1、汽车振动学汽车振动学2009年年8月月第五章第五章 随机振动概述随机振动概述（2学时）学时）一、随机过程 1、总体平均与平稳随机过程 2、时间平均与各态历经随机过程二、随机过程的统计特性 1、时域（幅值域）特征平均值、均方差和方差 2、相关域特征相关函数 3、频率域特征功率谱密度 4、几种典型的随机过程 5、随机过程的概率描述三、线性系统对随机激励的响应 1、激励与响应的统计特性之间的关系 2、单自由度线性系统对于随机激励的响应 3、随机过程的联合性质 4、多自由度系统对随机激励的响应第五章 随机振动概述一 、 随机过程1、总体平均与平稳随机过程2、时间平均与各态历经随机过程确定性激励（det
2、erministic excitation）：谐波激励、周期激励、非周期激励不确定性激励（nondeterministic excitation）或随机激励(random excitation) 不再企求描述激励随时间的变化规律，而是退而求其次，即只要求掌握激励的某些“统计性规律”，同时也不去追求获得响应的时间历程，而是满足于对响应的“统计性规律”的掌握与运用。 变化规律是不确定的，即无法用一种确定的时间与空间坐标的函数关系来完整描述其数值。 可以推论，在确定一个系统对随机激励的响应时，不可能期望对响应的了解比对激励的描述更加详尽。由此可见，确定一个系统对随机激励的响应时，目标是建立系统的随机
3、响应统计特性与激励的统计特性之间的关系。随机振动：由随机激励激起的机械或结构系统的振动。( )(1,2, )kx tkn( )( )kX tx t( )( )ikiX tx t样本函数：重复的试验记录随机过程：所有样本函数的集合随机变量：在任意时刻各个样本函数的取值 发现线性系统受到的激励与其响应的统计特性之间的联系，正是“统计动力学”的重大突破，也是分析系统在随机激励下的响应与行为的基础。 这里所谓的“统计性规律”是指激励或响应的某些“平均数”，如均值、自相关函数等。它是随机激励与响应的数学模型它是随机过程在某时刻的状态一、随机过程11( )( )lim( )nxikikinktE x tx
4、 tn11( ,)( )()lim( )()nxiikikikikinkR t tE x t x tx t x tn1、总体平均与平稳随机过程（1）总体平均是在各样本函数之间进行的，即是各样本函数在某时刻的取值的平均值。总体均值（一阶平均）自相关函数（二阶平均） 随机过程的某一个样本函数 只是一次偶然的实现，它并不足以代表这一过程的特性和本质。为了揭示其特性和本质，必须从所有的样本函数的总体出发，计算其某些平均量。( )kx t总体均值一般是时刻 的函数。it 一般而言，总体自相关函数依赖所选定的起始时刻 与时移 它反映了 和 时刻两个随机变量 之间的统计联系。itit12( ) ,()kik
5、iXx tXx tit（2）平稳随机过程 如果随机过程的一、二阶平均值均与时刻无关，则称为（弱）平稳随机过程。平稳随机过程的均值是常数，记为 ，而自相关函数仅是时间 的函数，记为 。 x( )xR 一随机过程的总体均值和自相关函数一般与时刻有关，这表明此过程的统计特性是随时间变化的，这种过程称为“非平稳的”。2、时间平均与各态历经随机过程（1）时间平均是就某一样本函数 在时间上的取值的平均值。( )kx t时间均值时间自相关函数01( )( )lim( )TxkkTkx tx t dtT01( , )( )()lim( )()TxkkkkTR kx t x tx t x tdtT 时间均值与时
6、间自相关函数一般会随样本函数而异，即是样本编号k的函数。由于某一个样本函数并不足以反映一个随机过程的全貌，故基于某一个样本函数的时间平均一般也不能代表整个随机过程的统计特性。但是在所谓的“各态历经”假设下，却可以用一个样本函数来有效地代表整个随机过程的特性。（2）各态历经随机过程满足此条件的过程则称为各态历经随机过程。( )( )( ,)( , )xixxiixtkR t tR k 客观上存在某些随机过程，其样本在空间上分布的统计特性与其中任一样本在时间上发展的统计特性之间，有着深刻的相似之处。对于这类过程来说，可以认为其总体平均与时间平均相等，即 也就是说，过程各态历经，必须有：总体平均与时
7、间无关（过程是平稳的），且时间平均与k无关（各样本时间平均相同）。由此可见，各态历经过程一定是平稳的，反之则不然，即平稳过程未必是各态历经的。 随机过程的各态历经性具有十分重要的工程实际意义。它可以用少量的样本函数估计整个随机过程的统计特性。研究一个样本函数的统计特性就可以掌握其全部样本的统计特性，而避免采集大量样本和计算总体平均的麻烦，从而使得对随机过程的记录、分析工作大为简化。二、 随机过程的统计特性1、时域（幅值域）特性平均值、方差和均方值2、相关域特性相关函数3、频率域特性功率谱密度4、几种典型的随机过程5、随机过程的概率描述1、时域（幅值域）特性平均值、方差和均方值（1）均值（一次矩
8、）对于连续随机过程对于离散随机过程01lim( )TxTx t dtT11limNxiNixN（2）方差（二次中心矩）和标准差对于连续随机过程对于离散随机过程2201lim( ( )TxxTx tdtT2211lim()NxixNixN方差的平方根值标准差。它说明了随机过程信号的平均位置，反映了信号的静态分量。 它描述了信号在均值附近的波动的程度，反映了信号的动态部分。2201lim( )2( )TxxTx tx tdtT2201lim( ( )TxxTx tdtT均方根值：均方值的平方根值，又称有效值。220011lim( )2lim( )TTxxTTx t dtx t dtTT（3）均方值
9、和均方根值（二次矩和有效值）对于连续随机过程对于离散随机过程2201lim( )TxTx t dtT2211limNxiNixN（4）均值、方差和均方值的关系222xxx22xx它反映了随机信号的动态和静态的总的平均能量水平，即信号的强度。2、相关域特性相关函数 自相关函数表征随机过程在一个时刻和另一个时刻采样值之间的相互依赖程度，即表征信号随机变化的程度。01( )lim( ) ()TxTRx t x tdtT（2）在 时取最大值，且等于均方值，即02(0)xxR22222( )xxxxxxR（4）当 时， 2( )xxR自相关函数的性质：（1）是以时间差 为变量的实值偶函数，即( )()x
10、xRR（3）自相关函数与均值、方差和均方值的关系（5）周期函数的自相关函数仍为同周期的周期函数。3、频率域特性功率谱密度 随机过程的功率谱密度函数（power spectral density function）为其自相关函数的傅立叶变换，即( )( )ixxSRed其逆变换为1( )( )2ixxRSed当 时，则021(0)( )2xxxRSd 可见，功率谱密度函数表示随机过程的均方值（总能量）在频率域内的分布情况，表示能量在各圆频率上的分布密度。双边功率谱 由于实际工程上，频率非负，所以只在非负频率内定义功率谱，称为单功率谱。( )2( )xxGS4、几种典型的随机过程（1）单一频率成分
11、的随机过程样本函数自相关函数功率谱密度函数各样本函数是频率 相同而初相 （随机变量）不同的谐波。00( )sin()f tAt2220002( )limsin()sin()cos2TfTTAARttdtT200( )2fAS 样本函数自相关函数功率谱密度函数样本函数自相关函数功率谱密度函数（2）窄带随机过程（3）宽带随机过程样本函数自相关函数功率谱密度函数0( )( )fRS （4）白噪声 由上可知，从单一频率过程到窄带过程，再到宽带过程，是沿着信号的不确定性上升、前后相关性下降、以及频率分布范围变宽的趋势发展的。当这一趋势推向极端时，就得到一种理想化的随机过程白噪声。其样本函数具有最大的随机
12、性、不确定性，前后信号之间的相关性为零。0( )fSS 这表明信号中均等地包含各种频率成分，就像含有各种波长的白光一样，故称白噪声1111111101111110111( )(, )lim, , lim(, )nobkxxPxx txxp x txP xx tP x txdP x tdt5、随机过程的概率描述（1）总体概率：是对随机过程的各个样本的总体定义的。11111( , )( )limxnobkNNP x tPx txN设在全部 个样本函数中，在 时刻的取值 小于 的如有 个，则概率分布函数定义为 1xNN1t1x1( ) (1,2,)kx tkN其中，概率密度函数为（2）时间概率：是对
13、随机过程的某一样本的时间定义的。1111( , )( , )xP x tpt d211121( )( , )xrobkxPxx txpt d即概率密度函数是概率分布函数的导函数，反之有而 落在 与 之间的概率为1( )kx t1x2x 设某随机过程的一个样本函数 ，如图所示，其时间概率分布函数定义为( )kx t1,1()( )limiikk nobkTtPxPxtxT式中 是样本函数 满足 条件的诸时间段的累加长度。it( )kx t1( )kxtx111111101111101( )( )lim( )limnobkxxPxx txxp xxP xxP xdP xxdt （） （ ）11()
14、( )xP xp x dx其概率密度函数如果过程是各态历经的，则总体概率函数与时间概率函数相同，即1111( , )limlim()ixikNTtNP x tP xNT则对任意样本计算出的概率分布函数都相等。（3）随机过程时域统计特性与概率密度函数的关系2222( )()( )( )xxxxxp x dxxp x dxx p x dx（4）三种随机过程的概率函数宽带随机过程窄带随机过程正弦随机过程 三、 线性系统对随机激励的响应 1、激励与响应的统计特性之间的关系 2、单自由度系统对于随机激励的响应 3、多自由度系统对随机激励的响应 4、随机响应的模态分析法*1、激励与响应的统计特性之间的关系
15、 假定已知系统的动态特性（脉冲响应函数或频率响应函数）与激励随机过程的统计参数（主要是激励的均值 、自相关函数 与功率谱密度函数 ），求响应过程的统计参数（主要是振动响应的均值 、自相关函数 与功率谱密度函数 ），而不是具体计算系统对于各个激励样本的响应 。xfRxRffSxS( )f t( )x t 如图所示，对于随机输入和输出，线性系统的输入输出关系同样适用。也就是说，仍然可以利用脉冲响应函数或频率响应函数来描述系统的特性。 但是，由于通常用统计性规律来描述随机过程，所以为了求解线性系统在稳态的随机激励下的响应特性，首先要建立线性系统的随机响应统计特性与输入的统计特性以及系统的传递特性三者
16、之间的关系。我们知道，线性系统在任意激励下的响应可以通过杜哈梅积分给出：0( )( ) ()tx tfh td( )( ) ()() ( )x tfh tdf thd即 因为激励为平稳的随机过程，所以响应也是平稳的随机过程，其统计特性计算如下：( ( )() ( )xE x tEf thd（1）响应的均值( )fhd( () ( )E f thd0( )i tfhed0( )fH(0)xfH( )( ) ()xRtx t xE112221()( )()()fdhdEthtf （2）响应的自相关函数12111122() ( )()hE f tf tddh 112221( )( )()xfRhRh
17、dd111222() ()f thdEf thd221211( )fihRhdedd1122112122( )( )iiiiifRhdeeeeedhd 2112()122(1)12( )ifiihehdRdede （3）响应的自功率谱密度函数( )( )ixxSRed()( )( )fHSH()( )( )iifHeSHe2( )( )( )xfSHS2211(0)( )( )( )22xxxfRSdHSd（4）响应的均方值当激励为白噪声时220( )2xSHd积分式 求解如下表2( )nIHd( )( ) ()fxRE f t x t() ()f thdEf t()()f thdE f t
18、（5）激励与响应的互相关函数( )() ( )fxfRRhd2( )nnIHd均方值积分公式（6）激励与响应的互功率谱密度函数( )( )ifxfxSRed() ( )fiRhded()()()ifiRheedd ()( )()iifddRehe ( )( )( )fxfSHS2( )( )( )( )fxfxfxSSS222( )( )( )( )1( )( )( )( )( )fxffxfxffSHSSSSHS（7）激励与响应的谱相干函数对于线性系统 即线性系统的谱相干函数为1，但实际测量得到的谱相干函数小于1，主要是由于非线性因素和测试信号中的噪声引起的。 如果路面不平度的激励谱密度函数为 ，求车身振动响应的谱密度和均方值 0( )2qSSV2、单自由度系统对于随机激励的响应2mxcxkxcqkq2( )()( )()X s mscskQ s csk2( )()( )()X scskQ smscsk例题例题5-1 （教材例题（教材例题8.4 ）2( )kjcHkmjc10222210()( )()()BjBjckHmjckAjA jA2202( )( )( )2xqSjckSHSVmjck2220()2xSkcmkVmkc22002222xSSjckdIVmjckV22222012022012()()( )A BA BkcmkIHdA A Amkc
