1、Ch.5 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性分析分析目录目录(1/1)目目 录录q 概述概述q 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义q 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理李雅普诺夫稳定性的基本定理q 5.3 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析q 5.4 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析q 本章小结本章小结李雅普诺夫稳定性的基本定理(1/2)5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理q 本节主要研究李雅普诺夫意义下各种稳定性的判定定理和判定方法。讨论的主要问题有:基本概念基本概念: 矩阵和函数的定号性(正定性、负定性等)基本方法基本方法: 非线性系统线性化方法李雅普诺夫第
2、一法矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法李雅普诺夫第二法难点喔!李雅普诺夫稳定性的基本定理(2/2)q 下面先讲述 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法,然后讨论 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第一法(1/7)5.2.1 李雅普诺夫第一法q 李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态附近进行线性化, 即在平衡态求其一次Taylor展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值,然后根据全部特征值在复平面
3、上的分布情况来判定系统在零输入情况下的稳定性。李雅普诺夫第一法(2/7)q 下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳定性中的应用。q 设所讨论的非线性动态系统的状态方程为x=f(x)其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元素对x有连续的偏导数。李雅普诺夫第一法(3/7)q 欲讨论系统在平衡态xe的稳定性,先必须将非线性向量函数f(x)在平衡态附近展开成Taylor级数,即有其中A为nn维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵;R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。雅可比矩阵A定义为李雅普诺夫第一法(4/7)q 上述线性化方程的
4、右边第一项A(x-xe)代表原非线性状态方程的一次近似式,如果用该一次近似式来表达原非线性方程的近似动态方程,即可得如下线性化的状态方程:x=A(x-xe) 由于对如上式所示的状态方程总可以通过n维状态空间中的坐标平移,将平衡态xe移到原点。 因此,上式又可转换成如下原点平衡态的线性状态方程:x=Axq 判别非线性系统平衡态xe稳定性的李雅普诺夫第一法的思想即为: 通过线性化,将讨论非线性系统平衡态稳定性问题转换到讨论线性系统x=Ax的稳定性问题。李雅普诺夫第一法(5/7)p 李雅普诺夫第一法的基本结论是:1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态
5、xe渐近稳定,而且系统的稳定性与高阶项R(x)无关。2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态的稳定性与高阶项R(x)无关。3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳定性由高阶项R(x)决定。李雅普诺夫第一法(6/7)q 由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 值得指出的区别是: 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺夫方法讨论状态稳定
6、性问题。 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值,因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统,而不能推广至时变系统。李雅普诺夫第一法(7/7)例例5-1试确定系统在原点处的稳定性。q 解解 1： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态。将系统在原点处线性化,则系统矩阵为q 例5-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:因此,系统的特征方程为|I-A|=2+K1+K2=0李雅普诺夫第一法(8/7)2. 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充分条件为:K10 和 K20.李雅普诺夫第二法(1/3)5.2.2 李雅普诺夫第二法q 由李雅普诺夫第一法的结论可知,该
7、方法能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无能为力,而且该方法不易推广到时变系统。 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析都适用的李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第二法(2/3)q 李雅普诺夫第二法又称为直接法。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量达到最小值。 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能量,其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随时间推移是否衰
8、减,就可判断系统平衡态的稳定性。李雅普诺夫第二法(3/3)q 在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 数学预备知识数学预备知识,然后介绍一些 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理数学预备知识(1/1)1. 数学预备知识数学预备知识q 下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预备知识: 函数的正定性函数的正定性 二次型函数和对称矩阵的正定性 矩阵正定性的判别方法实函数的正定性(1/4)函数定号性定义函数定号性定义(1) 实函数的正定性函数的正定性q 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 它主要讨论该函
9、数的值在什么条件下恒为正,什么条件下恒为负的。 下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。q 定义5-5 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x)对任意n维非零向量x都有V(x)0;当且仅当x=0时,才有V(x)=0, 则称函数V(x)为区域上的正定函数。 实函数的正定性(2/4)函数定号性定义函数定号性定义q 从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函数。由正定函数的定义,我们相应地可定义 负定函数、 非负定(又称半正定或正半定)函数、 非正定函数(又称半负定或负半定)和 不定函数。实函数的正定性(3/4)函数定号性定义函数定号性定义q 定义5-6 设x
10、Rn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x)对任意n维非零向量x,都有V(x)0;当且仅当x=0时,才有V(x)=0,则称函数V(x)为区域上的负定函数。 若对任意n维非零向量x,都有V(x)0,且V(0)=0,则称函数V(x)为区域上的非负定函数。 若对任意n维非零向量x,都有V(x)0,且V(0)=0,则称函数V(x)为区域上的非正定函数。 若无论取多么小的原点的某个邻域,V(x)可为正值也可为负值,则称函数V(x)为不定函数。 实函数的正定性(4/4)q 下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、负定函数等的例子。1) 正定函数正定函数2) 负定函数负定函数3)
11、非负定函数非负定函数4) 非正定函数非正定函数实函数的正定性(5/4)5) 不定函数不定函数q 函数的定号性是一个相对概念,与其函数定义域有关。 如,函数 对x1与x2组成的2维空间为非负定的,但对于1维空间x2则为正定的。q 上面定义了时不变函数V(x)的定号性,相应地可以定义标量时变函数V(x,t)的定号性。实函数的正定性(6/4)q 定义定义5-7 设xRn,是Rn中包含原点的一个封闭有限区域,实函数V(x,t)是定义在t0,)上的一个标量函数且V(0,t)=0,标量连续函数(|x|)和(|x|)为非减(函数值单调增加)的且满足(0)=(0)=0,1) 如果对任意tt0和x0, V(x,
12、t)为有界正定的,即0-(|x|)V(x,t)-(|x|)；有界非负定，即0V(x,t)(|x|)；有界非正定，即0V(x,t)-(|x|)，实函数的正定性(6/4)分别称函数V(x,t)为t0,)上的(时变)负定函数、非负定函数和非正定函数。3) 如果存在tt0,无论取多么小的原点的某个邻域,V(x,t)可为正值也可为负值,则称函数V(x,t)为不定函数。 二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4)(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性q 二次型函数是一类特殊形式函数。 设V(x)为关于n维变量向量x的实二次型函数,则其可以表示为其中aij(i=1,2,n,j=i,n)为实常数。二次型函数和对称矩
13、阵的正定性(2/4)q 由线性代数知识知,实二次型函数V(x)又可表示为V(x)=xPx其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵,它为如下nn维实对称矩阵:二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)q 二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非正定和不定等定号性概念。 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正定性。q 定义5-8 设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵,当V(x)分别为正定、负定、非负定、非正定与不定时,则称对称矩阵P相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。 二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)-矩阵定号性定义
14、矩阵定号性定义q 因此,由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为判别对称矩阵的正定性。 对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定时,并可分别记为P0, Pt0时不恒为零,那么 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。 此时,随着|x|,有V(x,t),则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。 稳定性定理稳定性定理(1/4)q 由此定理的结论可知,定理5-5不仅可用于判别平衡态的稳定性,而且可作为定理5-4的补充,用于判别平衡态的渐近稳定性。q 例例5-5 试确定例5-4的系统的平衡态稳定性。q 解 前面已经定义例5-4的系统的李雅普诺
15、夫函数。 该函数及其导数分别为稳定性定理稳定性定理(2/4)例例5-5 由于V(x)是非正定函数,由定理5-5的1)可知,系统为一致稳定的。稳定性定理稳定性定理(4/4)例例5-5 下面利用定理5-5的结论2)来分析相应的平衡态是否渐近稳定。 分析过程可如右图所示。平衡态渐近稳定稳定性定理稳定性定理(5/4)例例5-5q 对例5-5，选取李雅普诺夫函数为则是负定的,系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 q 例5-6 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。稳定性定理稳定性定理(6/4)例例5-6为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t),V(x)的全导数q 解 显然,原点(0,0)是给定系
16、统的唯一平衡态,如果我们选择正定函数 由于V(x)非正定,由定理5-5的1)可知,系统为一致稳定的。 由于V(x)对任意的x0恒为零,因此由定理5-5中2)可知,该系统是稳定的但非渐近稳定。 稳定性定理稳定性定理(6/4)例例5-6(3) 不稳定性定理不稳定性定理q 定理5-6 设系统的状态方程为x=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件:1) V(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的;2) 若V(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的x(t0)0, V(x,t)在tt0时不恒为零,那么该平衡态xe亦是不稳定的。
17、 不稳定性定理不稳定性定理(1/2)q 例5-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。不稳定性定理不稳定性定理(2/2)例例5-7q 解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我们选择李雅普诺夫函数为则由于V(x)非负定,但其只在x1=0,x2=0时才恒为零,而在其他状态不恒为零,因此由定理5-6的2)可知,系统的该平衡态为不稳定的。 不稳定性定理不稳定性定理(3/2)例例5-8q 例例5-8 设时变系统的状态方程为试判断系统在坐标原点处平衡状态的稳定性。 q 解解 定义李雅普诺夫函数为显然,在x1-x2平面上的第一,三象限内,有V(x,t),是正定的。 在此区域内取V(x
18、,t)的全导数为 q 下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结不稳定性定理不稳定性定理(5/2)稳定性定理小结稳定性定理小结 V(x) V(x)结论正定(0)负定(0)半负定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态渐近稳定正定(0)半负定(0)且恒为0(对某一非零的初始状态的解)该平衡态稳定但非渐近稳定正定(0)正定(0)该平衡态不稳定正定(0)半正定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态不稳定61写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
