一对共轭复根，且位于根，且位于复平面的左复平面的左半部。半部。01特征根分析特征根分析 ( (欠阻尼）欠阻尼）21,21nnsj= -第三节第三节 二阶系统的时域分析
18、二阶系统的时域分析特征根分析特征根分析 （临界阻尼）临界阻尼）q此时此时s s1 1,s,s2 2为为一对相等的一对相等的负实根。负实根。 s s1 1=s=s2 2=-=- n n21,21nnns=- =-1=第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析特征根分析特征根分析 （过阻尼）（过阻尼）q此时此时s s1 1,s,s2 2为为两个负实根，两个负实根，且位于复平且位于复平面的负实轴面的负实轴上。上。21,21nns= -1第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析特征根分析特征根分析 （零阻尼）（零阻尼）q此时此时s s1 1,s,s2 2为为一对纯虚根，一对纯虚根，位
19、于虚轴上。位于虚轴上。qS S1,21,2= = j j n n21,21nnnsj=- =0=第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析特征根分析特征根分析 （负阻尼）（负阻尼）q此时此时s s1 1,s,s2 2为为一对实部为一对实部为正的共轭复正的共轭复根，位于复根，位于复平面的右半平面的右半部。部。21,21nnsj= -10- 第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析特征根分析特征根分析 （负阻尼）（负阻尼）q此时此时s s1 1,s,s2 2为为两个正实根，两个正实根，且位于复平且位于复平面的正实轴面的正实轴上。上。21,21nns= -1 -第三节第三节 二阶系
20、统的时域分析二阶系统的时域分析 值不同，两个根的性质不同，有可能为实数值不同，两个根的性质不同，有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。也不相同。下面分别讨论。C(s)=(s)R(s)n s2+2 s+n2=0二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应n2n (s2+2 s+n2)=s1n =- n2 -1 n s1.2 = -22(2)2-4n n 2第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析n (s+ +n2)2=(1- 2)1. 1. 0101 欠阻尼欠阻尼令：令： 阻尼振荡频率阻尼振荡频率
21、则：则：单位阶跃响应：单位阶跃响应：s1.2 n =- n2 -1 2=n1- ds1.2 n j =- dn2n (s+ s+d2)2C(s)=1n s2+2 s+n2C(s)=n2n (s2+2 s+n)s12=n s2+2 s+ n 2 ()n 2 -()+n2n (s+ +d2)2=另：另：得：得：n (s+ s+d2)2=+1n -(s+ )2n (s+ s+d2)2=-1n s+ n (s+ +d2)2-n dd拉氏反变换：拉氏反变换：=1-t+ sind tent-21- 21- cosdc(t)=1-ecosent-t-dn dnt-sind t第三节第三节 二阶系统的时域分析
22、二阶系统的时域分析21- nn-1=tg = 21- nnsin = 21- = nncos = -1=tg 21- S1S20 系统参数间的关系系统参数间的关系: 1-2n- n1-2n-njc(t)=1-t+ sind tent-21- 21- cosd 根据根据: =1-t+sind tent-21- cosdcos sin =1-t+ )ent-21- dsin(得得: 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线c(t)t011 时时快。快。单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线1=1 c(t)t0s1.2 n =- n2 -1 nn (s2+2 s+n2)s1C(s)=2=nn (s+)2 1s2第
23、三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析4. 1 过阻尼过阻尼 两不相等两不相等负实数根负实数根c(t)=A1+A2es1t+A3es2t 系统输出无振荡系统输出无振荡和超调，输出响应最终和超调，输出响应最终趋于稳态值趋于稳态值1。 A1=ss-s1+A2A3s-s2+单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线c(t)t011 s1.2 n =- n2 -1 nn (s2+2 s+n2)s1C(s)=2s(s-s1)(s-s2)n2=第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 从以上结果可知从以上结果可知:值越大，系统的平稳值越大，系统的平稳性越好；性越好；值越小，输出响应振荡越强。值越
24、小，输出响应振荡越强。 不同不同值时系统的单位阶跃响应值时系统的单位阶跃响应c(t)t01=0 1 =1 1 第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析y(t) 单位阶跃响应（单位阶跃响应（ 00 1 1C(s)=s(s+1)(s+2)2拉氏反变换拉氏反变换c(t)=1-2e-t+e-2tA1=ss+1+A2A3s+2+1=ss+1-21s+2+第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析C(s)s2+s+44R(s)=例例 已知二阶系统的闭环传递函数已知二阶系统的闭环传递函数, ,求系统求系统 的单位阶跃响应的单位阶跃响应. .解：解：=0.25得：得：=2n 2 = 4n 2
25、n =1=1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o)将参数代入公式将参数代入公式:c(t)=1-t+ )ent-21- dsin(=0.5n =75o-1=tg 21- =1.9d = n2 1- 第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线：论和计算。其单位阶跃响应曲线：tc(t)01trtp%tsess性能指标有：性能指标有：性能指标求取如下性能指标求取如下三、二阶系统的性能指标三、二阶系统的性能指标1. 1. 上升时间上升时间t tr r2. 2. 峰值时间峰值时间tp t
26、p3. 3. 超调量超调量% 4. 4. 调节时间调节时间ts ts5. 5. 稳态误差稳态误差essess第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析=11. 1. 上升时间上升时间t tr r即即根据定义有根据定义有则则c(tr )=1-tr+ )entr-21- dsin(=0tr+ )entr-21- dsin(=0tr+ )dsin(tc(t)01trd tr+ =0,2得得:-1=tg 21- tr=d -21- -n =其中其中:d tr+ =第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析2. 2. 峰值时间峰值时间t tp p根据定义有根据定义有dc(tp)dt=0即
27、即c(t)=1-t+ )ent-21- dsin( -1tp+)entp-21- dsin(dc(tp)dt=- n =0+tp+ )entp-dcos(dtc(t)01tp -tp+ )entp-21- dsin(= n =0tp+ )dcos(- 21- tp+ )dsin(=0tp+ )dcos(- 21- tp+ )dsin(=tp+ )dcos(21- 则则=tg tp+ )dtg(d tp=0,2tp=d21- n =d tp=第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3. 3. 超调量超调量% 代入公式：代入公式：tp=d%=c(tp)-100%c( ) c( ) c(t
28、p )=1-tp+ )entp-21- dsin()=1-+21- sin(e-1-2)=-+21- sin(=1+e-1-2100%c(tp)-11%=e-1-2100%tc(t)01tp%另另则则第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析4. 4. 调节时间调节时间t ts s可用近似公式：可用近似公式：5%误差带误差带2%误差带误差带c(t)=1-t+ )ent-21- dsin(tc(t)01ts误差带误差带3.53.50.8snt=4.44.40.8snt =第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析5. 5. 稳态误差稳态误差e ess ss根据稳态误差的定义根据稳
29、态误差的定义t ess= lim e(t) 欠阻尼二阶系统的稳态误差欠阻尼二阶系统的稳态误差:tc(t)01c(t)=1-t+ )ent-21- dsin(r(t)=I(t)ess= 1-1=0t lim c(t)=1ess=0e(t)= r(t) -c(t)第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 以上为欠阻尼二阶系统在单位阶跃输入作以上为欠阻尼二阶系统在单位阶跃输入作用下性能指标的求取。过阻尼二阶系统其性能指用下性能指标的求取。过阻尼二阶系统其性能指标只有调节时间和稳态误差。标只有调节时间和稳态误差。c(t)=A1+A2es1t+A3es2tt ess= lim r(t) -c(
30、t)稳态误差的计算：稳态误差的计算： 调节时间是根调节时间是根据特征根中绝对值据特征根中绝对值小的来近似计算：小的来近似计算：设设|s1|0.707之后又有之后又有 ts。 综合考虑系统的平稳性和快速性，一综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取般取= 0.707为最佳。为最佳。3）准确性：）准确性：由由和和 n决定。决定。 的增加和的增加和n n的减小虽然对系统的平稳性的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态误差增斜坡信号的稳态误差增加。加。第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析四、二阶系统的单
31、位斜坡响应四、二阶系统的单位斜坡响应 当输入信号为单位斜坡信号时当输入信号为单位斜坡信号时 2222222222222222222221212221112111nnnnnnnnnnnnnnnnnYssssssssssssss = =+ + + + + + + + - - = =- -+ + + + + + + = =- -+ + + + +- - - - - - - + + + + +- - 221sin201ntdnny ttett-= = -+ -+ -稳态分量：稳态分量： 2ssnytt = -= - 瞬态分量：瞬态分量： sin2nttrddeytt-=+ =+ 第三节第三节 二阶系统
32、的时域分析二阶系统的时域分析 221sin21ntdnne tty tet- = -=-+ = -=-+ -误差响应误差响应：对误差响应求导，并令其为对误差响应求导，并令其为0 0，得到误差峰值时间：，得到误差峰值时间：dpt-=误差峰值：误差峰值： +=-pntdpete2112稳态误差：稳态误差： ntsstee2lim=第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析误差最大偏离量可以表示为：误差最大偏离量可以表示为： pntnsspmeetee-=-=1误差的调节时间误差的调节时间误差进入稳态值误差进入稳态值5%5%误差带误差带所需时间：所需时间：nset3=第三节第三节 二阶系统的
33、时域分析二阶系统的时域分析（2 2）临界阻尼单位斜坡响应）临界阻尼单位斜坡响应tnnnnettctte-+-=-=21122)()()0(21122)(+-=-tetttctnnnn%)5(1 . 4=nst第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析（3 3）过阻尼单位斜坡响应）过阻尼单位斜坡响应2222(1 )222(1 )221212( )212121(0)21nntnntnc tteet-+-+-=-+- 2ssne =稳态误差为：稳态误差为：第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 系统的平稳性和快速性对系统结构系统的平稳性和快速性对系统结构和参数的要求往往是矛盾的和
34、参数的要求往往是矛盾的, ,工程中通过工程中通过在系统中增加一些合适的附加装置来改在系统中增加一些合适的附加装置来改善二阶系统的性能。善二阶系统的性能。 常用附加装置有比例微分环节和微常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈环节，通过附加的装置改变系分负反馈环节，通过附加的装置改变系统的结构统的结构, ,从而达到改善系统性能的目的从而达到改善系统性能的目的. .五、改善二阶系统性能的措施五、改善二阶系统性能的措施第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析1 1比例微分控制比例微分控制 比例微分控制二比例微分控制二 阶系统结构图阶系统结构图开环传递函数开环传递函数:闭环传递函数闭环传递函数
35、:得得(s)=n s2+(2 +n2n)(s+1)s+22ns+=n s2+2 n2n)(s+12-R(sR(s) )s+1n n C(s)C(s)s(s+22 2 n n)n n =2 +2n 2 =2 +nG(s)=n)(s(s+2 )s+1n2对二阶系统性能的改善对二阶系统性能的改善 c(t)t01二阶系统二阶系统加比例微分加比例微分 第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 定性分析的结论：定性分析的结论：可引起阻尼比可引起阻尼比 增大增大, ,使超使超调量调量 % %下降下降; ;调节时间缩短调节时间缩短; ; 不影响稳态误差（开环不影响稳态误差（开环增益不变增益不变) )
36、和自然振荡频和自然振荡频率率 n n 。 2 2微分负微分负/ /测速反馈控制测速反馈控制第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析开环传递函数开环传递函数 加微分负反馈系统加微分负反馈系统:(s)=n s2+(2 +n2n)s+22nG(s)=n s2+2 +nss22ns+=n s2+2 n2n2n n =2 +2n 2 =2 +n闭环传递函数闭环传递函数对二阶系统性能的改善对二阶系统性能的改善 c(t)t01二阶系统二阶系统加微分负反馈加微分负反馈 加入测速反馈加入测速反馈后会减小系统开环增后会减小系统开环增益（增加稳态误差）；益（增加稳态误差）； 使使 增大，因增大，因而可降低
37、超调量而可降低超调量 % %；不改变不改变 n n。s-R(sR(s) )n n C(s)C(s)s(s+22 2 n n)-第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3 3、比例微分控制与微分反馈的比较、比例微分控制与微分反馈的比较1 1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同；统阻尼，但来源不同；2 2、对于噪声和元件的敏感程度不同；、对于噪声和元件的敏感程度不同；3 3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不、对开环增益和自然振荡角频率的影响不 同；同；4 4、对动态响应的影响不同。、对动态响应的影响不同。（1 1）增加阻尼的来源）
38、增加阻尼的来源 比例微分的阻尼来自误差信号的速度；比例微分的阻尼来自误差信号的速度； 输出微分反馈的阻尼来自输出响应的速度；输出微分反馈的阻尼来自输出响应的速度； 因此对于给定的开环增益和指令速度，输出微分的因此对于给定的开环增益和指令速度，输出微分的稳态误差更大；稳态误差更大； sR sYn2n2+ss1sTde-+第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析（2 2）对于噪声和元件的敏感程度）对于噪声和元件的敏感程度 比例微分控制对于噪声具有明显的放大作用，比例微分控制对于噪声具有明显的放大作用，输入噪声大，不宜使用；输入噪声大，不宜使用； 输出微分反馈对输入的噪声具有滤波作用，对输
39、出微分反馈对输入的噪声具有滤波作用，对噪声不敏感；噪声不敏感； 比例微分控制加在误差后，能量一般较小，需比例微分控制加在误差后，能量一般较小，需要放大器放大倍数较大，抗噪声能力弱；要放大器放大倍数较大，抗噪声能力弱； 输出微分反馈输入能量一般很高，对元件没有输出微分反馈输入能量一般很高，对元件没有特殊要求，适用范围更广；特殊要求，适用范围更广；第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析（3 3）开环增益和自然振荡角频率的影响）开环增益和自然振荡角频率的影响 比例微分控制对于开环增益和自然振荡角频率比例微分控制对于开环增益和自然振荡角频率都没有影响；都没有影响； 输出微分反馈影响自然振荡
40、角频率，但开环增输出微分反馈影响自然振荡角频率，但开环增益会明显减小益会明显减小本章最后一节；本章最后一节； 使用输出微分反馈要求开环增益较大，导致自使用输出微分反馈要求开环增益较大，导致自然振荡角频率随之增大，容易和高频噪声产生然振荡角频率随之增大，容易和高频噪声产生共振；共振；第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析（4 4）对动态性能的影响）对动态性能的影响 比例微分控制在闭环系统中引入了零点，加快了比例微分控制在闭环系统中引入了零点，加快了系统的响应速度系统的响应速度第第4 4章；章； 相同阻尼比的情况下，比例微分控制引起的超调相同阻尼比的情况下，比例微分控制引起的超调大于输
41、出微分反馈系统的超调。大于输出微分反馈系统的超调。第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析第四节第四节 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析一、三阶系统的单位阶跃响应 第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法 在控制工程中在控制工程中, ,几乎所有系统都是高阶系统几乎所有系统都是高阶系统, ,其动态一般比其动态一般比较复杂。但满足一定条件时较复杂。但满足一定条件时, ,可用一阶或二阶系统近似分析可用一阶或二阶系统近似分析, ,此此时采用了高阶系统时采用了高阶系统闭环主导极点闭环主导极点的概念的概念. .222( )(2)(1)nnnsssTs=+ 典型三阶系统是最简单的高
42、阶系统，是在典型二阶系统典型三阶系统是最简单的高阶系统，是在典型二阶系统基础上增加一个惯性环节构成，其传递函数为：基础上增加一个惯性环节构成，其传递函数为：可改写为：23223123( )(2)()()()()nnnssssssKssssss=+=+单位阶跃响应为：单位阶跃响应为：特点特点: : 增加极点将使超调量减小，增加极点将使超调量减小，调节时间增加。当增加的极点远调节时间增加。当增加的极点远离虚轴（离虚轴（ 1 1）时，其影响逐渐）时，其影响逐渐减小。减小。 如果增加的极点位于共轭复如果增加的极点位于共轭复数极点的右侧（即数极点的右侧（即 1 1），则系统），则系统响应趋于平缓，响应特
43、性类似于响应趋于平缓，响应特性类似于过阻尼情况的二阶系统。过阻尼情况的二阶系统。 第三章高阶系统的时域分析第三章高阶系统的时域分析设设 0 0 11引入：引入：二、高阶系统的单位阶跃响应二、高阶系统的单位阶跃响应 1 1高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应 一般高阶系统的方框图如右图所示一般高阶系统的方框图如右图所示 零极点形式为：零极点形式为： 传递函数为：传递函数为： 有理分式表示为有理分式表示为: :K K* *=b=b0 0/a/a0 0为闭环传递函数写为闭环零、极点时的系数为闭环传递函数写为闭环零、极点时的系数第三章高阶系统的时域分析第三章高阶系统的时域分析其阶跃响应为：其阶
44、跃响应为：teBCteBeAAthkktrkkkkkkkrkkktkqjtsjkkkkj)1sin(1)1cos()(2121210-+-+=-=-= 高阶系统的响应特征：高阶系统的响应特征： （1 1）若系统闭环稳定，上式的指数项和阻尼正弦项均趋）若系统闭环稳定，上式的指数项和阻尼正弦项均趋 向零，稳态输出为常数项；向零，稳态输出为常数项； （2 2）系统响应的类型取决于闭环极点的性质，响应曲线）系统响应的类型取决于闭环极点的性质，响应曲线 的形状与闭环零点有关（主要体现在影响留数的大的形状与闭环零点有关（主要体现在影响留数的大 小和符号）。小和符号）。 第三章高阶系统的时域分析第三章高阶系
45、统的时域分析第三章高阶系统的时域分析第三章高阶系统的时域分析三、闭环主导极点三、闭环主导极点 稳定的高阶系统，在所有的闭环极点中，距稳定的高阶系统，在所有的闭环极点中，距虚轴虚轴 最近的极点而且周围没有闭环零点，其它的最近的极点而且周围没有闭环零点，其它的闭环极点又远离虚轴，这个（对）极点所对应的闭环极点又远离虚轴，这个（对）极点所对应的响应分量，其衰减得最慢，在系统的响应中起主响应分量，其衰减得最慢，在系统的响应中起主导作用，所以这个（对）极点称为导作用，所以这个（对）极点称为闭环主导极闭环主导极点点。其它极点称为非主导极点。其它极点称为非主导极点。 第三章高阶系统的时域分析第三章高阶系统的
46、时域分析 若高阶系统能找到这样的若高阶系统能找到这样的闭环主导极点闭环主导极点，可以，可以 用用二二 阶系统阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的动的动态性能指标来估算高阶系统的动态态 性能。性能。 在实际运用中，在用二阶系统动态性能进行估在实际运用中，在用二阶系统动态性能进行估算时，还需要考虑其它非主导极点、闭环零点的影算时，还需要考虑其它非主导极点、闭环零点的影响。响。 分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本任务之一。施是自动控制理论的基本任务之一。二、系统稳定的充分必要条件二、系统稳定的充分必要条件三、稳定性判据三、稳定性判据第五
47、节第五节 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析一、稳定性的基本概念一、稳定性的基本概念第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法一、稳定性的基本概念一、稳定性的基本概念(a)(b)ABA图图(a)(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A A，当小球受到外力作用后偏离当小球受到外力作用后偏离A,A,例如到例如到B,B,当外力去除当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图 (b)(b)就是不稳定的。就是不稳
48、定的。第五节第五节 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析第五节第五节 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析稳定性的定义稳定性的定义 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。稳定的。 稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初
49、始条件及它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。外作用无关。二、系统稳定的充分必要条件二、系统稳定的充分必要条件稳定性：稳定性：传递函数的一般表达式：传递函数的一般表达式：(s)=b0sm+b1sm-1+bm-1s+bma0sn +a1sn-1+an-1s+anR(s)C(s)nmC(s)=1sK0(s z1)(s z2)(s zm)(s s1)(s s2)(s sn)系统输出拉系统输出拉 氏变换：氏变换： 系统受外作系统受外作用力后用力后,其动态过程的其动态过程的振荡倾向和系统恢复振荡倾向和系统恢复平衡的能力。平衡的能力。r(t)t0c(t)稳定稳定不稳定不稳定A0=ss-s1
50、+A1Ans-sn+系统单位阶跃响应：系统单位阶跃响应：c(t)=A0+A1es1t+Anesnt 稳定的系统其瞬态稳定的系统其瞬态 分量应均为零分量应均为零。 即：即： lim esit0t 系统稳定的充分与必要条件：系统稳定的充分与必要条件： 系统所有特征根的实部小于零系统所有特征根的实部小于零,即特征方程即特征方程的根位于的根位于S左半平面左半平面。第五节第五节 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析三、稳定性判据三、稳定性判据 根据稳定的充分与必要条件根据稳定的充分与必要条件, ,求得特征方程求得特征方程的根的根, ,就可判定系统的稳定性就可判定系统的稳定性. .但对于高阶系统求但对
