1、函数的图象1.1.利用描点法作函数图象利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的定义域；其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质化简函数解析式；讨论函数的性质( (奇偶性、单调性、周奇偶性、单调性、周期性期性) )；其次：列表；其次：列表( (尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点值点、与坐标轴的交点) )；最后：描点，连线；最后：描点，连线. .2.2.函数图象间的变换函数图象间的变换(1)(1)平移变换：平移变换：f(x)kf(xh)f(xh)f(x)k(2)(2)对称
2、变换：对称变换：y=f(x) y= _y=f(x) y= _；y=f(x) y= _y=f(x) y= _；y=f(x) y= _y=f(x) y= _；y=ay=ax x(a0(a0且且a1) y= _.a1) y= _. 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 关于y=x对称-f(x)-f(x)f(-x)f(-x)-f(-x)-f(-x)logloga ax(a0 x(a0且且a1)a1)(3)(3)翻折变换：翻折变换：y=f(x) y= _.y=f(x) y= _.y=f(x) y= _.y=f(x) y= _. 保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去yy 保留 轴右边图象，并作其关于
3、 轴对称的图象|f(x)|f(x)|f(|x|)f(|x|)1.1.函数函数y=x|x|y=x|x|的图象大致是的图象大致是( )( )【解析解析】选选A.y=x|x|= A.y=x|x|= 故选故选A.A.22xx0 xx0， ，2.2.当当0 0a a1 1时，在同一坐标系中，函数时，在同一坐标系中，函数y=ay=a-x-x与与y=logy=loga ax x的图象的图象是是( )( )【解析解析】选选C.y=aC.y=a-x-x=( )=( )x x, ,由由0 0a a1 1知，知， 1 1，故选，故选C.C. 1a1a3.3.函数函数y=f(x)y=f(x)为偶函数，则函数为偶函数，
4、则函数y=f(x+1)y=f(x+1)的的一条对称轴是一条对称轴是_._.【解析解析】y=f(x)y=f(x)的对称轴为的对称轴为x=0 x=0，又又y=f(x) y=f(x+1)y=f(x) y=f(x+1)，y=f(x+1)y=f(x+1)的一条对称轴为的一条对称轴为x=-1.x=-1.答案：答案：x=-1x=-1左移一个单位4.4.若关于若关于x x的方程的方程|x|=a-x|x|=a-x只有一个解，则实数只有一个解，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】在同一个坐标系中画出函数在同一个坐标系中画出函数y=|x|y=|x|与与y=a-xy=a-x的图象，如图所示：的图象
5、，如图所示：由图象知，当由图象知，当a a0 0时，方程时，方程|x|=a-x|x|=a-x只有一个解只有一个解. .答案：答案：(0(0，+)+)考向考向 1 1 作函数的图象作函数的图象【典例典例1 1】作出下列函数的图象：作出下列函数的图象：(1)y=|log(1)y=|log2 2(x+1)|. (2)y=( )(x+1)|. (2)y=( )|x|x|. .(3)y= . (4)y=x(3)y= . (4)y=x2 2-2|x|-1.-2|x|-1.【思路点拨思路点拨】对于对于(1)(1)，(2)(2)可通过图象变换画出函数的图象可通过图象变换画出函数的图象. .对于对于(3)(3)
6、可先化简解析式，分离常数，再用图象变换画图可先化简解析式，分离常数，再用图象变换画图. .对于对于(4)(4)可先去掉绝对值号化成分段函数，再分段画出函数的图象可先去掉绝对值号化成分段函数，再分段画出函数的图象. .2x1x112【规范解答规范解答】(1)(1)将函数将函数y=logy=log2 2x x的图象向左平移一个单位，再的图象向左平移一个单位，再将将x x轴下方的部分沿轴下方的部分沿x x轴翻折上去，即可得到函数轴翻折上去，即可得到函数y=|logy=|log2 2(x+1)|(x+1)|的图象，如图的图象，如图. .(2)(2)作出函数作出函数y=( )y=( )x x的图象，保留
7、的图象，保留y=( )y=( )x x图象中图象中x0 x0的部分，的部分，加上加上y=( )y=( )x x的图象中的图象中x x0 0部分关于部分关于y y轴的对称部分，即得轴的对称部分，即得y=( )y=( )|x|x|的图象，如图实线部分的图象，如图实线部分. .12121212(3)y=2+ ,(3)y=2+ ,故函数图象可由故函数图象可由y= y= 图象向右平移图象向右平移1 1个单位，个单位，再向上平移再向上平移2 2个单位得到，如图个单位得到，如图. .1x11x(4) (4) 且函数为偶函数，先用描点法作出且函数为偶函数，先用描点法作出0 0，+)+)上的图象，再根据对称性作
8、出上的图象，再根据对称性作出(-(-，0)0)上的图象，上的图象，得图象如图得图象如图. .22x2x1,x0yx2x1,x 0,，【拓展提升拓展提升】作函数图象的三个方法作函数图象的三个方法(1)(1)直接法：当函数表达式直接法：当函数表达式( (或变形后的表达式或变形后的表达式) )是熟悉的函数是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部或解析几何中熟悉的曲线的局部( (如圆、椭圆、双曲线、抛物如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分线的一部分) )时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出性或曲线的特征直接作出. .(2)(2)图象变
9、换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. .(3)(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法. .为了为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数通过描少量点，就能得
10、到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论的单调性、奇偶性等性质讨论. .【提醒提醒】当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状画出图象的大致形状. .【变式训练变式训练】分别画出下列函数的图象：分别画出下列函数的图象：(1)y=|lgx|. (2)y=2(1)y=|lgx|. (2)y=2x+2x+2. .(3)y= . (4)y=|log(3)y= . (4)y=|log2 2x-1|.x-1|.【
11、解析解析】(1)y=|lgx|=(1)y=|lgx|=函数函数y=|lgx|y=|lgx|的图象，如图的图象，如图(1).(1).x2x3lgx,x1,lgx,0 x1.(2)(2)将函数将函数y=2y=2x x的图象向左平移的图象向左平移2 2个单位即可得到函数个单位即可得到函数y=2y=2x+2x+2的的图象，如图图象，如图(2).(2).(3) (3) 可见原函数图象可由可见原函数图象可由 图象向左图象向左平移平移3 3个单位个单位, ,再向上平移再向上平移1 1个单位得到，如图个单位得到，如图(3).(3).x21y1,x3x3 1yx (4)(4)先作出先作出y=logy=log2
12、2x x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留留x x轴上方的部分，将轴上方的部分，将x x轴下方的图象翻折到轴下方的图象翻折到x x轴上方，即得轴上方，即得y=|logy=|log2 2x-1|x-1|的图象，如图的图象，如图(4).(4).考向考向 2 2 识图与辨图识图与辨图【典例典例2 2 (2013(2013嘉兴模拟嘉兴模拟) )函数函数f(x)=xln|x|f(x)=xln|x|的图象大致是的图象大致是( )( )选选A.f(-x)=-xln|-x|=-xln |x|=-f(x),f(x)A.f(-x)=-xln|-x|=-xln |x|=-
13、f(x),f(x)是奇函是奇函数，其图象关于点数，其图象关于点(0,0)(0,0)对称，故可排除对称，故可排除C C，D.D.又当又当x x趋向于趋向于+时，时，f(x)f(x)也趋向于也趋向于+，故可排除，故可排除B.B.故选故选A.A.【拓展提升拓展提升】知式选图的方法知式选图的方法(1)(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置判断图象上下的位置. .(2)(2)从函数的单调性从函数的单调性( (有时可借助导数判断有时可借助导数判断) )，判断图象的变化，判断图象的变化趋势趋势. .(3)(3)从函数的奇偶
14、性，判断图象的对称性从函数的奇偶性，判断图象的对称性. .利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项. .【提醒提醒】注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口代特殊值，或从某些量上寻找突破口. .考向考向 3 3 函数图象的应用函数图象的应用【典例典例3 3】已知函数已知函数f(x)=x|m-x|(xR)f(x)=x|m-x|(xR)，且，且f(4)=0.f(4)=0.(1)(1)求实数求实数m m的值的值. .(2)(2)作出函数作出函数f(x)f(x)的图象并判断其零点
15、个数的图象并判断其零点个数. .(3)(3)根据图象指出根据图象指出f(x)f(x)的单调递减区间的单调递减区间. .(4)(4)根据图象写出不等式根据图象写出不等式f(x)0f(x)0的解集的解集. .(5)(5)求集合求集合M=m|M=m|使方程使方程f(x)=mf(x)=m有三个不相等的实根有三个不相等的实根.【思路点拨思路点拨】求解本题先由求解本题先由f(4)=0,f(4)=0,求得函数解析式，再根据求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解解(2)(3)(4)(5)(2)(3)(4)(5)四个小
16、题四个小题. .【规范解答规范解答】(1)f(4)=0(1)f(4)=0，4|m-4|=04|m-4|=0，即，即m=4.m=4.(2)f(x)=x|m-x|(2)f(x)=x|m-x|=x|4-x|=x|4-x|= =x x4 ,x4,x x4 ,x4.函数函数f(x)f(x)的图象如图：的图象如图：由图象知由图象知f(x)f(x)有两个零点有两个零点. .(3)(3)从图象上观察可知：从图象上观察可知：f(x)f(x)的单调递减的单调递减区间为区间为2 2，4 4. .(4)(4)从图象上观察可知：从图象上观察可知：不等式不等式f(x)0f(x)0的解集为的解集为x|0 x4x|0 x4.
17、x4.(5)(5)由图象可知若由图象可知若y=f(x)y=f(x)与与y=my=m的图象有三个不同的交点，则的图象有三个不同的交点，则0m4,0m4,集合集合M=m|0m4.M=m|0m4.【拓展提升拓展提升】1.1.利用函数的图象研究函数的性质利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质( (单调单调性、奇偶性、周期性、最值性、奇偶性、周期性、最值( (值域值域) )、零点、零点) )常借助于图象研究，常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系但一定要注意性质与图象特征的对应关系. .2.2.利用函数
18、的图象研究方程根的个数利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程方程f(x)=0f(x)=0的根就是函数的根就是函数f(x)f(x)图象与图象与x x轴的交点的横坐标，方轴的交点的横坐标，方程程f(x)=g(x)f(x)=g(x)的根就是函数的根就是函数f(x)f(x)与与g(x)g(x)图象的交点的横坐标图象的交点的横坐标. .3.3.利用函数的图象研究不等式利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等
19、式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解合求解. .1.1.函数函数y=ay=ax x-a(a-a(a0 0，且，且a1)a1)的图象可能是的图象可能是( )( )C C2.2.已知函数已知函数f(x)=f(x)=则对任意则对任意x x1 1，x x2 2RR，若，若0 0|x|x1 1| |x|x2 2|,|,下列不等式成立下列不等式成立的是的是( )( )(A)f(x(A)f(x1 1)+f(x)+f(x2 2) )0 (B)f(x0 (B)f(x1 1)+f(x)+f(x2 2) )0 0(C)f(x(C)f(x1
20、 1)-f(x)-f(x2 2) )0 (D)f(x0 (D)f(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0 022x2x1x0,x2x1x 0， ，【解析解析】选选D.D.函数函数f(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示, ,且且f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)，从而函数从而函数f(x)f(x)是偶函数，且在是偶函数，且在0 0，+)+)上是增函数上是增函数. .又又0 0|x|x1 1| |x|x2 2| |，f(xf(x2 2) )f(xf(x1 1) )，即，即f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0.0.3.3.已知函数已知函数 的图象与函数的图象与函数y=k
21、xy=kx的图象恰有两的图象恰有两个交点，则实数个交点，则实数k k的取值范围是的取值范围是_ _ _._.【解析解析】函数函数 可表示为可表示为y=y=2x1yx1x1x 1x1x11x 1 ， 或 ，2x1yx1图象为如图所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数图象图象为如图所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数图象有两个交点，则有两个交点，则k(0k(0，1)(11)(1，2).2).答案：答案：(0(0，1)(11)(1，2)2)5.5.函数函数y=f(|x|)y=f(|x|)的图象如图所示，则函数的图象如图所示，则函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象不可能是不可能是( )( )【解析解析】选选B.y=f(|x|)=B.y=f(|x|)=即在即在y y轴右侧轴右侧y=f(|x|)y=f(|x|)与与y=f(x)y=f(x)的图象相同的图象相同. . f x ,x0,fx ,x 0,
