1、1知识概括知识概括数列问题的综合数列问题的综合性与灵活性说明性与灵活性说明23注注:等差、等比数列的证明须用定义证明等差、等比数列的证明须用定义证明.41.定义定义2.公比公比(差差)3.中项中项4.通项公式通项公式5.性质性质m+n=p+q,m,n,p,qN*daann 1q不可以不可以是是0d可以可以是是0等比中项等比中项abG 等差中项等差中项baA 211 nnqaadnaan)1(1 qpnmaaaa qpnmaaaa mnmnqaa dmnaamn)(等差数列等差数列qaann 1等比数列等比数列5二、等差数列二、等差数列的的性质性质1.等差数列的单调性：等差数列的单调性：为为常常
2、数数数数列列则则若若为为递递减减数数列列则则为为递递增增数数列列，若若则则若若n nn nn na ad da ad da ad d0,0,0,2.等差数列的性质等差数列的性质:mnpqmnpqaaaa则则（1）若）若pnmaaapnm2,2 则则特别地，若特别地，若 kdaaaakmkmkmm仍是等差数列，公差为仍是等差数列，公差为.,.232 .项和项和为其前为其前为等差数列，为等差数列，若若nSann（3）也是等差数列也是等差数列,且公差为且公差为dkd2,34232kkkkkkkSSSSSSS nnanS12412 6ndSS且且奇奇偶偶 中间项中间项且则且则偶偶奇奇naSS1 nna
3、aSS偶偶奇奇 nnanSnaSnnSS1,1 偶偶奇奇偶偶奇奇 为为中中间间二二项项则则若若数数列列的的项项数数为为112,2.5 nnnnnaaaanSNnn 为中间项为中间项则则若数列的项数为若数列的项数为nnnaanSn12,1212 1,nnnaSnaS偶偶奇奇 nnanSnaS1 偶偶奇奇7三三.等比数列的性质等比数列的性质1)若若m+n=p+k，则，则kpnmaaaa2)若若m+n=2p，则则2mnpa aa4.等比中项等比中项:如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使使a,G，b成等比数列，那么称这个数成等比数列，那么称这个数G为为a与与b的等比中项的等比中项.即
4、即G=（a,b同号）同号）ab5.非零常数列非零常数列:既是等差又是等比数列的数列既是等差又是等比数列的数列.8(1)当当q1,a10或或0q1,a11,a10或或0q0时时,an是递减数列是递减数列(3)当当q=1时时,an是常数列是常数列(4)当当q0时时,an是摆动数列是摆动数列6.判断等比数列的方法判断等比数列的方法:定义法，中项法，通项公式法定义法，中项法，通项公式法7.等比数列的增减性：等比数列的增减性：911(1)(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq11(1)(2)(1)1nnnaqSaa qqq8.等比数列的前等比数列的前n项和公式：项和公式：(3)对含字母的题目一般要分别
5、考虑对含字母的题目一般要分别考虑q=1和和 q1两种两种情况情况.等比数列的等比数列的q1等价于等价于 Snkqn-k1011 .,32232dmSSSSSmmmmm也也是是等等差差数数列列，公公差差为为 .,232kdaaaakmkmkmm仍仍是是等等差差数数列列，公公差差为为 12112212 nnaanS证明：证明：nnaan 212 nan12 12122 nnaaSS偶偶奇奇21 na11 nnSS偶偶奇奇131415123,a a a24a 2nanb 1 3bb例例2、设实数、设实数成等差数列，且成等差数列，且。若定义若定义，则，则的值是的值是 .162a2b2ccb1ac 1b
6、a 1例例3、a，b，c are different form each，but，is in an arithmetic progression.So,.So,（A A）not only not only an arithmetic progression but also a geometric progression.（B B）neither neither an arithmetic progression nor a geometric progression.（C C）an arithmetic progression but not a geometric progression.
7、（D D）a geometric progression but not an arithmetic progression.（英汉词典：英汉词典：arithmetic progression 等差数列；等差数列；geometric progression等比数列等比数列）is in（）17成等差数列222,cba解：解：2222bcab)()(bcbcabababbcbcab)(又又)()()()(11cbacabbcbccbacabcbac18)()(acabbcacab11cb 1，ac 1,ba 1成等差数列；成等差数列；a，b，c互不相等互不相等cb 1，ac 1,ba 1不成等比数
8、列；不成等比数列；选选C不是常数列；不是常数列；cb 1，ac 1,ba 119例例4 Ten players took part in round-robin touynament(i.e every player must play against every other player exactly once).There were no draws in this tournament.Suppose that the first player won games,the second player won games,the third player won games and so
9、 on.The value of is=1x2x3x1021xxx4520 na1a12nnSnSnna例例5、已知等差数列、已知等差数列的首项为的首项为，前，前n项的和项的和成立，则成立，则 .为为Sn使等式使等式解：12nnSnSn由由nnSSannn21nSann211112nnnaS11)(nnnaaan11aaann na是等差数列是等差数列1ad 111)1(naanaan1na21*11(1)(),0,nnnananNana6、若数列、若数列则则(A）是等比数列但不是等差数列）是等比数列但不是等差数列 (B)是等差数列但不是等比数列是等差数列但不是等比数列(C)是等差数列也是等比
10、数列是等差数列也是等比数列 (D)不是等差数列也不是等比数列不是等差数列也不是等比数列（）22423na1221nnaaa1a22221naaa例例6、数列数列中，中，则则_，_13122n24111ba33b Snab数列数列an是各项均为正数的等差数列，前是各项均为正数的等差数列，前n项的项的和为和为Sn。数列。数列bn是等比数列，且满足是等比数列，且满足，144，求数列求数列an，bn的通项公式。的通项公式。的公比的公比16，an2n1，1n1*44nnnbN或（），25261(06）等差数列的首项，且存在唯一的）等差数列的首项，且存在唯一的使得点在圆使得点在圆 上，则这样的等差数上，则
11、这样的等差数列共有个列共有个 解：解：d设公差为设公差为 ，则则 ,dkak)1(8又点又点 圆圆 上上,),(kak22210 yx所以所以2100kak于是于是,当当 时时,1k181002kkd易知当易知当k=2,3,.,10时时d有个首项为，公有个首项为，公差相异的等差数列差相异的等差数列当当k=1时点（，）不在圆上，故所时点（，）不在圆上，故所求的等差数列共有个求的等差数列共有个na81ak),(kak22210 yx27（06）在正奇数非减数列）在正奇数非减数列中，每个正奇数出现次，已知存在整数中，每个正奇数出现次，已知存在整数 对所有的整数满足其中表示不对所有的整数满足其中表示不
12、超过超过 的最大整数，的最大整数，则则 等于等于 。,5,5,5,5,5,3,3,3,1nakk,dcbn,dcnbanxxdcb解：解：将已知数列分组为将已知数列分组为（），（，），（，（），（，），（，），），（，（2k-1,2k-1,2k-1)则有则有112531132531knk12 kan设设 在第在第k组，组，na28 即即11)1(22knk111nkn,0k注意到解得注意到解得 1111nnk112nan21)1(2dcb29nadnbq,211dbda321232221bbbaaaq解：解：因为因为221112121213212322211142)(qqqbqbbdadaab
13、bbaaa已知等差数列的公差不为，等比已知等差数列的公差不为，等比数列的公比是小于的正有理数若数列的公比是小于的正有理数若且是正整数，则等于且是正整数，则等于故由已知条件知道：故由已知条件知道：)(1412Nmmqq30mmmq4356211144121135,3141mm由于由于q是小于的正有理数是小于的正有理数,所以所以且是某个有理数的平方，由此可知且是某个有理数的平方，由此可知mm435621q3111、111112232007200820082009 25、设数列、设数列an的各项依次是的各项依次是1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,，（，（1个个1，2个个2，k个个k，）则数列的第则数列的第100项等于项等于 ；前前100项之和等于项之和等于 32求数列求数列 的前的前n项之和项之和.例题讲解例题讲解例例1 设数列设数列 的前的前n项和项和数列数列 满足满足 ,.),2,1(12naSnnnb,.)2,1(,311kabbbkkknbna33例例2 各项都是正数的数列各项都是正数的数列an中，若前中，若前n项的项的和和Sn满足满足2Sn=an+na1,求此数列的通项公式求此数列的通项公式.348、等差数列前、等差数列前p项的和为项的和为q，前，前q项的和为项的和为p，()pq则前则前pq项的和为（项的和为（）（A）pq (B)pq (C)pq (D)pq3536
