1、1 234cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式5（1 1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：acbba )2(cbacba )(acb )(.)(bac （ 3） 三三 向向 量量a、b、c共共 面面. 0 cba)()()(bacacbcba6)()(baddcbac)(bac构构成成的的平平面面内内必必在在且且则则令令bafdfdcfbdad,线线性性组组合合表表示示可可以以用用的的所所以以badcf,)(?f7321321321321bbbaaa
2、kjibaddddccckjidcf23321dcdcf)()(3113312212babacbabac)()(3322133221acacbcbbca )()(33221113322111acacacbcbbccba)()(acbbca11)(111111cbacba 8fcddab 23321dcdcf)()(acbbca11同理同理)()(222acbbcaf )()(333acbbcaf 所以所以)()(332211acbbcaefefeff )()()(acbbcabac; 点点乘乘近近的的是是负负的的点点乘乘远远的的是是正正的的可可见见cc?)( cba; 点点乘乘近近的的是是负负
3、的的点点乘乘远远的的是是正正的的可可见见cc)()()()(bcaacbbaccba9克罗内克克罗内克 符号的定义符号的定义ij i = j ij 10（1 1） 符号的挑选性符号的挑选性（2 2）基矢的标积）基矢的标积（3 3）偏导数）偏导数jjijiiiiiijAAAAA 00110 符号挑选出和式中作和变量符号挑选出和式中作和变量j = i j = i 的那一项。的那一项。ijijee iijjxx 式中式中i , j i , j 为所有正整数。为所有正整数。10)()()(bacacbcbacbabcacba)()()(ij i = j ij 1011()d A BdBdAABdtdt
4、dt()d ABdBdAABdtdtdtxyzA( t )A ( t )iA ( t )jA ( t )k yzxdA ( t )dA ( t )dA ( t )dA( t )ijkdtdtdtdt 导矢在几何上为一导矢在几何上为一切向矢量。切向矢量。 导矢在该处的切线导矢在该处的切线上，其方向指向上，其方向指向 t 增增大的方向。大的方向。12(1)0,()(2)(3),()dCCdtdddABABdtdtdtddAkA kdtdt 为常矢量（k为常量矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式(4)(5)(6)ddud Au AAudtdtdtdd Bd AA BABdtdtdtdd Bd AAB
5、ABdtdtdt （(7)( ),( ),d Ad A duAA uuu tdtdu dt若而则有13补充练习题补充练习题2 ()aab（ ）5 (),aba（ ）3 (),jik（ ）4 ()kij（ ）()()()0abcbcacab 1 ABAB（ ）1 1、计算、计算2 2、证明、证明14 1 ABAB（ ）A+BAA+BB = = （）- - （）AA +BAABBB = =- - -2 BA2 ()aab（ ）)()()(bacacbcba=()baa03 ()jik（ ）= ()ijk1 4 ()kij（ ）= k k= jj15 (),aba（ ）cbabcacba)()()(
6、2()a ba b a()()a a ba b a 15()()()0abcbcacabcbabcacba)()()( ()()()()()()a c ba b cb a cb c ac b ac a b ()()()0abcbcacab16场的概念场的概念 ( The Concept of Field ) ( The Concept of Field ) 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。间的分布和变化规律。17( , , )( , )( , , )( , )x y z tx t
7、A x y z tA x t标量场矢量场场可用一个空间和时间坐标的函数来描述：场可用一个空间和时间坐标的函数来描述：场与时间无关。场与时间无关。场函数与时间有关。场函数与时间有关。18（1 1）标量场的梯度）标量场的梯度（Gradient of Scalar Field Gradient of Scalar Field ） 若考查空间某一区域各处的温度，以若考查空间某一区域各处的温度，以T T（x,y,zx,y,z）或者以）或者以T T（P P）表示域中某点）表示域中某点 P P 处的温度，那么我们就说，在域中构成了处的温度，那么我们就说，在域中构成了一个温度场一个温度场T T。 19第二个问
8、题第二个问题: : 实例实例 一块长方形的金属板，四个一块长方形的金属板，四个顶点的坐标如图，在坐标原点处顶点的坐标如图，在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热。有一个火焰，它使金属板受热。 假定板上任意一点处的温度假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在与该点到原点的距离成反比在板上有一只昆虫，问这只昆虫应板上有一只昆虫，问这只昆虫应沿什么方向爬行才能最快到达较沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？凉快的地点？问题的实质问题的实质：应沿由热变冷变：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行爬行P(x,y,z)P3P2P1P4P520)(xllP1P
9、2llll)()(12pplpplll)()(limlim1200lPl)(xlPl21 从一点出发，有无穷多个方向，从一点出发，有无穷多个方向，即标量场即标量场 在一点（在一点（P P）处的方向）处的方向导数有无穷多个，其中有一个值最导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为大，这个方向导数的最大值定义为梯度：梯度： ),(zyxgrad oyx),(zyx 等势线等势线P dldn xyzgradneeenxyz max)(|ln |grad大小：大小：cosn lgradllnn nngrad22 例如：电场线可形象的描述电场。例如：电场线可形象的描述电场。+q+q发出
10、电场线，称为源发出电场线，称为源头；头； -q-q汇聚电场线，称为尾闾。汇聚电场线，称为尾闾。 q q越大越大, ,则穿出包围则穿出包围q q的封闭曲的封闭曲面的电通量越大。为了表示这种性质，可用散度来反映这种矢面的电通量越大。为了表示这种性质，可用散度来反映这种矢量场的源强度。量场的源强度。场线可以形象的描述场场线可以形象的描述场+ q23矢量场对于闭合曲面的通量：SIJ dS s0IJds00 给定矢量场给定矢量场 ，若，若 是电流密度，则是电流密度，则J(r ) J(r ) S nds J sJrdS -单位时间内流过单位时间内流过S面的电荷。面的电荷。-单位时间内通过闭合曲面单位时间内
11、通过闭合曲面S从从V中流出中流出的电荷。的电荷。讨论：讨论：V内有产生这种荷的源内有产生这种荷的源J S nds VV内有吸收这种荷的源内有吸收这种荷的源既无源头又无尾闾既无源头又无尾闾24SV 为了反映空间某一点源的情况，可以将面为了反映空间某一点源的情况，可以将面 缩小到体元缩小到体元 ，体元仅包围一个点体元仅包围一个点 J S nds VV0J( r ) dssdivJ( r )LimV 求单位体积的通量求单位体积的通量 ，再取极限，再取极限 称为称为。J(r ) divJ(r ) 在直角坐标系中的表达式在直角坐标系中的表达式000 该点有正源该点有正源 该点无源该点无源 该点为负源该点
12、为负源 若空间各点处处散度都等于零，则称这个矢量场若空间各点处处散度都等于零，则称这个矢量场f为无源场。为无源场。 yzxfffdivf ( x , y ,z )xyz 25静电场静电场磁磁 场场0lBdlI lEdl0 磁感应线闭合磁感应线闭合可见，场线的涡旋可见，场线的涡旋性与环流有关性与环流有关A( x, y,z ) 设设 M M 点为矢量场中的任意一点，点为矢量场中的任意一点，S S为包含为包含 M M 点在内的小面点在内的小面元，小面元边界为元，小面元边界为 L L。 nML, sLA dl 显然，积分回路不同时，环量就会不同；显然，积分回路不同时，环量就会不同； 的方向不同时，环量
13、也会不同。的方向不同时，环量也会不同。dS 为描述环量与场线的涡旋性之间的关系引入为描述环量与场线的涡旋性之间的关系引入。26矢量场的旋度矢量场的旋度 ，它刻画了矢量场场线在空间某点，它刻画了矢量场场线在空间某点。若空间各点。若空间各点 ，则称，则称 为无旋场。为无旋场。 rot A rot A0 A A( x, y,z ) nML, s 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L L为为界的面积界的面积 逐渐缩小，逐渐缩小， 也将逐渐减小，一般说来，这两者也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作的比值有一极限值，记作SL
14、ldAsldALs0lim单位面积平均环流的极限单位面积平均环流的极限 它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向面积法线方向 ，且通常，且通常L L的正方向与的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，规定要构成右手螺旋法则，为此定义矢量场为此定义矢量场A A 在在MM点的旋度为点的旋度为 n nLsA dlrotAlimns 0 旋度的大小旋度的大小lm a xs0Ad l( l i m)s 方向：该极值取极大值时方向：该极值取极大值时S S的方向。的方向。27xyzgradneeenxyz 求单位体积的通量求单位体积的通量
15、 ，再取极限，再取极限V0J( r ) dssdivJ( r )LimV yzxfffdivf ( x , y ,z )xyz 000 该点有正源该点有正源 该点无源该点无源 该点为负源该点为负源 fx, y,z 矢量场矢量场 在在M M 点的旋度定义为：点的旋度定义为：。 LsA dlrotAlimns 0 28yzxAAAdivA( x , y ,z )xyz xyzxyzijkAAA rotA( x,y,z ) xyzgrad eeexyz yyzzxxAAAAAAyzzxxy()i() j ()k 29ijkxyz 在直角坐标系中定义在直角坐标系中定义它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉
16、乘。它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。 A A 它也可以作用在标量上它也可以作用在标量上divA rot A grad 是对物理量作空间一阶偏导数运算的是对物理量作空间一阶偏导数运算的xyzijkxyzAAA xxxxyzAAA( ijk) ( A iA jA k )xyzxyz xyz(ijk) ( A iA jA k )xyz ( ijk)ijkxyzxyz 30yzxAAAA( x , y,z )xyz xyzxyzijkAAA A( x,y,z ) xyzeeexyz yyzzxxAAAAaAyzzxxy()i ()j ()k 31SV V, S V有一闭曲面有一闭曲面S S，所包
17、体积为，所包体积为V,V,将将V V分为许多小的分为许多小的 V V， V V的表面积为的表面积为 S S对于每个小的对于每个小的 V V，据散度定义式，据散度定义式A( x, y,z ) dsLimsA( x, y,z )VV 0 iiA( x , y ,z ) dsA( x , y ,z ) dSss VA( x , y ,z ) dsA( x , y ,z )dVs iA( x , y ,z ) V VA( x , y ,z )dV 32 对空间任意曲面对空间任意曲面S S，L L为为S S边界线，将边界线，将S S分为许分为许多小的多小的 S S， S S的边界为的边界为 L, L,
18、对于每个小的对于每个小的 S SSdSi据旋度的定义式据旋度的定义式iLiA( x, y,z ) dlA( x, y,z )S LSA( x, y,z ) dlA( x, y,z ) dS 斯托克斯定理斯托克斯定理式中式中L L为为S S边界线，线积分的回转方向与面的正方向合乎右手螺旋关系边界线，线积分的回转方向与面的正方向合乎右手螺旋关系iLsiA dlAlimns 0 iLLiA( x, y,z ) dlA( x, y,z ) dl SA( x , y ,z ) dS 3334AA , , 设设 为源点为源点 与场点与场点 之间之间的距离，的距离，r r 的方向规定为源点指向场点，试分别对
19、的方向规定为源点指向场点，试分别对和和求求r r 的梯度。的梯度。222)()()(zzyyxxrxx场点（观察点）场点（观察点）场源点场源点坐标原点坐标原点oxxr35场点（观察点）场点（观察点）场源点场源点坐标原点坐标原点oxxr源点固定，源点固定，r r 是场点的函数，是场点的函数，对场点求梯度，则有对场点求梯度，则有xyzrrrreeexyz r( xx )( xx )( yy )(zz )( xx )xr 1 2222122r( yy )r( zz ) , yrzr r(x x )(y y )(z z ) 222xyzxyzxyzrrr( xx )( yy )( zz )reeeee
20、exyzrrrre ( xx )e ( yy )e ( zz )rrr 1 36场点（观察点）场点（观察点）场源点场源点坐标原点坐标原点oxxr场点固定，场点固定，r r 是源点的函数，是源点的函数，对源点求梯度，则有对源点求梯度，则有xyzrrrreeexyz r( xx )( xx )( yy )( zz )( xx )()xr 1 22221212r( yy )r( zz ) , yrzr r(x x )(y y )(z z ) 222xyzxyzxyzrrr( xx )( yy )( zz )reeeeeexyzrrrre ( xx )e ( yy )e ( zz )rrr 1 r 3
21、7将算符将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为作用于梯度、散度和旋度，则称为（）标量场的梯度必定为无旋场，即（）（逆定理）反之，无旋场可表示为一个标量场的梯度。0ff 若则（) 矢量场的旋度必定为无源场，即() （逆定理）无源场可表示为一个矢量场的旋度，即0 f0 fA 则若f0 38()、标量场的梯度必定为无旋场，即0() 2222220 xyzeeey zz yz xx zx yy xxyzeeexyz xyzeeexyz xyzeeexyzxyz39()矢量场的旋度必定为无源场，即f0 (f )fff xyzxyzxyzeeeeeexyzxyz222222ffffffffffffy0 y
22、yxxzzyyxxzzxyzyzxzxyxyxzyzxzxzy40, gf ,设 代表标量场， 代表矢量场)()()()()()()()(gfgfgfffffffffffgfggfgfgfgfgffgfggf2)()()()()()()()()()()()( 2)(.4)(.5)(.6)(.7)(.8)(.9)(.14)(.13)（10）( fg )(f )g( f)g 41 )(xyz()e()e()e()xyz xyze()e()xxyy e ()zz xyzxyz( eee) ( eee)xyzxyz 公式(.4) xyzeeexyz )()() 42fff )(ff(f )(f )(f
23、 )ffff 公式公式(.5 ) xyzeeexyz 公式公式(.6 ) (f )ff ff(f )(f )(f )ffff 43)()()(fggffg)()()(fgfgfgfg )()()(bacacbcba)()()()()()()(fgfggffggfgffgfffgg据据故有：故有：( gf )f (g )g (f ) 公式公式(.7 ) xyzeeexyz 44fgfggfgffg)()()()()(gf( gf )( gf )( gf ) g gf fg gg gf ff f( (g gf f) )( (f fg g) )( (g gf f) ) ( (g g) )f f( (
24、f f) )g g( (f f) )g g( (g g) )f f ( (g g) )f f( (f f) )g g( (f f) )g g( (g g) )f f( (f f) )g g( (f f) )g g( (g g) )f f( (g g) )f f据据公式公式(.8 )()()(acbbcabac45fgfggfgffg)()()()()()()()(fgfgfgfgfgfggfgfgf)()()()()(公式公式(.9)微分运算矢量运算矢量运算同理去掉脚标ffffg (f )( g f )( g)f( g f )g (f )( g)f ggggggf(g)( f g) ( f)g
25、( f g)f(g)( f)gf(g)( f)g 46 )()()()(2222222zyxzzyyxxfffff2)()()()(标量场的梯度的散度为公式(.13 )2() 矢量场的旋度的旋度为公式公式(.14 )2(f )(f )f 47svdvsdI)( )(2定理svdvsdII)( )()(22定理由由 得到得到: :VA( x , y ,z ) dsA( x , y ,z )dVs svds()dv 2 fff )(v()dv 2与svds()dv v()dv 48 实验表明，面元前方介质对后方介质的作用力df,并不一定与面元垂直。橡皮擦橡皮擦dS df P 要清晰的讨论面元前方介
26、质对后方介质的作用力，就要引入应力。PxyzABCdS PABC 是一个四面体体积元V面元dS的三个分量为xxxdSdSePB C e yyydSdSePC A e zzzdSdSePA B e 于是，面元dS受的力df可用面元dSx、 dSy、 dSz受的力表示。49PxyzABCdS xyzdSdSdS、 令令 的前方介质（四面体内）对后方介质（四的前方介质（四面体内）对后方介质（四面体外）的作用力分别为面体外）的作用力分别为 ，当四面体处于平衡态时，当四面体处于平衡态时，它所受的合外力为零，则它所受的合外力为零，则xyzdfdfdf 、+xyzdfdfdfdf 由于由于 一般不沿一般不沿
27、 方向，因此有方向，因此有xdf x e+xxxxxyyxzzdfdfedf edf e 用用1、2、3 表示表示 , 则上式可改写为则上式可改写为xyz、 、311 jjj 1dfdf e 同理有同理有322 jjj 1dfdfe 333 jjj 1dfdfe 33iijji 1i ,j 1dfdfdf e （它有（它有9个分量）个分量）5033iijji 1i ,j 1dfdfdf e ijijijijijiji ,ji ,ji ,j dfT dS eT dS e edST e edS T ijiji ,j TT e e 称为应力称为应力称为称为ijTij e e :i ej e和和 并列
28、，称为并列，称为。引入引入表示表示df，令，令ijijidfTdS 此式表明，此式表明，Tij是是dSi的单位面积上前方介质对后方介质的作用力的单位面积上前方介质对后方介质的作用力的的 j 分量。分量。PxyzABCdS 并矢并矢 i j 可作为可作为2阶张量阶张量的的9个基矢。个基矢。 9个基矢上的分量就是个基矢上的分量就是i ij jT T51（1）并矢的定义）并矢的定义若将若将 并列，两者之间不做任何运算，就叫做并列，两者之间不做任何运算，就叫做。BA,和和 的并矢记为：的并矢记为：A A A A B B B B 已知已知332211eAeAeAA332211eBeBeBB3333232
29、31313323222221212313121211111332211332211BAeeBAeeBAeeBAeeBAeeBAeeBAeeBAeeBAeeBAeBeBeBeAeAeA)(则则并矢并矢 也有也有9个分量，且有个分量，且有A A B B 可见，可见，ijiji ,j ABA B e e ABBA52并矢并矢 有有9个分量：个分量：A A B B 1 11 11 12 21 13 32 21 12 22 22 23 33 31 13 3y y3 33 3A A B BA A B BA A B BA A B BA A B BA A B BA A B BA A B BA A B B张量张
30、量 有有9个分量：个分量：T1 11 11 12 21 13 32 21 12 22 22 23 33 31 13 32 23 33 3T TT TT TT TT TT TT TT TT TijijA BTijiji ,j ABA B e e ijiji ,j TT e e 最简单的对称张量是最简单的对称张量是 1 11 12 22 23 33 3i ij ji ij ji i, ,j j1 10 00 0 I Ie e e ee e e ee e e ee e e e0 01 10 00 00 01 153（）并矢）并矢 与矢量与矢量 的点乘规则的点乘规则：BAC)()(CBACBA ( (
31、) )( () )C CA AB BC CA A B B （“ ”靠那个近就与那个作用）靠那个近就与那个作用）可见，并矢与矢量的点乘是一个矢量，而且一般有可见，并矢与矢量的点乘是一个矢量，而且一般有)()(BACCBA（）张量）张量 和矢量和矢量 点乘规则点乘规则TfllljiijijefeeTfT)(ljilijlijeeefTjlilijlijefT )(jlljee ijijijefT同理：同理：jijijieTfTfTffT54（）并矢并矢 和另一并矢和另一并矢 的双点乘的双点乘C C D D BA先把靠近的两矢量点乘，再把剩下的两矢量点乘。先把靠近的两矢量点乘，再把剩下的两矢量点乘。
32、（）单位矢量和任意矢量的点乘等于该矢量）单位矢量和任意矢量的点乘等于该矢量IIfIffI() ()()():ABC DB CA D 55()()()f gf gfg ()()() Ti Tj TkTxyz张量和并矢的积分变换公式张量和并矢的积分变换公式 ()() sVsVd STdVTd Sf gdVf g56亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 任意矢量场任意矢量场 均可分解为无旋场均可分解为无旋场 和无源场和无源场 之和。之和。0,0FF 1F2FF12FFF120,0FFF1FF1F A2FF2FA 57VA 唯一性定理唯一性定理 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边在空间某一区域内
33、给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量：界上的法线分量：nSA( x )A( x )Af ( S )S 在在 V V 内内在在面面 上上则该矢量场在区域内是唯一确定的。则该矢量场在区域内是唯一确定的。 58)()()(zzeyyexxexxrzyx 设设yzxxxr0 222rxxyyzz = =- - - -（1 1）证明下列结果，并体会对源变数求微商与）证明下列结果，并体会对源变数求微商与对场变数求微商的关系：对场变数求微商的关系：xyzeeexyz 源变数求微商源变数求微商场变数求微商场变数求微商xyzeeexyz rrr;r 311r;rrr 3r0 ,r0;r 330(r
34、0 )rr .rr4( r0 ) 59xyzrrrreeexyz rrr rrr 222rxxyyzz = =- - - -由对称性可知：由对称性可知：rrrr rrrr 12222=rrxxyyzzr11xx2( xx )x2rr 同理同理ryyyrrzzzrxyzxxyyzzrreeerrrr xyzeeexyz 源变数求微商源变数求微商60 xyz1111 eeerx ry rz r 1 22223 222231( xx )( yy )( zz )x rx1( xx )( xx )( yy )( zz )2( xx )2r 证：证：同理：同理：331( yy )1( zz ) , y r
35、rz rr xyz33332 1( xx )( yy )(zz )rr eeerrrrrr 3 2 1 r rr r r 2 2 2r x x y y z z = = - - - - - -由由对对称称性性可可知：知：311rrrr 311rrrr 证明证明61另解：由复合函数的运算法测另解：由复合函数的运算法测( ),( , , )uuu x y z若若uu 则则3211rrrrrurr)( ruuu1)( 令令6230,0rrr证：证：3r0r0.r = = ，证明：证明：xyz3333333rzzyyxxzzyyxxe ()e ()e ()ryrzrzrxrxryr 33zzyy0yrz
36、r 3xrr 333xyzrrrrrr 33531yyzzyyyyzrz rr 33531yyzzzzzzyry rr 330yzrrrr 630113)()(rrrr 标量场的梯度必为无旋场标量场的梯度必为无旋场另解：另解：311rrrr 64P34：习题：习题 3)()()(zzeyyexxexxrzyx 设设yzxxxr0 222rxxyyzz = =- - - -（2）求：）求：r?; 0 E sin(k r )?; r?; ( a)r?; ( a r )?; 0 E sin(k r )? . 其中其中 及及 均为常矢量。均为常矢量。 a k 、0E 解:( xx )r3x r?; 6
37、5xyzzyyxxzzeeyzzx()()()() xyzyzzxxyxyzeeerrrrreexyzyzzxrrr yxzrrexy zyyxxexy0()() r 求求 r0 解：解：济南大学物理科学学院6667梯度运算的一些基本公式梯度运算的一些基本公式2( 1 )c0 ,( c)( 2 )( cu )cu ,( c)( 3 )( uv )uv( 4 )( u v )uvvuuvuuv( 5 )()vv( 6 )f ( u )f ( u )u 为为 常常 量量为为 常常 量量ijkxyz 68关于“三度”的一些常用公式复合函数的三度公式 高斯公式高斯公式 斯托克斯公式斯托克斯公式 d f
38、fuud u d AAuud u dAAuudu SVVAdVdVASdA)(LSSASdSdAldA)()(利用混合利用混合积公式积公式69第一公式第一公式 第二公式第二公式 SVSddV)(2SVSddV)()(22SVSddVLSldSdSVSddVASdAdVSVTSdTdVSVLSldSdLSAldASd)(LSTldTSd)(7001aaxaxaxaxa dxxa dx一维 0000000000211sinxxxxyyzzrrzzrrrr 三维三维01Vxxd V711、球坐标、球坐标rrAA eA eA ereee注意：三个单位向量是动坐标注意：三个单位向量是动坐标2、柱坐标、柱
39、坐标rrzzAA eA eA erzeeen 球坐标与柱坐标72球坐标中的梯度运算：球坐标中的梯度运算：sin11rererer球坐标中的散度运算：球坐标中的散度运算：frfrfrrrfrsin1) (sinsin1)(12273eArArerArAreAArArrr1 sin11 sinsin1 球坐标中的旋度运算：球坐标中的旋度运算：74A2在球坐标中的三个分量：在球坐标中的三个分量：ArArArAAArArArAAArArArAArrrrr222222222222222222sincos2sin2 sin1sincos22 sin1sin2sinsin2 275直角坐标与球坐标之间的变换
40、关系：直角坐标与球坐标之间的变换关系：eeeeeerzyx 0 sin- cos cos sincos sinsin sin- coscos cossin76积分变换公式：积分变换公式：SLVSSdAldASdAdVASVLSSVSVSddVldSdSddVfSdfdV)()(2277矢量与张量叉乘：矢量与张量叉乘：fTTfBAfBAfeefTeefTTfjijiijjijiij,矢量与张量点乘：矢量与张量点乘：fTTffBAfBAfTBAfBAfTf78现在我们必需考虑如下问题：现在我们必需考虑如下问题：（1 1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在 别的特
41、性？别的特性？（2 2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它 矢量场的激励源？矢量场的激励源？（3 3）如何唯一的确定一个矢量场？）如何唯一的确定一个矢量场？79 空间区域空间区域V V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一并且可以表示为一无旋矢量场和条件为已知，则该矢量场唯一并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即一无散矢量场的叠加，即 rFrFrFle rFe rFl其中其中为无散场，为无散场，为无旋场。为无旋场。n 1 1 矢量场的矢量场的 Helmholtz Helmholt
42、z 定理定理80Helmholtz Helmholtz 定理明确回答了上述三个问题。定理明确回答了上述三个问题。 即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：涡源激发；并且满足： 另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足： 0rFe 0rFl81矢量场的分解矢量场的分解的的标标量量势势为为。充充要要条条件件：AAA 0 的的标标量量势势为为充充要要条条件件fGGff ,0:2.一般矢量的分解 任一矢量场由其旋度和散度唯一确定。旋度决定无源场，散度决定无旋场。任意矢量场可唯一分解为无旋场和无源场之和。无旋场：无源场：82)3,2,1,( jieeTTjiij若将矢量若将矢量 表示为表示为332211eAeAeAA),(321ieAAii张量张量 可写为可写为T则有则有),(321ieAAii),(321jieeTTjiij83)()()(bacacbcbacbabcacba)()()(xyzgradneeenxyz 84lPlnngradxyzgradneeenxyz max)(|ln |grad大小：大小：cosn lgradllnn 85)()()(bacacbcbacbabcacba)()()(xyzgradneeenxyz
