1、三、三、利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 四、四、利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分三重积分 第十章第十章 的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzPxoyMzyxM,),( ,0 ,20 . z规定：规定：xyzo),(zyxM),( P 3. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 .,sin,coszzyx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为为常数为常数 为常数为常数z为常数为常数 圆柱面
2、；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),( P zxyzo dvzyxf),(.),sin,cos( dzddzf drxyzodzdr rd柱坐标系中的体积元素：柱坐标系中的体积元素：,dzdddv d d注注1 1：2.适用范围：适用范围：积分域积分域表面用柱面坐标表面用柱面坐标表示时表示时方程简单方程简单 ; 或或被积函数被积函数用柱面用柱面坐标表示时坐标表示时变量互相分离变量互相分离.1.积分顺序：先对积分顺序：先对 ,再对再对 ，最后对，最后对 z 其中为由例例7. 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围所围及平面2ax
3、yzozvdddd cos202d dcos342032 a 20d azz0dzzddd2 原式原式298a 柱面柱面解解: 在柱面坐标系下:cos2020az 0cos2成半圆柱体成半圆柱体.解解由由 zzyx sincos, zz34222 ,3, 1 z知交线为知交线为 23242030 zdzddI.413 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy .20, 3043:22 ，z练习：练习： 计算三重积分计算三重积分,1ddd22yxzyxzyx4221 z所围成所围成 .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面45ln54 答案：答案：的球面坐标的球面坐标就叫做点就
4、叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(4. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分Pxyzo),(zyxMr zyxA,r 0.20 ,0 规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为为为常常数数r为为常
5、常数数 为为常常数数 圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球坐标系中的体积元素球坐标系中的体积元素: :,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr注注2:2:2.适用范围：适用范围：积分域积
6、分域表面用球面坐标表面用球面坐标表示时表示时方程简单方程简单; 或或被积函数被积函数用球面用球面坐标表示时坐标表示时变量互相分离变量互相分离.1.积分顺序：先对积分顺序：先对 ,再对再对 ，最后对，最后对 r 例例9. 计算三重积分计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx所围立体所围立体.其中 与球面与球面dddsind2rrv zyxzyxddd)(222Rrr04d)22(515R40dsin20d解解: 在球面坐标系下:40Rr 020 xyzo4Rr 解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: a
7、r dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr 222:220)(zyxDazdxdyyxdzI zadddz02200 .105a dzza040|412 练习：练习：.,222222所所限限定定的的球球域域是是由由球球面面其其中中求求zzyxdxdydzzyxI .10 答案：答案：11例例 dzdyd
8、xzyxI2)(计算22yxz 是由抛物面2222 zyx和球面.所围成的空间闭区域2)(zyx )(xzyzxyzyx 2222解,对称关于坐标面0 yxyz0 dvyzxy)(所以,对称关于坐标面0 x0 dvxz所以xyz dzdydxzyxI2)(所以 dzdydxzyx222:用柱面坐标22yxz 抛物面2rz 2rz 2222 zyx球面222 zrD 2rz 222 zr:的边界方程得投影区域消去Dz1 rD 20 10 r 积分区域222rzr 222 zr)(8929660 dzdydxzyx222ID 20 10 r 222rzr 222222010rrzdzrrdrd)(
9、 106422232322322rdrrrrrr 思考：思考：能否使用球坐标代换？能否使用球坐标代换？343a 12例例推导球体积公式设球方程为解2222azyx ar0020 则 vdv ardrdd02020 sin33122a 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成 ;zddrdzrzyx ),(),( :的的换换算算公公式式不不同同坐坐标标系系中中体体积积元元素素zdydxdvd ddrdrzyx),(),( 直角坐标系柱面坐标系球面坐标系0 r行行列列式式柱
10、柱坐坐标标系系下下的的Jacobi),(),(zrzyx zrzrzrzzzyyyxxx 10000 cossinsincosrr 行行列列式式球球坐坐标标系系下下的的Jacobi02 sinr),(),( rzyx zzzyyyxxxrrr xyz vd:球坐标系下的体积元素 vd:柱坐标系下的体积元素xyz d drdrzd drrdrsd素平面极坐标下的面积元 dr drsinddrvdzddrdr ddrdr sin2vdsinrrdzdydxdzyxf),( zddrdrzrrf ),sin,cos(, zddrdrvd :在柱面坐标系下:在球面坐标系下,sin drddrvd2 d
11、drdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2zdydxdzyxf),(!, 熟记熟记式式以上为三重积分换元公以上为三重积分换元公提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所六个平面围成 ,:zoxy22. 设由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标用球坐标 rr d420dsin4020d2215643. 计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性4zxoy1zDzyxyxyxdddsin5222zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21210
