1、第1节 直线方程第七章 直线与圆的方程1.倾斜角、斜率、截距倾斜角、斜率、截距直线向上的方向与直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，叫做这条轴正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是倾斜角的取值范围是0，(2)若直线的倾斜角为若直线的倾斜角为(90)，则，则ktan，叫做这条直，叫做这条直线的斜率线的斜率.经过两点经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的直线的斜率的斜率(3)直线的横截距是直线与直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截轴交点的横坐标，直线的纵截距是直线与距是直线与 y 轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标.1212
2、xxyyk2.直线方程的五种形式直线方程的五种形式.(1)点斜式：设直线点斜式：设直线l过定点过定点P(x0，y0)，斜率为，斜率为k，则直线，则直线l 的方程为的方程为y-y0k(x-x0)(2)斜截式：设直线斜截式：设直线 l 斜率为斜率为k，在，在y 轴截距为轴截距为b，则直线，则直线l 的方程为的方程为ykx+b(3)两点式：设直线两点式：设直线 l 过两点过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) x1x2，y1y2则直线则直线 l 的方程为的方程为(y-y1)/(y2-y1)(x-x1)/(x2-x1)(4)截距式：设直线截距式：设直线 l 在在x、y轴截距分别为轴截距分别为a、
3、b(ab0)则直则直线线l的方程为的方程为x/a+y/b1.(5)一般式：直线一般式：直线l的一般式方程为的一般式方程为Ax+By+C0(A2+B2 20)1.设设R，则直线，则直线xsin-3y+10的倾斜角的取值范围为的倾斜角的取值范围为_2.直线直线 l 经过点经过点M(2，1)，其倾斜角是直线，其倾斜角是直线x-3y+40的倾的倾斜角的斜角的2倍，直线倍，直线 l 的方程是的方程是_课课 前前 热热 身身0，30150，180). 3x-4y-20.3.3.经过点经过点(2(2，1)1)，且方向向量为，且方向向量为v=(-2,2)v=(-2,2)的直线的直线l l的方程的方程是是_._
4、.x+y-3=0 x+y-3=05A、B是是x轴上两点，点轴上两点，点P的横坐标为的横坐标为2，且，且|PA|=|PB|,若若直线直线PA的方程为的方程为x-y+1=0，则直线，则直线PB的方程为的方程为( )(A)2x-y-1=0 (B)x+y-5=0 (C)2x+y-7=0 (D)2y-x-4=0B4.4.过点过点(-1(-1，1)1)在在x x轴与轴与y y轴上截距的绝对值相等的直线轴上截距的绝对值相等的直线有有_._.2 2条条6 6曲线曲线y=2x-x3y=2x-x3在点在点(-1(-1，-1)-1)处的切线方程是处的切线方程是( )( ) A Ax+y+2=0 Bx+y+2=0 B
5、x+y+3=0 x+y+3=0 C Cx+y+4=0 Dx+y+4=0 Dx+y+5=0 x+y+5=0A1.1.过点过点P(2P(2，1)1)作直线作直线l l交交x x、y y轴的正半轴于轴的正半轴于A A、B B两点，两点，当当PAPAPBPB取到最小值时，求取到最小值时，求 直线直线l l的方程的方程. .【解题回顾解题回顾】本题还可以求本题还可以求OAOA+ +OBOB与三角形与三角形AOBAOB面积的最值；求直线方程的基面积的最值；求直线方程的基 本方法包括利用条本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量；在研
6、究最值量；在研究最值 问题时，可以从几何图形开始，找到问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度去考虑，构建目标取最值时的情形，也可以从代数角度去考虑，构建目标 函数，进而转化为研究函数的最值问题函数，进而转化为研究函数的最值问题. . 2直线直线l 被两条直线被两条直线l1：4x+y+3=0和和l2：3x-5y-5=0截得的截得的线段中点为线段中点为P(-1，2)，求直线，求直线l 的方程的方程.【解题回顾解题回顾】除以上解法外，设点斜式为除以上解法外，设点斜式为y-2=k(x+1)，再，再由中点概念求由中点概念求k也是可行的也是可行的.【解题回顾解题回顾】数形结合强调
7、较数形结合强调较多的是将代数问题几何化，多的是将代数问题几何化，而解析法则是通过坐标系将几而解析法则是通过坐标系将几何问题代数化何问题代数化.3.如图，设如图，设ABC为正三角形，边为正三角形，边BC、AC上各有一点上各有一点D、E，而且，而且|BD|= |BC|，|CE|= |CA|，AD、BE交于交于P. 求求证：证：APCP. 3131【解题回顾解题回顾】研究直线研究直线l的斜的斜率率a与直线与直线AC、BC的斜率的的斜率的大小关系时，要注意观察图大小关系时，要注意观察图形形.请读者研究，如果将本题请读者研究，如果将本题条件改为条件改为A(-1，4)，B(3，1)，结论又将如何，结论又将
8、如何?4.已知直线已知直线l:y=ax+2和和A(1，4)，B(3，1)两点，当直线两点，当直线l与与线段线段AB相交时，求实数相交时，求实数a的取值范围的取值范围.5.5.已知过原点已知过原点O O的一条直线与函数的一条直线与函数y=logy=log8 8x x的图象交于的图象交于A A、B B两点，分别过两点，分别过A A、B B作作y y轴的平行线轴的平行线 与函数与函数y=log2xy=log2x的图的图象交于象交于C C、D D两点两点. . 证明：点证明：点C C、D D和原点和原点O O在同一直线上在同一直线上. . 【解题分析解题分析】只须证明只须证明OCOC与与ODOD两条直
9、线的斜率相等两条直线的斜率相等. .第2节 两条直线的位置关系1两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直 两条直线有斜率且不重合，则两条直线有斜率且不重合，则l1l2k1=k2 两条直线都有斜率，两条直线都有斜率，l1l2k1k2=-1 若直线若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则则l1l2 A1A2+B1B2=0 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便此公式用起来更方便.2.两条直线两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1依逆时针方向旋转到与依逆
10、时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做重合时所转的角，叫做l1到到l2的角，的角，l1到到l2的角的范围是的角的范围是(0，)l1与与l2所成的角是指不大所成的角是指不大于直角的角，简称夹角于直角的角，简称夹角.到角的公式是到角的公式是 ，夹，夹角公式是角公式是 ，以上公式适用于两直线斜率都，以上公式适用于两直线斜率都存在，且存在，且k1k2-1，若不存在，由数形结合法处理，若不存在，由数形结合法处理.2112-1tankkk-k 2112-1tankkk-k 3.若若l1：A1x+B1y+C1=0(A1、B1不同时为零不同时为零)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为不同时为
11、0)则则当当A1/A2B1/B2时，时，l1与与l2相交，相交，当当A1/A2=B1/B2C1/C2时，时，l1l2；当当A1/A2=B1/B2=C1/C2时，时，l1与与l2重合，以上结论是针对重合，以上结论是针对l2的的系数不为零时适用系数不为零时适用.5.两条平行线两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离的距离为：为：2221BACCd4.点到直线的距离公式为：点到直线的距离公式为：2200BACByAxd2.若直线若直线l1：mx+2y+6=0和直线和直线l2:x+(m-1)y+m2-1=0平行但不平行但不重合，则重合，则m的值是的值是_.1.已知点已知点
12、P(1，2)，直线，直线l:2x+y-1=0，则过点，则过点P且与直线且与直线l平行平行的直线方程为的直线方程为_，过点，过点P且与直线且与直线l垂直的直线方垂直的直线方程为程为_；过点；过点P且直线且直线l夹角为夹角为45的直线方程为的直线方程为_；点；点P到直线到直线L的距离为的距离为_，直线，直线L与直线与直线4x+2y-3=0的距离为的距离为_课课 前前 热热 身身zx+y-4=0 x-2y+3=03x+y-5=0或或x+3y-7=0553105-13若直线若直线l1：y=kx+k+2与与l2：y=-2x+4的交点在第一象限，的交点在第一象限，则则k的取值范围是的取值范围是_.-2/3
13、k24.使三条直线使三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x-3my=4不能围成三角形不能围成三角形的实数的实数m的值最多有的值最多有_个个.45.5.点点(1(1，1)1)关于点关于点(2(2，3)3)的对称点为的对称点为 ，点，点(1(1，1)1)关于关于直线直线x-y+1=0 x-y+1=0的对称点为的对称点为 ，直线，直线2x+y=02x+y=0关于直线关于直线x-x-y+1=0y+1=0对称的直线方程是对称的直线方程是 5.5.点点(1(1，1)1)关于点关于点(2(2，3)3)的对称点为的对称点为(3(3，5)5)，点，点(1(1，1)1)关于关于直线直线x-y+1=0 x-y+1
14、=0的对称点为的对称点为(0(0，2)2) ， 直线直线2x+y=02x+y=0关于直线关于直线x-x-y+1=0y+1=0对称的直线方程是对称的直线方程是x+2y-1=0.x+2y-1=0. 1.已知二直线已知二直线l1：mx+8y+n=0和和l2：2x+my-1=0.试确定试确定m、n的值，使的值，使l1与与l2相交于点相交于点P(m,-1)；l1l2；l1l2，且，且l1在在y轴上的截距为轴上的截距为-1.【解题回顾解题回顾】若直线若直线l1、l2的方程分别为的方程分别为A1x+B1y+C1=0和和A2x+B2y+C2=0，则，则l1l2的必要条件是的必要条件是A1B2-A2B1=0，而
15、，而l1l2的充要条件是的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论，常依解题中为避免讨论，常依据上面结论去操作据上面结论去操作.2.已知已知ABC的顶点的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在直线边上的中线所在直线方程为方程为6x+10y-59=0，B的平分线所在直线的方程为：的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0，求，求BC边所在的直线的方程边所在的直线的方程.【解题回顾解题回顾】本题在处理角平分线时，是利用直线本题在处理角平分线时，是利用直线BC到到BT的角等于的角等于BT到到AB的角的角(由图观察得到由图观察得到)进而利用到角公进而利用到角公式求得直线式求得直线BC的斜率
16、，但同时也应注意，由于直线的斜率，但同时也应注意，由于直线BT是是B的角平分线，故直线的角平分线，故直线BA与与BC关于直线关于直线BT对称，进而对称，进而可得到可得到A点关于直线点关于直线BT的对称点的对称点A在直线在直线BC上，其坐上，其坐标标 可由方程组可由方程组 解得解得 即为即为(1，7)，直线，直线BC的方程即为直线的方程即为直线BA的方程的方程.yx，01021423-14131yxxy，1 x7 y3.直线直线l过点过点(1，0)，且被两平行直线，且被两平行直线3x+y-6=0和和3x+y+3=0所截得的线段长为所截得的线段长为9，求直线，求直线l的方程的方程.【解题回顾解题回
17、顾】(1)解法一给出了这类问解法一给出了这类问题的通法，即设出直线的方程题的通法，即设出直线的方程( (通过通过设适当的未知数设适当的未知数)进而利用条件列出相进而利用条件列出相关的方程，求出未知数；关的方程，求出未知数；(2)本题解法二巧妙地利用两平行直本题解法二巧妙地利用两平行直线之间的距离和直线线之间的距离和直线l被两平行直线所截得的线段长之间的被两平行直线所截得的线段长之间的关系，求得直线关系，求得直线l与两平行直线的夹角，进而求得直线的斜与两平行直线的夹角，进而求得直线的斜率；率；(3)与已知直线夹角为与已知直线夹角为(为锐角为锐角)的直线斜率应有两个，若的直线斜率应有两个，若只求出
18、一个，应补上倾斜角为只求出一个，应补上倾斜角为2的直线的直线. 4.已知点已知点P是直线是直线l上的一点，将直线上的一点，将直线l绕点绕点P逆时针方向旋转逆时针方向旋转(0/2),所得直线所得直线l1的的 方程为方程为3x-y-4=0,若继续绕点若继续绕点P逆时逆时针方向旋转针方向旋转/2-，则得直线，则得直线l2的方程为的方程为x+2y+1=0,求直求直 线线l的的方程方程.答案：答案：2x-y-3=05.已知数列已知数列an是公差是公差d0的等差数列，其前的等差数列，其前n项和为项和为Sn.(1)求证：点求证：点在同一直线在同一直线l1上上.(2)若过点若过点M1(1，a1)，M2(2，a
19、2)的直线为的直线为l2，l1、l2的夹角为的夹角为 ，42tannSnPSPSPSPnn，332211332211【解题回顾解题回顾】本题是直线方程与数列、不等式的一个综合本题是直线方程与数列、不等式的一个综合题，关键是把题，关键是把 看成一个等差数列，同时也是关于看成一个等差数列，同时也是关于n的的一次函数，进而转化为直线方程一次函数，进而转化为直线方程.nSn不能把不能把 灵活变换角度看成关于灵活变换角度看成关于n的一次函数，进而转化的一次函数，进而转化为直线方程是出错的主要原因为直线方程是出错的主要原因.nSn1.二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式表示平面区域(1)二元一次不等式
20、二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系在平面直角坐标系中表示直线中表示直线l:Ax+By+C=0一侧所有点组成的平面区一侧所有点组成的平面区域，直线域，直线l应画成虚线，应画成虚线，Ax+By+C0，表示直线，表示直线 l另一侧所有点组成的平面区域另一侧所有点组成的平面区域.画不等式画不等式Ax+By+C0(0)所表示的平面区域时，应把边界直所表示的平面区域时，应把边界直线画成实线线画成实线.(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分的平面
21、区域的公共部分.2.2.线性规划线性规划(1)对于变量对于变量x,y的约束条件，都是关于的约束条件，都是关于x,y的一次不的一次不等式，称为线性约束条件，等式，称为线性约束条件，z=f(x,y)是欲达到最值是欲达到最值所涉及的变量所涉及的变量x,y的解析式，叫做目标函数的解析式，叫做目标函数.当当f(x,y)是关于是关于x,y的一次解析式时，的一次解析式时，z=f(x,y)叫做线性目标叫做线性目标函数函数.(2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题称为求线性目标函数在约束条件下的最值问题称为线性规划问题，满足线性约束条件的解线性规划问题，满足线性约束条件的解(x,y)称为称为可行解可行解.由所
22、有解组成的集合叫可行域，使目标函由所有解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最值的可行解叫最优解数取得最值的可行解叫最优解. 3.已知已知x,y满足约束条件满足约束条件 ，则，则z=2x+4y的最小值为的最小值为( )(A)6 (B)-6 (C)10 (D)-103005xyxyxB 1. 1.不等式不等式x+2y-10 x+2y-10表示直线表示直线x+2y-1x+2y-10( )0( ) (A)(A)上方的平面区域上方的平面区域 (B)(B)上方的平面区域上方的平面区域( (含直线本身含直线本身) ) (C)(C)下方的平面区域下方的平面区域 (D)(D)下方的平面区域下方的平面区域( (含
23、直线本身含直线本身) )B 2. 2.已知已知A(1A(1，1)1)，B(5B(5，3)3)，C(4C(4，5)5)，平面区域是，平面区域是ABCABC的的约束条件是约束条件是x-2y+10 x-2y+10 4x-3y-10 4x-3y-10 2x+y-130( 2x+y-130(包含边界包含边界) ) 4.平面内满足不等式组平面内满足不等式组 的所有点中，使的所有点中，使目标函数目标函数z=5x+4y取得最大值的点的坐标是取得最大值的点的坐标是_00624yxyxyx5.在如图所示的坐标平面的可行域内在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包阴影部分且包括周界括周界)，目标函数，目标函数z
24、=x+ay取得最小值的最优解有无取得最小值的最优解有无数个，则数个，则a的一个可能值为的一个可能值为( )(A)-3 (B)3 (C)-1(D)1A(4，0) 【解题回顾解题回顾】画可行域时，先画出相应的几条直线，画可行域时，先画出相应的几条直线，在确定最值时注意在确定最值时注意 t 的几何意义的几何意义.1若若x,y满足条件满足条件 ，求，求z=x+2y的最的最大值和最小值大值和最小值.0104010230122y-xy-x-yx2某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤要用煤9吨，电力吨，电力4kw，劳力，劳力(按工作日计算按工作日计算)
25、3个；制造乙产品个；制造乙产品1kg要用煤要用煤4吨，电力吨，电力5kw，劳力，劳力10个个.又知制成甲产品又知制成甲产品1kg可获利可获利7万元，制成乙产万元，制成乙产品品1kg可获利可获利12万元，现在此工厂只有煤万元，现在此工厂只有煤360吨，吨，电力电力200kw，劳力，劳力300个，在这种条件下应生产甲、个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益?【解题回顾解题回顾】(1)用线性规划的方法解题的一般步用线性规划的方法解题的一般步骤是：设未知数、列出约束条件及目标函数、作骤是：设未知数、列出约束条件及目标函数、作出可行
26、域、求出最优解、写出答案出可行域、求出最优解、写出答案.(2)本例的关键是分析清楚在哪一个点取最大值本例的关键是分析清楚在哪一个点取最大值. 可可以先将以先将z=7x+12y化成化成 ，利用直线的，利用直线的斜截式方程可以看出在何处取得最大值斜截式方程可以看出在何处取得最大值.12127zx-y3要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规三种规格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板块数如下格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板块数如下表：表：311 第二种钢板第二种钢板121第一种钢板第一种钢板CBA种类种类块数块数规格规格每块钢板面积第一种每块钢板面积第一种1平方单位，
27、第二种平方单位，第二种2平方单位，平方单位，今需要今需要A，B，C三种规格的成品各式各三种规格的成品各式各12，15，27块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小格成品，且使所用钢板面积最小. 【解题回顾解题回顾】由于钢板的张数为整数，所以必须寻由于钢板的张数为整数，所以必须寻找最优整数解找最优整数解.调优的办法是在以调优的办法是在以z取得最值的附近取得最值的附近整数为基础通过解不等式组可以找出最优解整数为基础通过解不等式组可以找出最优解. 4. 4.已知已知x-y+10 x-y+10 x+2y-40 x+2y-40
28、4x+y-80, 4x+y-80,求求z=xz=x2 2+y+y2 2与与u=y/xu=y/x的最大值的最大值. .【解题回顾解题回顾】本题函数中的两个变量满足的条件是不等式组，本题函数中的两个变量满足的条件是不等式组，利用函数的几何意义在平面利用函数的几何意义在平面 区域内找点是关键，这可以使区域内找点是关键，这可以使我们更深刻地理解线性规划，更灵活地运用线性规划我们更深刻地理解线性规划，更灵活地运用线性规划. .5.某人上午某人上午7时，乘摩托艇以匀速时，乘摩托艇以匀速V海里海里/时时(4V20)从从A港出发到距港出发到距50海里的海里的B港去，然后乘汽车以匀速港去，然后乘汽车以匀速W千米
29、千米/时时(30W100)自自B港向距港向距300千米的千米的C市驶去，市驶去，应该在同一天下午应该在同一天下午4至至9点到达点到达C市市.设汽车、摩托艇所设汽车、摩托艇所需的时间分别是需的时间分别是x、y小时，如果已知所要经费小时，如果已知所要经费P=100+3(5-x)+2(8-y)(元元)，那么，那么V、W分别是多少时，分别是多少时，走得最经济，此时需花费多少元走得最经济，此时需花费多少元?【解题回顾解题回顾】要能从实际问题中，建构有关线性规要能从实际问题中，建构有关线性规划问题的数学模型划问题的数学模型.(1)题设中已知量较多，建构不出有关数学模型导题设中已知量较多，建构不出有关数学模
30、型导致出错致出错.(2)不能将其转化为线性规划问题，也是出错原因之不能将其转化为线性规划问题，也是出错原因之一一.第4节 圆2标准方程标准方程设圆心设圆心C(a,b)，半径为，半径为r，则标准方程为，则标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.当圆心在原点时，圆的方程为当圆心在原点时，圆的方程为x2+y2=r2. 1定义定义平面内与定点距离等于定长的点的集合平面内与定点距离等于定长的点的集合(或轨迹或轨迹)是圆是圆.3.一般方程一般方程当当D2+E2-4F0时时,方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般叫圆的一般方程方程.4二元二次方程表示圆的充要条件二元二次方程表示圆的充要条件Ax
31、2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程表示圆的方程 A=C0 B=0 D2+E2-4AF0 5圆的参数方程圆的参数方程设圆心设圆心C(a,b)，半径为，半径为r,则参数方程为则参数方程为( 为参数为参数)rbyraxsincos课课 前前 热热 身身1.1.已知方程已知方程x2+y2-2kx+2k+3=0 x2+y2-2kx+2k+3=0表示圆，则表示圆，则k k的取值范围是的取值范围是 ，此时圆心在此时圆心在 轴轴上上. .(-,-1)(3,+)(-,-1)(3,+) x x 2.若过点若过点(4，2)总可以作两条直线与圆总可以作两条直线与圆(x-3m)2+(y-4m)2=5(m
32、+4)相切，则相切，则m的范围是的范围是( )(A) (B)(C) (D)1219m12194- m59m0m或或04- m59m或或D3. kR，直线，直线(k+1)x-ky-1=0被圆被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的截得的弦长是弦长是( )(A)8 (B)2 (C)4 (D)值与值与k有关有关C4.过圆过圆x2+y2=4外一点外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点作圆的两条切线，切点为为A、B，则，则ABP的外接圆方程是的外接圆方程是( )(A)(x-4)2+(y-2)2=1 (B)x2+(y-2)2=4(C)(x+2)2+(y+1)2=1 (D)(x-2)2+(y-1)2=5D5
33、.若点若点A、B分别在圆分别在圆x2+y2=a，x2+y2=b(ab)上，则上，则OAOB(O为原点为原点)的取值范围是的取值范围是_abab，-1.1.已知两点已知两点P P1 1(4(4，9)9)和和P P2 2(6(6，3)3)，求以，求以P P1 1P P2 2为直径的为直径的圆的方程圆的方程. . 【解题回顾解题回顾】一般地，以一般地，以A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )为直径两端点为直径两端点的圆的方程是的圆的方程是(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)+(y -y)+(y -y1 1)(y-y)(y-y2 2)=0)=0，此
34、结论被称，此结论被称为圆的直径式方程，注意此结论在解题时灵活运用，可带来为圆的直径式方程，注意此结论在解题时灵活运用，可带来许多许多 方便方便. .2. 求与求与x轴相切，圆心在直线轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线上，且被直线x-y=0截下的弦长为截下的弦长为27的的圆的方程圆的方程. 3. 已知实数已知实数x,y满足满足x2+y2+2x-23y=0，求，求x+y的最小值的最小值.【解题回顾解题回顾】(1)本题可以理解成在约束条件下，求本题可以理解成在约束条件下，求目标函数目标函数z=x+y的最值的最值.因此可以按线性规划思想求因此可以按线性规划思想求解解.先作出可行域是一个圆，再平
35、行移动直线先作出可行域是一个圆，再平行移动直线x+y=0,相切时的两切线中的较小截距即为所求相切时的两切线中的较小截距即为所求.(2)通过数形结合，本题也可求如通过数形结合，本题也可求如x2+y、 形式形式的的最值最值. 4xy【解题回顾解题回顾】本题也可用分析法求证，即要证原不等本题也可用分析法求证，即要证原不等式成立，即证式成立，即证(ax+by)2(a2+b2)(x2+y2).4. 已知已知 x2+y2=z2，x,y,z,a,bR+. 求证：求证：zbabyax22【解题回顾解题回顾】对于圆上的动点，常常利用圆的参对于圆上的动点，常常利用圆的参数方程，设其坐标为数方程，设其坐标为(a+r
36、cos，b+rsin)；在求某；在求某一变量的最值时，常构造一个目标函数加以解决，一变量的最值时，常构造一个目标函数加以解决，如本题中，如本题中，PA2+PB2+PC2=80-8sin,=EOP0,，2.5.在在ABC中，已知中，已知 ，P是内切是内切圆上一点，求圆上一点，求PA2+PB2+PC2的最大值与最小值的最大值与最小值.1043coscosbbaAB，误解分析误解分析1. 求圆的方程时，一般要建立三元方程组求求圆的方程时，一般要建立三元方程组求a,b,r或或D,E,F，解方程组时，不要漏解，解方程组时，不要漏解.2. 利用圆的参数方程解题时，要注意参数利用圆的参数方程解题时，要注意参
37、数的变化的变化范围，如果默认范围，如果默认R，会出现误解，会出现误解.第5节 直线与圆的位置关系1.点与圆点与圆设点设点P(x0 0，y0)，圆，圆(x-a)2+(y-b)2=r2则则点在圆内点在圆内(x0 0 -a)2+(y0 -b)2r2，点在圆上点在圆上 (x0 0 -a)2+(y0 -b)2=r2，点在圆外点在圆外(x0 0 -a)2+(y0 -b)2r22.线与圆线与圆(1)设直线设直线l，圆心，圆心C到到l的距离为的距离为d则则圆圆C与与l相离相离dr，圆圆C与与l 相切相切d=r，圆圆C与与l 相交相交dr，(2)由圆由圆C方程及直线方程及直线l的方程，消去一个未知数，得一元二的
38、方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为次方程，设一元二次方程的根的判别式为，则，则l 与圆与圆C相交相交0，l 与圆与圆C相切相切=0，l 与圆与圆C相离相离03.圆与圆圆与圆设圆设圆O1的半径为的半径为r1，圆，圆O2的半径为的半径为r2，则，则两圆相离两圆相离|O1O2|r1+r2，外切外切 |O1O2|=r1+r2，内切内切|O1O2|=|r1-r2|，内含内含|O1O2|r1-r2|，相交相交|r1-r2|O1O2|r1+r2| 课课 前前 热热 身身 1 1在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上，与直线上，与直线4x+3y-12=04x+3y-12=
39、0的距离最小的点的距离最小的点的坐标是的坐标是( )( ) (A)8/5(A)8/5，6/5 (B)8/56/5 (B)8/5，-6/5-6/5(C)-8/5(C)-8/5，6/5 (D)-8/56/5 (D)-8/5，-6/5-6/5A A 2 2已知已知O O1 1：x x2 2+y+y2 2=2 O=2 O2 2:(x-2):(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1,=1,则以则以M(1M(1，1)1)为切点的为切点的O O1 1的切线方程为的切线方程为 , ,过点过点M M作作O2O2的切线，的切线，其方程为其方程为 ，此时，此时M M点到切点的距离为点到切点的距离为 . .
40、 2 2已知已知O O1 1：x x2 2+y+y2 2=2 O=2 O2 2:(x-2):(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1,=1,则以则以M(1M(1，1)1)为切点的为切点的O O1 1的切线方程为的切线方程为x+y= 2,x+y= 2,过点过点M M作作O2O2的切线，的切线，其方程为其方程为3x-4y+1=03x-4y+1=0和和x=1x=1，此时，此时M M点到切点的距离为点到切点的距离为2 2. . 5.已知圆已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线及直线l：x-y+3=0当直线当直线l被被C截得的弦长为截得的弦长为 时，则时，则a=( )(A) (
41、B) (C) (D) 3222-21-212 4.两圆两圆x2+y2-6x+4y+12=0和和x2+y2-14x-12y+14=0的位置关系的位置关系是是( )(A)相离相离 (B)外切外切 (C)相交相交 (D)内切内切CC1.1.已知点已知点P(-2P(-2，-2)-2)，圆，圆C C：(x-1)2+(y+1)2=1,(x-1)2+(y+1)2=1,直线直线l l过过点点P P，当斜率为何值时，当斜率为何值时l l与圆与圆C C有公共有公共 点点? ? 【解题分析解题分析】可先判断可先判断P P与圆与圆C C的关系，若在圆内或圆上，的关系，若在圆内或圆上，则则k k可取任何实数，若在圆外，
42、可取任何实数，若在圆外， 切线是特殊直线，有两种切线是特殊直线，有两种思路：一是用纯代数、纯方程组思想解决，二是借助于图思路：一是用纯代数、纯方程组思想解决，二是借助于图形的几何形的几何 性质解决性质解决. . 【解题回顾解题回顾】解析几何问题，往往有两种思路，其中解析几何问题，往往有两种思路，其中结合平面几何图形的性质，可使解答结合平面几何图形的性质，可使解答 简捷明快，解决直简捷明快，解决直线和圆的关系问题，一般用线和圆的关系问题，一般用“圆心到直线距离与半径大小圆心到直线距离与半径大小比较比较”来解题来解题. .2 2已知点已知点P(0P(0，5)5)及圆及圆C C：x x2 2+y+y
43、2 2+4x-12y+24=0.+4x-12y+24=0.(1)(1)若直线若直线l l过点过点P P且与且与C C的圆心相距为的圆心相距为2 2，求，求l l的方程；的方程； (2)(2)求过求过P P点的点的C C的弦的中点轨迹方程的弦的中点轨迹方程. . 【解题分析解题分析】解决解决(1)(1)用点到直线的距离公式，解决用点到直线的距离公式，解决(2)(2)用求轨迹方程的常见方法用求轨迹方程的常见方法. . 3.直线直线3x+4y+m=0与圆与圆x2+y2-5y=0交于两点交于两点A、B，且，且OAOB(O为原点为原点)，求，求m的值的值.【解题回顾解题回顾】解法解法1利用圆的性质，解法
44、利用圆的性质，解法2是解决直线与二次是解决直线与二次曲线相交于两点曲线相交于两点A，B且满足且满足OAOB(或或ACBC，其中，其中C为为已知点已知点)的问题的一般解法的问题的一般解法.4过点过点P(-2，-3)作圆作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线，切点的两条切线，切点分别为分别为A、B.求：求：(1)经过圆心经过圆心C，切点，切点A、B这三点的圆的方程；这三点的圆的方程；(2)直线直线AB的方程；的方程；(3)线段线段AB的长的长.【解题回顾解题回顾】直线和二次曲线相交，所得弦的弦长是直线和二次曲线相交，所得弦的弦长是 或或 ，这对直线和圆相交，这对直线和圆相交也成立，但直线
45、和圆相交所得弦的弦长更常使用垂径定也成立，但直线和圆相交所得弦的弦长更常使用垂径定理和勾股定理求得；理和勾股定理求得； O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和和 O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时，公共弦方程为相交时，公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.221xxk1221yyk115.从圆从圆C：x2+y2-4x-6y+12=0外一点外一点P(a,b)向圆引切线向圆引切线PT，T为切点，且为切点，且|PT|=|PO|(O为原点为原点)求求|PT|的最小值及此刻的最小值及此刻P的坐标的坐标.【解题回顾解题回顾】在在2a+3b-6=0的条件下求
46、的条件下求|PT|2=a2+b2的最小值的最小值的方法还有几种的方法还有几种.求圆求圆r2=a2+b2与直线与直线2a+3b-6=0有公共点时的最小半径的有公共点时的最小半径的平方，此刻圆与直线相切，即原点到直线平方，此刻圆与直线相切，即原点到直线2a+3b-6=0的距离的距离的平方的平方.用三角函数方法用三角函数方法.由由|PT|2=a2+b2，可设，可设a=|PT|cos，b=|PT|sin代入代入2a+3b-6=0，得，得2|PT|cos+3|PT|sin=6，于是应该，于是应该有有(2|PT|)2+(3|PT|)236.即得即得|PT| ，此刻点，此刻点P的坐标是的坐标是 .1313613181312，2.在课前热身在课前热身4中，判断两圆关系得到中，判断两圆关系得到|O1O2|r1+r2|，未必，未必相交，还可能内含，一定要追加相交，还可能内含，一定要追加|O1O2|r1-r2|才行才行.1.求过定点的圆的切线方程，一定要判定点的位置，若在求过定点的圆的切线方程，一定要判定点的位置，若在圆外，一般有两条切线，容易遗漏斜率不存在的那一条圆外，一般有两条切线，容易遗漏斜率不存在的那一条.
