1、一一 、基本概念及结论、基本概念及结论1.多元多元(二元二元)函数的定义：函数的定义：),(,),(yxfzRzyxf 二元函数的定义域是平面点集，通常用平面二元函数的定义域是平面点集，通常用平面区域区域D表示表示,記为記为D(f)。数的值域。合称为函的函数值，函数值的集点称为对应于，则设点),(),(),(000000yxyxfDyx同理可定义三元函数及n元函数第六章第六章 偏导数与全微分偏导数与全微分1xy 0221ln()1xzyxxy例：求函数的定义域220010yxxxy解：由2201yxxxy22( )( , )10D fx y xyyxx定义域为：且且对应关系的求法同一元函数32
2、1 22( , )23,( ,)f x yxxyyfx y例 ：设求32( , )23f x yxxyy解：32( , )23f u vuuvv12,uvxy令则321 21122( ,)( )2( ) ( )3( )fx yxxyy321412xxyy),(),(,),(. 322yxyxfyxfyxxyyxf 求设例xyxyyxxyyxfyyxyxfvvuvvuvuvvuvufvuvyvuxvxyuyx 1)1()(),(1)1(),(1)1()1()1()1()1(),(1122222222解：设解：设.),()()(0, 0, 0),(lim202000yxfyyxxAyxfyyxx时
3、，恒有当注：二元函数的极限要求点注：二元函数的极限要求点Q(x,y)以任何方式，以任何方式，任何方向，任何路径趋向于任何方向，任何路径趋向于 时，均时，均有有),(00yxPAyxf),(若能找到两条不同的路径使若能找到两条不同的路径使沿此两路径沿此两路径 时，时，f(x,y)具有不同的具有不同的),(),(00yxyx2.2.二元函数的极限二元函数的极限.),(lim00kxykxyyxfyyxx取不存在，一般极限，则3.3.二元函数连续性定义：二元函数连续性定义：;),(lim(2),(),() 1 (),(00 xx00存在的某邻域内有定义；在点满足条件如果函数yxfyxPyxfzyxf
4、zyy连续。在点，则称),(),(),(),(lim) 3(00000000yxpyxfzyxfyxfyyxx4.闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最大最小值定理、零值定理。大最小值定理、零值定理。5.5.二元函数偏导数定义二元函数偏导数定义记作的偏导数自变量处关于在点则称此极限值为函数存在极限时如果当的偏改变量处关于在点称为函数的改变量为函数时取得改变量在点当一元函数的导数,),(),(,),(),(limlim,0.),(),(),(),(,),(),(),(00000000000000000 xyxyxfzxyxfyxxfxzxxyxyxfyx
5、xfzyxfzxyxxyxfyxfzxxxxxyy ),(,),(),(,000000),(00yxzxyxfyxfxzxxyx 同样可定义关于同样可定义关于y的偏导数的偏导数:yyxfyyxfyzyxzyxfyzyyyyyyx ),(),(limlim),(),(0000000000),(00注：注：xfxffxxyxfyxfyxfxxxxx)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(),(),(lim),(00000000 yfyffyyyxfyxfyyxfyyxfyxfyyyyyy)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(),(),(lim),(),(lim),(00000000000
6、00 4221014)2 , 1(,)2 , 1(1)2 , 1()2 ,(lim,:_)1 , 2()21 , 2(lim_;1)2 , 1()2 ,(lim,. 4222efeyyeyxffxfxfyfyfxfxfezxxyxyxxxyxxy 而而知知根据偏导数定义根据偏导数定义解解则则设函数设函数例例2)1 ,2(008)2(2)1 , 2(22)1 , 2()21 , 2(lim2)1 , 2()21 , 2(lim2exyefyfyfyfyfxyyyy 二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数),(),(,),(,),(,),(222222yxfxyzyxfyxzfyzyxfxzyx
7、fyxyzxzyxfzyxxyyyxx 记为的二阶偏导数则称这些偏导数为然存在的偏导数仍对的一阶偏导数若.,22称为二阶混合偏导数其中xyzyxz 的二元函数仍然是的偏导数二元函数yxyzxzyxfz,),(12若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，则意味着可交换混则意味着可交换混 合偏导数的求导次序，合偏导数的求导次序，可将结果整理为最简形式。可将结果整理为最简形式。xyzyxz 22即6.6.二元函数的全微分二元函数的全微分: :若其可表的改变量为相应函数分别取得改变量点在的某邻域内有定义在点设函数),(),(),(,),(,),(),(0000000
8、0yxfyyxxfzyxfzyxyxyxyxyxfz yBxAyxdfdzyxyxfzyBxAyxyxfzyxyxyxBAyBxAzyx ),(.),(),(,),(),(,0, 0)(0,)()(,),(000),(00002200记作全微分处在点称为处可微在点则称函数高阶无穷小的时为无关与其中为 dyyzdxxzdzdyyzdxxzdzyxfyzByxfxzAyxyxfzyxyxyx 一般地于是可微时在点当,),(),(,),(),(),(),(0000.,0, 0,:的高阶无穷小的差是与时当的线性函数是的线性主部是函数改变量二元函数的全微分注 zdzyxyxzdz _,01. 0,02.
9、 0, 1, 2,. 532 dzyxyxyxz时时当当设设例例2 . 001. 0,02. 0, 1, 232,3,2:223223 dzyxyxyyxxxydyyzdxxzdzyxyzxyxz代入得将分析三元函数的全微分三元函数的全微分: :多元函数的全微分等于各自变量偏微分的和多元函数的全微分等于各自变量偏微分的和.zfdyyfdxxfzyxdf ),(_,. 6 dueuyxz则设例)1(,1:22dzdyyxdxyedzzudyyudxxuduezueyxyueyxuyxzyxzyxzyxz 分析连续，反之不然，偏导数存在，反之不然可微 极限存在偏导数存在、可微连续可微偏导数连续连续
10、偏导数存在 12347.7.连续、偏导数存在与可微之间的关系连续、偏导数存在与可微之间的关系.,可微没有必然关系连续与这点有无极限在某点的偏导数存在以上结论都不成立可微连续有极限函数则在该点偏导数存在在点函数例)( ;)( ;)( ;)()(),(,),(),(. 700DCBAyxfyxyxf)(,)(),(),(:DCBA应选都不正确显然分析)(),(),(),(),(. 8000000Cyxyxfyxfyxfyx连续的在点存在是函数偏导数例 充分必要条件既不充分又不必要条件必要条件充分条件)(;)(;)(;)(DCBA二、基本问题及解法二、基本问题及解法问题问题(一一): 一般函数一般函
11、数 偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算 二阶偏导数与全微分的一阶函数三元求二元、zyxfuyxfz),(),()(10 .,)1(导按一元函数的求导法求量将其余的自变量看作常求某个自变量的偏导数000000000000),(),(lim),(),(),(lim),(.)2(00yyyxfyxfyxfxxyxfyxfyxfxxyxxx 的偏导数要用定义求求分段函数在分段点处.;:,.)3(以直接微分也可再代公式微分可以先求导数求全各自变量偏微分之和多元函数的全微分等于dyyzdxxzdz )();().();(.,)4(222222yzxxyzxzyyxzyzyyzxzxxz 即一阶偏导函
12、数再求导对根据要求先求一阶偏导数求二阶偏导数xyexyz 2. 1 若例_)2, 1( yz则xyxexyyzyx 2:,:求导对看作常量将分析221)2, 1(41212eeyz zuyuxueuzxyyx ,. 22253求设例22222222222532253532253532225310)53()6()53()3()53(:zxxyxyzzxyxyzxyxyyzxyxyzxyxyxzxyxyzezxyxyezuexyxzxyxyeyueyyzxyxyexu 解解)5 , 0(),4 , 3(,),(. 322yxffyxyxyxf 求设例011)5 , 0(;52531)4 , 3(,
13、1),(1221),(:)(222222 yxyxffyxyyxfyxxyxxyxf先求偏导数再代值解.,:值化为求一元函数的导数代入也可先将其余变量的值求某个变量的偏导数值注的全微分在点求例)1, 2(. 432 yxzdydxdyyzdxxzdzyzxzyxyzxyxz12412, 4;3;2)1,2()1,2()1,2(233 解)2()2()2()1()(11)(2;)2()()(11)(2arctanarctan2arctan22arctanarctanarctan2222arctandyxydxyxedzexyxeyxyeyzeyxexyyxxexzxyxyxyxyxyxyxyxy
14、xy .)2( ;)1(,)(. 52arctan22yxzdzeyxzxy 求求设设例例解解： （1）)2()()2(arctan2xyeyxyxzyyxz xyxyxyxyxyxyxyeyxxyxyeyxxyxxyxxeyxexeyxearctan2222arctan222222arctanarctan2arctanarctan)21(1)2(1)(11)2( 搞清复合关系，哪是自变量、中间变量，通常画搞清复合关系，哪是自变量、中间变量，通常画变量关系图，再按变量关系图的路径求导。从应变量关系图，再按变量关系图的路径求导。从应变量到自变量有多少条路径，求导时就有多少项，变量到自变量有多少条
15、路径，求导时就有多少项，每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积。对自变量的偏导数之积。注：注：有些复杂的函数也可引进中间变量画出变有些复杂的函数也可引进中间变量画出变量关系图后再求导。量关系图后再求导。问题问题( (二二):):复合函数偏导数求法复合函数偏导数求法tzszstystxyezx ,2,sin. 12求设例解解:变量关系如图变量关系如图:zxyst)cos()sin(2cossin22cos2sin)()sin()2()sin(:22222stsstteysytesyetyestsyeystsyexsyyzsxxzs
16、zststxxxx 解)cos()sin(21cos2sin222ststseyesyetyyztxxztzstxx 代换和分别用本题中的的函数最后结果要化为求注22,.,:ststyxtstzsz dtdztytxtyxz求设例,cos,sin,. 2222 变量关系如图解:zxytttttttttttytxtzdtdyyzdtdxxzdtdz22sin22cossin2cossin22sin2cos2 变量回代xuzuxuzy ,. 3求设例vzxuyv 则令变量关系如图解,)(:fu xyzvxxyxyvxxdxdxuyxyxyyxxzvvuzuzzzyzyzvvzyzv1)(lnlnl
17、nln11 的偏导数求例yxyxz2422)3(. 4 :,243:22变量关系如图则令解vuzyxvyxu uxyvfz )23ln()3(4)3)(24(64ln622242212421yxyxyxyxxuuxvuxvvzxuuzxzyxyxvv 回代“抽象抽象”的复合函数偏导数的求法的复合函数偏导数的求法对抽象的二元复合函数求偏导数时，有的偏导数无法对抽象的二元复合函数求偏导数时，有的偏导数无法法具体求出只能保留法具体求出只能保留“抽象抽象”的形式。视情况可画变量的形式。视情况可画变量关系图，也可不画变量关系图。关系图，也可不画变量关系图。yzxzyxxyfz ,),(. 5求设例),(
18、,:vufzyxvxyu 则令解zuvxyvuvuvuvufyxfxyxfxfyvvzyuuzyzfyf yyfyfxvvzxuuzxz 22)(1121,:ffffvuvu 或就写成为了方便的求导对中间变量注另解：另解：11211)()(fyf yyxfxyfxzxx 22121)()(fyxfxyxfxyfyzyy yxzfxyxyxfz 2),(. 6具有二阶连续偏导数求具有二阶连续偏导数求设设例例21221),()(),(:fxyfxyxyxyfyfxyfxxyxyfxz 解1111),(222121211121212xfxfxyfxxfxfxyfxxfxffxyfxyxyxyfyyx
19、z 222112222221212112121211f yxfxyfxf yxf yfxf yfxyfxfxfx 注：也可引进中间变量，令注：也可引进中间变量，令变量关系如图则),(,vuxfzxyvxyu yxvuxz例例7 设设f(u)具有二阶连续偏导数，且具有二阶连续偏导数，且.),()(),(222222ygyxgxyxyfxyfyxg 求求解：先求一阶、二阶偏导数，再代入解：先求一阶、二阶偏导数，再代入)(1)()(2)()(),()(4232222yxfyxyfxyxyfxyyxfxxyfxyxxgyxfxyfxyxg )()()()(1)()()(13222222yxfyxyxf
20、yxyxfyxxyfxygyxfyxyxfxyfxyg )(2)()()()()(2222222222222xyfxyyxfyxxyfxyyxfyxyxfxyxyfxyygyxgx 也可引入中间变量注:由三元方程由三元方程F(x,y,z)=0所确定的所确定的z是是x,y的函数的函数z=f(x,y)称称二元隐函数。二元隐函数。(因变量不能单独出现在等号一边因变量不能单独出现在等号一边);一元隐函数称为的函数是确定由二元方程)(0),(xfyxyyxF ),(),(;),(),(0),(10zyxFzyxFyzzyxFzyxFxzzyxFzyzx 的偏导数公式二元隐函数问题问题( (三三) )：多
21、元隐函数偏导数的求法：多元隐函数偏导数的求法uzuyuxyxFFzuFFyuFFxuzyxfuuzyxFFFdxdyxfyyxF ,:),(, 0),()(0),(,20的偏导数公式为确定的函数四元隐函数为的求导公式确定的函数一元了隐函数类似zyzxzyxFFyzFFxzFFFzyxF ;)3(;,)2(),(,)1(:代公式求令不为零的一边为边将方程所有的项移到一隐函数求导步骤xyexzFFyzxyeyzxyeyzzFFxzxyeFxzFyzFxyzezyxFyxfzxyzezzyzzxzzyxzz ;,),(:),(. 1于是令解的偏导数确定的隐函数求由例yzxzyzzx ,ln. 2求已
22、知例;1)()(1,1,ln),(:2yyzzyyzyzFzFyzzxzyxFyx 令令解解zxzzxzzzzxzFFxzzzxzzxyzyzxFzxz )(1.1122222)(122zxyzzzxyFFyzzy yfxyxfxfyxfy 试求函数为可微确定由方程设例,)()()(. 322)()(2)()(22yfxxyfyfxfyxy )()(2;2)()()()(),(222yfxxyfFxyfxfyFxyxfxfyyxFyx 令xyyfxyfxfyxfyyx2)()()()(2,:2 求导两边对也可用公式法求导法对一元隐函数可用两边解两边求导法两边求导法:公式法：公式法：)()(2)
23、()(2)()(22)()(22yfxxyfyfxfyxyfxxyfxyfxfyy 问题问题( (四四): ): 求二元函数的极值求二元函数的极值(1)定义：定义：值点小为极大值，称小的极大是，则称或的邻域内恒有在点若)(),()(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(000000000000yxyxfyxfyxyxyxfyxfyxfyxfyxyxfz。驻点可微函数的极值点必是取得极值，则在点若可微函数极值存在的必要条件：)(0),(, 0),(),(),()2(000000 yxfyxfyxyxfyx(3)极值存在的充分条件：极值存在的充分条件：),(),(),(, 0
24、),(, 0),(),(),(000000000000yxfCyxfByxfAyxfyxfyxyxfzyyxyxxyx 令二阶偏导数，又连续且有连续的一阶、的某邻域内在点设函数时有极小处取得极值，且当在点则函数若0),(),(, 0) 1 (002AyxyxfzACB；的符号时看时有极大值值，)0(A0CA极值。能有极值，也可能没有在点可，则函数若无极值；在点则函数若),(0(3),(),(, 0)2(2002yxfACByxyxfzACB极值点就是最值点判定并求极值。唯一的对每个驻点求求驻点；由yyxyxxyxfCfBfAyxfyxf ,(2)0),(, 0),()1(步骤步骤条件极值及解法
25、条件极值及解法变量所满足的条件。称为约束条件，它是自标函数称为目，下的极值称为条件极值在附加条件求函数0),(),(0),(),(yxyxfyxyxfz求条件极值有两种方法：求条件极值有两种方法：(1)化为无条件极值化为无条件极值的无条件极值；化为一元函数代入中解出从)(,(),()(0),(xyxfyxfxyyyx(2)拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求极值步骤：求极值步骤：),(0),(00),(),(),(00yxyxFfFfFyxyxfyxFyyyxxx得驻点解构造拉格朗日函数123无须判定，直接根据实际问题下结论无须判定，直接根据实际问题下结论价格价格求利润最大的销售量与求利润最大的销售
26、量与的函数的函数又是销售量又是销售量而产品的总成本而产品的总成本分别是它们价格的函数分别是它们价格的函数和和设两种产品的销售量设两种产品的销售量例例73221),(,.22,232,. 12221212121221121 xxxxxxCxxCpxpxxx)22()2116(),(:)(2211221121xxxxpxpxxxR 总收入函数为总成本总收入总利润解：212211222116xxxx7322221673221222116),(),(),(21222211222121222211212121 xxxxxxxxxxxxxxxxCxxRxxL总利润函数：答时，时，点也是最大值点，当）为极大
27、值，故点（），又，得唯一驻点（193, 5 .13535, 02, 04, 4, 2, 235112802422),(02216),(2211221211221212121pxpxAACBCBAxxxxxxxxLxxxxLxx例例2.（条件极值）某厂生产甲、乙两种产品，其销售（条件极值）某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为单价分别为10万元和万元和9万元，生产万元，生产x件甲种产品和件甲种产品和y件件乙种产品的总成本为乙种产品的总成本为)33(01. 03240022yxyxyxC 又已知两种产品的总产量为又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大件，求企业获得最大利润时利润时,两种
28、产品的产量各是多少两种产品的产量各是多少?)100(3)100(301. 0)100(32400)(;900)100(910)(.100,100;910,)(:122xxxxxxxCxxxxRxyyxyxRRL 上式化为无条件极值代入即由依题意总收入为设总利润为化为无条件极值问题解3070,:.3070100,70, 01 . 0)70(),(70, 0)(,1 . 07)()(10015. 07)()()(2和两种产品的产量分别是企业获得最大利润时答此时为最大值点则又唯一驻点令万元从而 yxLxxLxxLxxxCxRxL)(1000605. 02万元 xx ),(),(),(:2yxCyxR
29、yxL总利润函数为拉格朗日乘数法解4006803. 001. 003. 0)33(01. 0324009102222 yxyxyxyxyxyxyx )3(0100)2(001. 006. 06)1(001. 006. 08:yxFxyFyxFyx 解方程组)100(4006801. 003. 003. 0),(22 yxyxxyyxyxF 令30,70)4(40)3(100)4(40:)2()1( yxyxyxyx解得由答答:企业获得最大利润时企业获得最大利润时,两种产品的产量分别为两种产品的产量分别为70件件和和30件件.222121211028321415xxxxxxR 例例3.某公司可通
30、过电台，报纸两种方式做销售某种商品某公司可通过电台，报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广（万元）与电台广告费告费 （万元）及报纸广告费用（万元）及报纸广告费用 (万元万元)之间有关系式：之间有关系式：1x2x(1)在广告费用不限的情况下在广告费用不限的情况下,求最优广告策略求最优广告策略;.,5 . 1)2(求最优广告策略万元若提供的广告费用为)(25. 1),(75. 0020831048131028311315)(1028321415),(2121122221212121222121212121万元万元万元万元由由 xxx
31、xLxxLxxxxxxxxxxxxxxCRxxLxx解解:（1）无条件极值）无条件极值利润函数利润函数.)25. 1 ,75. 0(),(, 016,20)25. 1 ,75. 0(, 8)25. 1 ,75. 0(, 4)25. 1 ,75. 0(212222111处取得极大值也是最值处取得极大值也是最值在在所以函数所以函数由于由于xxLACBLCLBLAxxxxxx (2)求条件极值求条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法注：因驻点唯一，且实际问题存在最大利润，故当注：因驻点唯一，且实际问题存在最大利润，故当电台广告费为电台广告费为0.75万元，报纸广告费为万元，报纸广告费为1.25万元时利
32、万元时利润最大此为最优广告策略润最大此为最优广告策略.以此代替检验。以此代替检验。构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数：)5 . 1(1028311315),(212221212121 xxxxxxxxxxF 05 . 10312080138421212211xxFxxxFxxxF 解得解得5 . 1, 021 xx因此将广告费因此将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利万元全部用于报纸广告，可使利润最大润最大.偏导数与全微分偏导数与全微分课后练习课后练习0, 0),( 0, 0),( , 0, 00, 00:_)ln(. 1 yxyxyxyxyxyxxyxyz域为所求定义或由分析的定义域是二
33、元函数),(_;)1,1(,),(. 3)1(_;), 0(,sin)ln(),(,. 2yxfxyfyxyxyxfefxyxyxf 则若则若)1(_;,cos. 5)1(_;,. 4)2,0(2sin2)2, 1(2 yxzyezexzeyxzxxy则若则若)(2ln2(_;,2. 6222222ydyxdxyxdzzyxyx 则若)(lnln)()ln();ln(:,. 7dyyxxdxxyyxdzxyxyxyzyxyyxxzdzyxzxyxyxyxy 解求设)(1)(),(:,),(),(. 8221xygyfyfxygxyxxyfxxzxzgfxygyxxyfz 解求均可微其中设gxyfyf y 2211yxfyxyxyxyxf 222,arctanarctan),(. 9求已知yxyxyxyyxyxxyxyyxyxyxyxxyxxf arctan2arctan21)(1)()(1arctan2:22322222222解2222222221211)(112yxyxyxxxxyxyxf 2222202,),(.102yfxyyxfxfyxdteyxfxyt 求设函数22222222222222)21(,22,:22222222322322yxyxyxyxyxyxeyfxyyxfxfyxeyxyxfyexyfexyxfxeyfyexf 解
