1、1第七节第七节 正定二次型正定二次型一正定二次型一正定二次型二正定二次型的判别法二正定二次型的判别法三正定矩阵在求多元函数极值中的应用三正定矩阵在求多元函数极值中的应用2我们知道一元二次函数我们知道一元二次函数f f( (x x)=)=x x2 2 在在x x=0=0处处达到最小值，达到最小值，这表明一元二次函数的极值问题这表明一元二次函数的极值问题与一元二次型与一元二次型f (x)=x2的性质密切相关。的性质密切相关。问题：问题：一般地，一般地，n元函数的极值问题是否元函数的极值问题是否也与也与n元二次型的性质有关系？与元二次型的性质有关系？与n元二次元二次型的什么性质有关？型的什么性质有关
2、？a0, 都都有有f aa2( )0, 这是因为对任意实数这是因为对任意实数3一正定二次型一正定二次型 定义定义: : 设设 f (X )=XT AX是是 n 元实二次型元实二次型,如果对任何一个如果对任何一个非零非零向量向量X ，恒有，恒有f (X ) 0,则称实二次型则称实二次型f (X )正定二次型正定二次型. 如果二次型如果二次型f (X )=XT AX 是正定二次型是正定二次型则矩阵则矩阵A称为称为正定矩阵正定矩阵42212312(,)2f xxxxx不是正定二次型不是正定二次型.(0,0,3)0,X (0,0,3)0f 00如如 ：f xxxxxx222123123(,)35.是正
3、定二次型是正定二次型.f xxxxxx222123123(,)2不是正定二次型不是正定二次型.5n元实二次型正定的充要条件为它的正元实二次型正定的充要条件为它的正惯性指数等于惯性指数等于nn元实二次型元实二次型 XT AX 正定正定它的规范形中它的规范形中n个系数均为个系数均为1它的标准形中它的标准形中n个系数均为正数。个系数均为正数。 定理定理1:1: 推论推论1:n元实正定二次型元实正定二次型 XT AX 的秩是的秩是n说明说明:2.2. 正定二次型的性质正定二次型的性质6任意实二次型经过可逆线性替换保持任意实二次型经过可逆线性替换保持正定性不变正定性不变设实二次型设实二次型 f (X )
4、=XT AX 是是正定的，正定的，作可逆线性替换作可逆线性替换X= CY (C 是可逆矩阵是可逆矩阵)，变成实二次型变成实二次型 定理定理2:2: 证证:g (Y )=YTCTACY . 对任意对任意0,Y 设设00XCY , 7 f (X )=XT AX是是正定的，正定的，000()Tf XX AX 0, 000()TTg YY C ACY 00()()TCYA CY 00TX AX 0, g (Y )=YTCTACY是是正定的正定的.与正定矩阵合同的实对称与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正矩阵也是正定矩阵定矩阵.推论推论3：8二正定二次型的判别法二正定二次型的判别法方法一方法一 用定义用定义
5、222121122(,)nnnf xxxd xd xd x 是是正定的正定的 di 0 , i =1,2,n为标准形为标准形由推论由推论1可知实二次型可知实二次型方法二方法二 用配方法或初等变换法化二次型用配方法或初等变换法化二次型9n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A 正定正定A的正惯性指数等于的正惯性指数等于nA的合规范形是单位矩阵的合规范形是单位矩阵E，即存在可逆，即存在可逆 定理定理3:由定义知，由定义知，f (X )=XT AX是是正定正定 A是是正定矩阵正定矩阵所以所以, 判别判别A的正定性可知二次型的正定性可知二次型f (X)的正定性的正定性方法三方法三 判定二次型的矩阵是否是正定矩阵判
6、定二次型的矩阵是否是正定矩阵A的合同标准形中的合同标准形中,主对角元素均为正数。主对角元素均为正数。矩阵矩阵P,使得使得 A=PTP .10对于对于n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，能找到正交矩阵，能找到正交矩阵T使得使得实对称实对称矩阵矩阵A正定正定 A 的所有特征值全的所有特征值全大于零大于零.推论推论1：(特征值法特征值法)TnnT ATdiag1212, 其其中中是是A的全部特征值。因此我们有的全部特征值。因此我们有 实对称实对称矩阵矩阵A正定正定0.A推论推论2证：证： 由由A的行列式等于其特征值乘积得证。的行列式等于其特征值乘积得证。11注：注：0A A正定正定.如：如： 10,01A
7、 101001A 有有，但以但以A 为矩阵的二次型为矩阵的二次型221212(,)f xxxx 不是正定二次型，所以不是正定二次型，所以A不是不是正定正定矩阵矩阵.12定义定义: :()ijAa 设设 是是 n 阶方阵，阶方阵，k 阶子式阶子式111212122212,1,2,kkkkkkkaaaaaaknaaa 称为矩阵称为矩阵A的的顺序主子式顺序主子式 为了从子式的角度研究矩阵正定的条为了从子式的角度研究矩阵正定的条件，我们引入下述概念：件，我们引入下述概念： n阶矩阵阶矩阵A的顺序主子式共有的顺序主子式共有n个个.说明说明: :13如：如：(P204-例例)123214340A ，1 1
8、 1，为矩阵为矩阵A的三个顺序主子式的三个顺序主子式212321 ，3123214340 =23，=23， 实对称阵实对称阵A为正定为正定 A的各阶顺序主子的各阶顺序主子定理定理: :式式都大于零都大于零. (顺序主子式法顺序主子式法)14例例1 判断下列二次型是否正定？判断下列二次型是否正定？222123123121323(,)255448f xxxxxxx xx xx x 解：解：方法一方法一 配方法配方法222123112132323(,)244558f xxxxx xx xxxx x 2211232322223232324()2()2()558xxxxxxxxxxx x22212323
9、232()334xxxxxx x 151123223332,3yxxxyxxyx 令令xyyyxyyxy 112322333132,3或或222123523,3fyyy f 是是正定二次型正定二次型.222221232233334442()3()3393xxxxx xxxx 222123233252()3()33xxxxxx16方法二：矩阵的特征值法方法二：矩阵的特征值法222254245A ，二次型二次型f 的矩阵为的矩阵为2222254(1) (10)245EA 121(),10二二重重， f 是是正定二次型正定二次型.A 的特征值都是正的，的特征值都是正的，17各阶顺序主子式为各阶顺序主
10、子式为20 1 1， 二次型二次型f 是是正定二次型正定二次型.二次型二次型f 的矩阵为的矩阵为方法三：顺序主子式法方法三：顺序主子式法222254245A ，2226025 ，3222254245 =100，=100，18例例2 判断矩阵判断矩阵(P205-例例6.7.3)120221013A ，是否正定？是否正定？解解: 2122022 ，A 不不是正定矩阵是正定矩阵例例3 试证：实数域上任一试证：实数域上任一n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵A ，都有都有ATA是正定矩阵是正定矩阵19证：证：方法一方法一(),TTTA AA A TA A是实对称阵，是实对称阵，, 任任意意可可逆逆，XOAAX()
11、()TTf XXA A X f 是是正定二次型，正定二次型，TA A是是正正定定矩矩阵阵., O() ()TAXAX20,AX20方法二方法二(),TTTA AA A TA A是实对称阵，是实对称阵，,TTA AA EA ,TA AE与与 合合同同 ATA是正定矩阵是正定矩阵且且A是可逆矩阵是可逆矩阵21例例4 t 满足什么条件时，下列二次型正定满足什么条件时，下列二次型正定222123123121323(,)222222f xxxxxxtx xtx xtx x解：解：222ttAtttt ，要使要使 f 正定，则正定，则A 的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为都
12、大于零都大于零.(P206-例例6.7.5)22220, 1 12322(22 )(2)0,2tttttttt 240,220tt 22,1tt 21t 时，时，f 是是正定二次型正定二次型.22240,2 ttt23三正定矩阵在求多元函数极值中的应用三正定矩阵在求多元函数极值中的应用设设n n元函数元函数12(,)nf xxx导数构成的导数构成的n阶对称矩阵为阶对称矩阵为(1) X*是是f(X)极小值点极小值点 H(X*)是正定矩阵是正定矩阵的的n2个二阶偏个二阶偏是是f(X)的驻点，则的驻点，则2*()()(),n nijf XH XXx x (2) X*是是f(X)极大值点极大值点-H(
13、X*)是正定矩阵是正定矩阵例例5 5设三元函数设三元函数222( , , )6514482f x y zxyzxyxzyz 求其极值。求其极值。24124801042028820fxyzxfyxzyfzxyz 222222222222fffxx yx zfffHy xyy zfffz xz yz 解：解： 先求驻点，即解如下方程组先求驻点，即解如下方程组其系数行列式不等于其系数行列式不等于0，有唯一解，得驻点，有唯一解，得驻点(0,0,0)T f 的二阶偏导数矩阵的二阶偏导数矩阵25124841028228H 123120,1040,23520 在驻点处为在驻点处为其各阶顺序主子式其各阶顺序主
14、子式 从而是正定矩阵，于是从而是正定矩阵，于是(0,0,0)T是是f(x,y,z)的极小的极小值点，值点，极小值是极小值是 f (0,0,0)=0。26 实二次型除了正定的以外，还有其他一些实二次型除了正定的以外，还有其他一些类型。类型。定义定义: : 设设 f (X )=XT AX是是 n 元实二次型元实二次型, 如果对如果对任何一个任何一个非零非零向量向量X ，恒有，恒有正定正定(负定，半负定负定，半负定)的，不定的。的，不定的。()0( ()0,()0)f Xf Xf X 则称实二次型则称实二次型f (X )是是半半正定正定(负定，半负定负定，半负定)的的.若若f (X )既不是半既不是
15、半正定的，也不是半负定的，则正定的，也不是半负定的，则称它是不定的。相应的实对称矩阵分别称为称它是不定的。相应的实对称矩阵分别称为半半27例例6 判别下列三元实二次型属于那种类型：判别下列三元实二次型属于那种类型：2222221211232222212312(1)(2)(3)(4)(5)yyyyyyyyyyy解：解：(4)负定负定 (5)半负定半负定(1)半正定半正定 (2)半正定半正定 (3)不定不定28第八节第八节 正交替换化二次型为标准形正交替换化二次型为标准形设设 f (X )=XT AX是是 n 元实二次型元实二次型, A为为实实对称矩阵，对称矩阵，11212(,),nnTATdia
16、g 12,nAn 的的为为 个特征值，个特征值， 由由T-1 =TT,12(,),TnT ATdiag 因此可求出正交替换将二次型因此可求出正交替换将二次型 f 化为标准形化为标准形则一定存在正交阵则一定存在正交阵T，使得使得29对任意一个对任意一个 n 元实二次型元实二次型f (X )=XT AX,都存在一个正交替换都存在一个正交替换 X =TY , 使得使得2221122()nnf Xyyy12n 其其中中， ， ，为为 A 的全部特征值的全部特征值, T 的的 n 个个列向量是列向量是A 的相应的的相应的 n个单位正交特征向量个单位正交特征向量.定理定理530例：用正交替换化二次型例：用
17、正交替换化二次型22121212(,)332f xxxxx x为标准形，并求出所用的正交替换为标准形，并求出所用的正交替换(P207-例例6.8.2)解：解：二次型二次型 f 的矩阵为的矩阵为 31,13A 31(2)(4),13EA 122,4,为为A 的两个特征值的两个特征值.3112, 12110,110 xx 基础解系基础解系 11,1 24, 12110,110 xx 基础解系基础解系 21,1 12, 显然显然 正交，只需将正交，只需将 单位化即可，单位化即可，12, 32112,12 121122(,),1122T 21212 ， 111 211 33正交替换为正交替换为xyyx
18、yy11221211221122 20,04TT AT 二次型的标准形为二次型的标准形为221224.fyy34典型习题典型习题112312323145(,)(,) 625938xf xxxxxxxx 222123112132233(,)1014288f xxxxx xx xxx xx 二次型的矩阵为二次型的矩阵为1575247481 写出如下二次型的矩阵写出如下二次型的矩阵解：方法一解：方法一 先写成和式再写矩阵先写成和式再写矩阵35()TTTTTfX BXX BXX B X1()22TTTTTBBfX BXX B XXX 方法二方法二 用公式用公式注意到注意到f是一个数，因此有是一个数，因
19、此有fT=f，即，即则则2TBBA 这里这里是对称矩阵，为是对称矩阵，为f 的矩阵。的矩阵。3622123112233(,)22f xxxxx xx xax 二次型的矩阵为二次型的矩阵为11001101a 2 已知如下二次型的秩是已知如下二次型的秩是2，求常数，求常数a的值。的值。解：解：( )2|101R AAaa 373 设设G、H为为n阶矩阵，则有结论（阶矩阵，则有结论（ ）（A）若）若G与与H等价，则等价，则G与与H合同合同B（B）若）若G与与H合同，则合同，则G与与H等价等价（C）若）若G与与H相似，则相似，则G与与H合同合同（D）若）若G与与H合同，则合同，则G与与H相似相似4 设
20、设A、B为为n阶正定矩阵，阶正定矩阵，p0,q0, 证明：证明：pA+qB 是正定矩阵是正定矩阵(特别地特别地,A+B是正定矩阵是正定矩阵)。证明：显然证明：显然pA+qB是对称矩阵是对称矩阵, 对任意对任意X0，有，有()0TTTXpAqB XpX AXqX BX 从而从而pA+qB 是正定矩阵。是正定矩阵。385 设设A是是mn矩阵，矩阵，E为为n阶单位阵，阶单位阵，k0,证明：证明： B=kE+ATA是正定矩阵。是正定矩阵。 22()0TTTTTTX BXXkEA A XkX XX A AXk XAX 证明：易知证明：易知B是是n阶对称阵，对任意阶对称阵，对任意X0，有，有因此因此B是正
21、定矩阵。是正定矩阵。6 设设A是是m阶正定矩阵阶正定矩阵, B是是mn矩阵矩阵,且且nm,证明证明BTAB 是正定矩阵的充要条件是是正定矩阵的充要条件是R(B)=n。证明：必要性证明：必要性 设设BTAB正定正定,则对任意则对任意X0,有有0,TTX B ABXBXO从而齐次线性方程组从而齐次线性方程组 BX=O 只有零解，则只有零解，则R(B)=n. 39充分性：设充分性：设R(B)=n, 则齐次线性方程组则齐次线性方程组BX=O只有零解，即对任意只有零解，即对任意X0,有有BX0, 由由A是正是正()()0,TTTBXA BXX B ABX 定矩阵，有定矩阵，有矩阵矩阵BTAB显然是对称矩
22、阵，从而是正定矩阵。显然是对称矩阵，从而是正定矩阵。7 设设A是是n阶正定矩阵阶正定矩阵,A- E也是正定矩阵也是正定矩阵,证明：证明：E-A-1是正定矩阵。是正定矩阵。证明：因为证明：因为1111()()()TTTEAEAEAEA 所以所以E-A-1是对称矩阵。是对称矩阵。 40设设A的特征值为的特征值为0(1,2, ),iin 特征值为特征值为由于由于A-E是正定矩阵是正定矩阵, 因此其特征值因此其特征值从而从而E-A-1的特征值的特征值所以所以E-A-1是正定矩阵。是正定矩阵。 1(1,2, ),iin E-A-1的特征值为的特征值为111(1,2, ),iiiin 10(1,2, ),iin 1110(1,2, ),iiiin 则则A-1的的
