1、空间向量1、定义： 既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。基本概念aAB2、长度或模：向量的大小 记作：aAB3、零向量：长度为零的向量。 记作：04、单位向量： 长度为1的向量。5、相反向量： 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。 记作：a-6、相等向量：方向相同且模相等的向量。2、平面向量的加法、减法向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba b推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAA
2、A11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn3、平面向量的加法、减法)()(cbacbaabba加法交换律：加法结合律：平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则)()(cbacbaabba空间向量及其加减空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减空间向量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法结合律ababab+OAb
3、BCOCOACAABOAOB空间向量的加减法ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？思考：空间任意两个向量是否可能异面？平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其
4、加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法结合律abba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？abcOBCab+abcOBCbc+( (平面向量平面向量) )向量加法结合律在空间中仍成立吗向量加法结合律在空间中仍成立吗? ?ab+c+()ab+c+()AA( ( a + + b )+ )+ c = = a +( +( b + + c ) )abcOABCab+abcOABCbc+( (空间向量空间向量) )ab+c+()ab+c+()( ( a + + b )+ )+ c = = a +( +( b + + c )
5、)向量加法结合律：向量加法结合律：空间中空间中平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法结合律小结abba加法交换律)()(cbacba加法结合律类比思想 数形结合思想例例1:已知已知平行六面体平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱）底面是平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量化简结果的向量.(如图如图)ABCDA1B1C1D1ADAAABAAADABBCAB11)3()2(1 ）（AC1A
6、C1AC 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量例如例如: :a3a定义定义:空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算2a大小：大小：| | |aa 空间向量的数乘运算满足分配律及结空间向量的数乘运算满足分配律及结合律合律()() ()a babaaaaa 即： （）其中 、 是实数。例例2:已知已知空间四边形空间四边形ABCD，连结，连结AC， BD，E,F分别是分别是BC， CD的中点。化简下列向量的中点。化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量表达式，并标出化简结果的向量.(如图如图)FEDCBA)(21)3()(21)2(1ACAB
7、AFBCBDABCDBCAB）（acbOABPa若若P P为为A,BA,B中点中点, , 则则12 OPOAOB向量参数表示式向量参数表示式推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零且平行已知非零向量向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在直线在直线 上上的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式 其中向量其中向量 叫做直线叫做直线 的方向向量的方向向量. .laalOPOAta l若若 则则A、B、P三点共线。三点共线。OPOAtAB ()APtAB 或(1)OPxOAyOB xy 若，则A、B、P三点共线。3. 3
8、. 共面向量共面向量平行于同一平面的向量，叫做平行于同一平面的向量，叫做共面向量共面向量空间任意两个向量是共面的空间任意两个向量是共面的，但空间但空间任意三个向量就不一定共面。任意三个向量就不一定共面。探究 对空间任意两个不共线的向量 ，如果 ，那么向量 与向量 有什么位置关系？反过来，向量 与向量 有什么位置关系时， ？ba，byaxppba，pba，byaxp3. 3. 共面向量共面向量若向量若向量a a，b b不共线，则向量不共线，则向量p p与与a a，b b共面共面的充要条件是：存在惟一的有序实数对的充要条件是：存在惟一的有序实数对(x(x，y)y)，使，使p pxaxayb.yb.
9、AabBC p p,a b ,a b p pxayb ABCPabpO思考：思考：1.类似于利用类似于利用向量判断三点共线，向量判断三点共线，如何利用向量判断四如何利用向量判断四点共面？点共面？思考：思考：2.已知空间一点已知空间一点O和不共线的三点和不共线的三点A,B,C,满足满足向量关系式向量关系式的点的点P与点与点A,B,C是否共面？是否共面？) 1(zyxOCzOByOAxOP其中A AP PB BC CO1(2)(3)(1PABCAPxAByACOPOAxAByACOPxOAyOBzOC xyz 在平面内（四点共面的证明）（） 例例2 2 已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD
10、，从平面，从平面ACAC外一点外一点O O引向量引向量 ， ， ， ，求证：，求证：（1 1）E E、F F、G G、H H 四点共面；四点共面；（2 2）平面）平面AC/AC/平面平面EGEGOEkOA OFkOB OGkOCOHkODO OA AB BC CD DE EF FG GH H小结作业小结作业1.1.向量平行、共面与直线平行、共面是向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线向量通过平移可以移不同的概念，共线向量通过平移可以移到同一条直线上，共面向量通过平移可到同一条直线上，共面向量通过平移可以移到同一个平面上以移到同一个平面上. .2.2.空间向量共线定理与平面向量共线定空间向量共线定理与平面向量共线定理是一致的，空间向量共面定理是平面理是一致的，空间向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判断空间向量向量基本定理的拓展，是判断空间向量是否共面的理论依据是否共面的理论依据. .3.3.利用空间向量共线定理和共面定理，利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点、共线、共可以解决立体几何中的共点、共线、共面和平行等问题，这是一种向量方法面和平行等问题，这是一种向量方法. .
