1、直线系方程直线系方程1具有某种共同性质的所有直线的集合叫做直线系。直线系方程的定义它的方程叫直线系方程。共同性质如： 平行于已知直线的直线系方程； 垂直于已知直线的直线系方程； 过定点的直线系方程2直线系方程的种类直线系方程的种类: :yox直线系方程直线系方程 01直线系方程为直线系方程为平行的平行的：、与直线、与直线 CByAxl)( 0111为待定系数为待定系数，其中其中CCCCByAx 3直线系方程的种类直线系方程的种类: :yxo直线系方程直线系方程 02直线系方程为直线系方程为垂直的垂直的：、与直线、与直线 CByAxl)( 022为待定系数为待定系数其中其中CCAyBx 4直线系
2、方程的种类直线系方程的种类: :yxo直线系方程直线系方程的直线系方程为的直线系方程为、过定点、过定点),(300yxP)(00 xxkyy 此方程不包括直线0 xx5 求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。1.已知直线 ，:(1)(2)(1)0lm xm ym解:(21)(1)0 xymxy 整理该方程得：法一该方程表示过12:210:10lxylxy 和交点的直线。解方程组，得交点：(3, 2)故无论m取何值，直线恒过定点(3, 2)【典型例题典型例题】6 求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。1.已知直线 ，:(1)(2)(1)0lm xm ym解:从
3、特殊到一般法二 先由其中的两条特殊直线，求出交点再证明其余直线均过此交点分析:分别令 代入方程，得1,2mm32xy 又因为： 恒成立3(1)( 2)(2)(1)0mmm 故无论m取何值，直线恒过定点(3, 2)【典型例题典型例题】7过定点的直线系方程 如何表示经过两条相交直线交点的直线系方程？ 相交，则过该交点的已知直线 和直线22111111:0 (0)lAxB yCAB22222222:0 (0)lA xB yCAB 直线系方程：111222()()0A xB yCA xB yC 此方程不包括直线2l111222()()0m A xB yCn A xB yC 此方程包括所有过两直线交点的
4、直线。8 求当m在实数范围内变化时,原点到直线l的距离的最大值。2.已知直线 ，:(1)(2)(1)0lm xm ym解:由图可知，当 时，原点到直线l的距离最大。lOP由第1题，知直线过定点(3, 2)原点到直线的最大距离13d 【典型例题典型例题】3.已知直线 ，:(1)(2)(1)0lm xm ym总有两个公共点总有两个公共点与圆：与圆：求证求证25)3()2(22 yxl9个个个或个或个个、个个个或个或、个个、个个、数数则直线与圆公共点的个则直线与圆公共点的个直线：直线：已知圆：已知圆：2102121012, 1)1()1(22DCBAkykxyx 10垂直和直线；过点的方程：的直线的
5、交点且满足下列条件、求过两直线例0543)2()1 , 2()1(02, 0422 yxPlyxyx 0)2(42 yxyx 把（把（2 2，1 1）代入方程，得：）代入方程，得：4 所以直线的方程为所以直线的方程为：解（解（1 1）：设经二直线交点的直线方程为：）：设经二直线交点的直线方程为：0)212(422 直线系方程直线系方程042 yx11垂直和直线；过点的方程：的直线的交点且满足下列条件、求过两直线例0543)2()1 , 2()1(02, 0422 yxPlyxyx 直线系方程直线系方程0)24()2()1( yx解得：解得：21 k由已知：由已知：14321 11 故所求得方程
6、是：故所求得方程是：解（解（2 2）：将（）：将（1 1）中所设的方程变为：）中所设的方程变为：0634 yx12练练 习习 1 1一一. . 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：_: 和原点的直线方程是的交点和过两直线092032.1 yxyx_: 的直线是且垂直于直线的交点和过两直线0423,024301032.2 yxyxyx_:- 的直线是且平行于直线的交点和过两直线0734,012082.3 yxyxyx_: 直线方程是且垂直于第一条直线的的交点和过两直线,02332.4 yxxyy=xy=x2x+3y-2=02x+3y-2=04x-3y-
7、6=04x-3y-6=0 x+2y-11=0 x+2y-11=0直线系方程直线系方程13曲线是两条直线表示的证明：方程 01259310322 yxyxyx直线系方程直线系方程请看下面的例子：求出它们。方程，再用待定系数法线的也可以先设出这两条直的方程相乘所得，我们直线二元二次方程是由两条反过来，如果已知一个相乘后就得，如：，构成一个二元二次方程两条直线方程相乘可以02, 0:, 012:2221 yxyxyxyxlyxl 14?05723322表示两条直线为何值时，方程、问例 kyxyxyxk解（待定系数法）：将方程化作：解（待定系数法）：将方程化作：0)57()(3( kyxyxyx设：设
8、：0)(3( nyxmyx则则0)()3()(3( mnnmynmxyxyx所以：所以： kmnnmnm573解得：解得： 632mnknm即：即：k= -6 k= -6 时方程表示两条直线。时方程表示两条直线。直线系方程直线系方程15圆系方程16坐坐标标、两两点点，求求、交交于于、已已知知圆圆引引例例BABAyxyxCxyxC0324: , 032: 1222221 题题例例 圆系方程圆系方程所所在在直直线线方方程程、两两点点，求求、交交于于、已已知知圆圆引引例例BABAyxyxCxyxC0324: , 032: 2222221 17的方程的交点，且过原点的圆、求过圆 0324:, 032:
9、1222221 yxyxCxyxC题题例例 上的圆的方程上的圆的方程直线直线的交点，且圆心在的交点，且圆心在、求过圆、求过圆变式变式 02 , 121 yxCC圆系方程圆系方程 ) 2 , 1 ( 0: 22交交点点的的圆圆系系方方程程过过两两圆圆 iFyExDyxCiiii)( 1 ( 0)( 22222211122CFyExDyxFyExDyx缺缺陷陷：不不包包含含圆圆 18的方程的方程的交点，且过原点的圆的交点，且过原点的圆、求过圆、求过圆 0324: , 032: 1222221 yxyxCxyxC题题例例 的的方方程程的的交交点点且且面面积积最最小小的的圆圆圆圆与与、求求过过直直线线
10、变变式式 0142 042 222 yxyxyx圆系方程圆系方程0: 0: 22 FEyDxyxCCByAxl圆圆直直线线系系方方程程过过直直线线与与圆圆的的交交点点的的圆圆0)( 22 CByAxFEyDxyx 19圆系方程圆系方程的集合，称为圆系。的集合，称为圆系。具有某种共同性质的圆具有某种共同性质的圆圆系的定义：圆系的定义： ),( )()( 1222是是参参数数是是常常数数，、同同心心圆圆系系rbarbyax ) 2 , 1 ( 0: 222交交点点的的圆圆系系方方程程、过过两两圆圆 iFyExDyxCiiii常常见见的的圆圆系系方方程程：) 1 ( 0)( 2222211122 F
11、yExDyxFyExDyx20圆系方程圆系方程 课课新新常常见见的的圆圆系系方方程程：0: 0: 322 FEyDxyxCCByAxl圆圆直直线线圆圆系系方方程程、过过直直线线与与圆圆的的交交点点的的0)( 22 CByAxFEyDxyx 21 题题例例直线直线（圆圆）与与圆圆的位置关系的位置关系相相切切的的直直线线方方程程与与圆圆，求求经经过过点点、已已知知例例 1)1()2( :M )1 , 3( 222 yxPP切切值值、求求两两切切线线的的夹夹角角的的正正变变式式1）所所在在直直线线的的方方程程（直直线线，求求切切点点弦弦、若若两两切切点点为为变变式式ABBA222的方程的交点，且过原
12、点的圆、求过圆 0324:, 032:1222221 yxyxCxyxC题题例例 圆系方程圆系方程且面积最小的圆的方程的交点，、求过圆变式 21,2CC23有有公公共共点点内内含含、圆圆圆圆相相外外切切与与圆圆圆圆为为何何值值时时，当当，和和圆圆、已已知知圆圆)3( )2( )1( 0322:0542: 2212122222221CCCCmmmyxyxCmymxyxC 24 题题例例直线直线（圆圆）与与圆圆的位置关系的位置关系点点坐坐标标面面积积最最小小，求求的的，若若四四边边形形、切切点点为为作作两两切切线线向向圆圆上上的的一一点点，从从是是直直线线，的的圆圆心心为为、设设圆圆 12 012
13、64 422PABPCCBAPxyPAyxyx 25 题题例例直线直线（圆圆）与与圆圆的位置关系的位置关系个个的的点点有有等等于于的的距距离离直直线线上上到到、圆圆 1 01143 9)3()3( 522 yxyx26为定值为定值求证：求证：，轴交于点轴交于点与与设圆设圆外切，外切，轴上移动，且恒与圆轴上移动，且恒与圆的圆心在的圆心在，圆，圆点点和和、已知圆、已知圆 , )0 ,32( 4)4(: 622MANNMyDCyDAyxC 27题题例例 的方程，求圆点上，且过在直线，圆心的半径为、已知圆 CyxC)1 , 2(02172 圆系方程圆系方程28题题例例 圆系方程圆系方程的方程圆，试求一
14、个截距为轴上的，在距分别为轴上的两个截在、已知圆 CccybaxC)0(,3 29题题例例 圆系方程圆系方程三线共点求证：直线，交于点与圆圆，交于点与圆圆，交于点与圆、若圆 13EFCDABFECCDCCCBACC,4322130题题例例 的圆的方程轴上截得的弦长为在，且变式、求过点 2)4 , 3(),2 , 1(xBA的的圆圆的的方方程程，、求求过过点点 )4 , 2()3 , 3()2,1( 5CBA圆系方程圆系方程31证明：证明：,00),22211100的交点与是设 CyBxACyBxAyx (00),(202021010100 CyBxACyBxAyx 与代入方程：把直线系方程直线
15、系方程),(0)()( ),( 0:0:2221110022221111是是待待定定系系数数的的直直线线系系方方程程为为，则则过过两两直直线线交交点点相相交交，交交点点为为与与直直线线若若直直线线nmCyBxAnCyBxAmPyxPCyBxAlCyBxAl 0)()(2020210101 CyBxAnCyBxAm),(0)()(00222111yxCyBxAnCyBxAm过点直线 32 的位置关系是的任一条直线直线系中中任一条直线与、直线系0320462 nyxmyx0 0 yxyx与与二二相相交交直直线线垂直垂直练练 习习 2 2直线系方程直线系方程 表示的图形是、方程0122 yx33方程应有两非负根方程应有两非负根, ,故设故设所以所以 036)(:2 myxyx将方程化作将方程化作 030300)0(01236tmfm对对称称轴轴, 0 yxt036:2 mtt得得解解: :直线系方程直线系方程30 m取值范围。图形是两条直线，求的表示的、方程 0363 myxyx34
