1、 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系F3F2F1FnA2-1 平面汇交力系平面汇交力系 工程中的力系几乎都是空间力系，但可以简化为平面力系工程中的力系几乎都是空间力系，但可以简化为平面力系来研究。来研究。平面力系是指：所有力的作用线在同一平面内。平面力系是指：所有力的作用线在同一平面内。 根据力作用线的情况又可分为平面汇交力系、平面平行力根据力作用线的情况又可分为平面汇交力系、平面平行力系、平面任意（一般）力系。系、平面任意（一般）力系。 问题：问题：1 1汇交于一点的汇交于一点的 n 个力对物体的作用效应可个力对物体的作用效应可不可以用一个合力来等
2、效？不可以用一个合力来等效？ 2 2如果物体平衡如果物体平衡, ,这个这个n个力满足什么关系？个力满足什么关系？ 1、平面汇交力系：平面汇交力系：各力作用在同一平面内，且作用线汇各力作用在同一平面内，且作用线汇交于一点，或作用在同一点。如图交于一点，或作用在同一点。如图 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系R121.niniiFFFFFF3R 21231()iiFFFFF211RFFF2、平面汇交力系的合成（求合力）的几何法、平面汇交力系的合成（求合力）的几何法F3F2F1FnAF1F2F3FnFRabcdeabcdeF1F2FnF3FR力多边形法则力多边形
3、法则 合力合力FR 就是力多边形的封闭边就是力多边形的封闭边 。FR1FR2根据矢量运算根据矢量运算的交换律：的交换律：上述多边形称为力多边形，上述多边形称为力多边形， 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 表现为该力系的力多边形的封闭边表现为该力系的力多边形的封闭边长度为零，长度为零，即以即以 n 个力为边的多边形自行封闭。个力为边的多边形自行封闭。3、平面汇交力系平衡的几何条件、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充分必要条平面汇交力系平衡的充分必要条件是：件是：R10niiiFFF 结论：结论：平面汇交力系可简化为一个合力，其合力的大小与平面
4、汇交力系可简化为一个合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和方向等于各分力的矢量和( (几何和几何和) )，合力的作用点为汇交力，合力的作用点为汇交力系的汇交点。系的汇交点。R0F几何上：几何上：F1F2F3FnFR= 0abcdeFn-1F1F2F3FnFRabcdeFR1FR2R10niiiFFF结论：结论： 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系当投影轴为正交轴，当投影轴为正交轴，投影和分力的大投影和分力的大小是相等的。小是相等的。1力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴的分力力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴的分力4、平面汇交力系合成的解析法、平面汇交力系合成的
5、解析法FxyFxFyabOcosxFFacosyFFbFFxFyxyijOxyxyFF FFFij注意：注意：力在坐标轴上的投影和沿坐标轴的分力是两个概念，力在坐标轴上的投影和沿坐标轴的分力是两个概念，投影是代数量而分力是矢量。投影是代数量而分力是矢量。 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系当投影轴为非正交时当投影轴为非正交时， 因此，为方便计算，通常将坐标轴设为正交。因此，为方便计算，通常将坐标轴设为正交。FxyFxFyabOcosxFFacosyFFbFFxFyxyijOxy FFF 投影和分力的大小是不等的。投影和分力的大小是不等的。 2-1 平面汇交
6、力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系2平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法iFFRyxOF3F2F1FnAFR几何法知：几何法知：由矢量投影定理：合矢量在某由矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在一轴上的投影等于各分矢量在该轴上投影的代数和该轴上投影的代数和12=+.+RxixxxnxFFFFF合力的大小为：合力的大小为：2R2RRyxFFF合力方向为：合力方向为： RRcos(, )RxFFiFRRcos(, )RyFFjF12=+.+RyiyyynyFFFFF 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系5、平面汇交力
7、系平衡的数学条件与平衡方程平面汇交力系平衡的数学条件与平衡方程解析条件解析条件R0 xixFFR0yiyFF0RF22RRR0 xyFFF平衡平衡平衡方程平衡方程 结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系中所有力系中所有力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。000ixxFFX 000iyyFFY 12.0 xxixnxFFFF12.0yyiynyFFFF 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系6、注意问题、注意问题:1x轴和轴和y轴只要不平行即可；但为了计算方便，通常取为轴只要不
8、平行即可；但为了计算方便，通常取为垂直轴；垂直轴；2平面汇交力系只有两个平衡方程，最多只能求解两个未平面汇交力系只有两个平衡方程，最多只能求解两个未知量。平面上一个大小和方向未知的力是两个未知量；知量。平面上一个大小和方向未知的力是两个未知量；3未知力的指向可以假设未知力的指向可以假设, 如果求出负值，说明假设方向与如果求出负值，说明假设方向与实际相反；实际相反；4投影轴最好选择与未知力的作用线垂直，使方程中的未投影轴最好选择与未知力的作用线垂直，使方程中的未知量尽可能少。知量尽可能少。 利用平衡方程，已知一些力可以求未知力利用平衡方程，已知一些力可以求未知力 2-1 平面汇交力系平面汇交力系
9、 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系例例2-1 已知：已知：AC=BC,F=10kN 各杆自重不计；求杆各杆自重不计；求杆CD及铰及铰链链 A 处的约束力（反力、力）处的约束力（反力、力）. 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系量得量得FA FC长度，按比例长度，按比例28.,22.CAFFkNkN 2、用几何法：画封闭力三角形、用几何法：画封闭力三角形.解解: : 1、CD 为二力杆，取为二力杆，取AB 杆为研究对象，画受力图杆为研究对象，画受力图.FAFC F 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 解以上方程可求得
10、解以上方程可求得 ,CAFF 3、用解析法：水平轴为用解析法：水平轴为x轴，垂直轴为轴，垂直轴为y轴，由平衡方程轴，由平衡方程00cos45cos0 xCAFFF 00sin45sin0yCAFFFF 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系T0:coscos450 xAFFFT0:sinsin450yAFFFF例例2-2: : 已知已知 F=2 KN, , 求求支座支座A和杆和杆CD所受力。所受力。解解: 1. : 1. 取杆取杆AB为研究对象为研究对象 画杆画杆AB的受力图的受力图2. 2. 建坐标系，列平衡方程建坐标系，列平衡方程0.41tan1.23EB
11、ABTTcos454.24 kN,3.16 kNsin45cos45 tancosAFFFF3. 3. 解方程解方程FE45 FTFAxyBAC45DACBF0.8m0.4m 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系例例2-2 已知：已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P = 20kN；求：；求：系统平衡时系统平衡时，杆，杆 AB,BC 的力的力. .解：解：1 1、AB、BC 杆为二力杆；杆为二力杆；2、建图示坐标系，列方程、建图示坐标系，列方程 取滑轮取滑轮B（或点（或点B）为研为研究对象，画受力图究对象，画
12、受力图. .ABD30CP60 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系060cos30cos21FFFBC0yF ：kN32.27BCF12FFP注注意意到到：7.32BAF kN0 xF ：12cos60cos300BAFFF3 3、解方程解方程ABD30CP60 2-1 平面汇交力系平面汇交力系F1 = F2 = P 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系课堂讨论课堂讨论: :求图示平面刚架的支座反力。求图示平面刚架的支座反力。解解: : 以刚架为研究对象以刚架为研究对象, , 受力如受力如图图, , 建立如图坐标。建立如图坐标。0:xF由几何关系由几何关
13、系552cos,55sinaa解得解得51,22ABFFFF0:yFFAB4m8mFFBFAABacos0AFFasin0ABFFa 2-1 平面汇交力系平面汇交力系 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系为力为力F 对对O点的矩，简称力矩：点的矩，简称力矩： 力可以使物体力可以使物体移动移动 取决于力的大小、方向；取决于力的大小、方向；力可以使物体力可以使物体绕某一点转动绕某一点转动取决于：取决于：2-2 平面力对点之矩平面力对点之矩 O称为称为矩心矩心、O 点与力点与力F 所确所确定的平面称为定的平面称为力矩作用面力矩作用面、O点点到力的作用线的距离到力的作用线的距离h称为称为力臂力臂.
14、.力矩的大小：力矩的大小：力力F 的大小与的大小与O点到力作用线距离点到力作用线距离h 的乘积的乘积 Fh力矩的转向：力矩的转向：使物体绕使物体绕O点逆时针转动为正，反之为负点逆时针转动为正，反之为负FOhhF)F(MO1、定义：、定义：力力F 使物体绕使物体绕O点转动的效应，由两点转动的效应，由两个要素决定：个要素决定：-度量（度量（力使物体绕力使物体绕O点）转动效应点）转动效应 2-2 平面力对点的矩平面力对点的矩 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系1 1平面力对点之矩是一个代数量，它的大小：等于力的大小平面力对点之矩是一个代数量，它的大小：等于力的大小与力臂的乘积；它的正负：力使物体
15、绕矩心逆时针转向时为与力臂的乘积；它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负正，反之为负. .常用单位常用单位 或或mNmkN2 2如果力的作用线通过如果力的作用线通过O点，即点，即力臂为零，对力臂为零，对O点的矩为零。这点的矩为零。这时力时力F不会使物体绕不会使物体绕O点转动。点转动。FOh3 3如果力沿作用线移动，力的大如果力沿作用线移动，力的大小和力臂不会变化，力矩不变。小和力臂不会变化，力矩不变。 2-2 平面力对点的矩平面力对点的矩提示：提示： 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系FFxFyxyO A(x,y) 平面汇交力系的合力平面汇交力系的合力 对平对平面上任意面上任意
16、 O 点的矩等于各分力点的矩等于各分力Fi 对对O点力矩的代数和，即点力矩的代数和，即RF2、合力矩定理、合力矩定理该结论不仅适用于平面汇交力系，也适用任何合力存在的力系该结论不仅适用于平面汇交力系，也适用任何合力存在的力系R()OOiMM (F )F3、力矩的解析求法、力矩的解析求法sincosOOyOxyxM (F)M (F )M (F )x Fy FxFyFiiyiixx Fy FyxOFiF2F1FnAFR 2-2 平面力对点的矩平面力对点的矩 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系解解: : 按按定义求：定义求： cos78.93N mOMFF hF r 用合力矩定理求：用合力矩定理
17、求： cos78.93N mOOtOrMFMFMFF r例例2-3,2060mmr 已知已知: : N,1400F求求: :)(FMO 2-2 平面力对点的矩平面力对点的矩 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系( )( )ABMFMF、课堂讨论：课堂讨论： 求力求力F 对对A、B的矩的矩FABbaa()()()+0AAxAyMFMFMFbFcosFsinbFcosaaa ()()()+BbxbyMFMFMFbFcosaFsinaa FxFy 2-2 平面力对点的矩平面力对点的矩 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 习题：习题：2-3、4要求：要求：1 1、必须用工具画图；、必须用工具画图
18、； 2 2、写题号抄题；、写题号抄题； 3 3、字迹清楚可识别。、字迹清楚可识别。 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 两个力作用线两个力作用线之间的距离之间的距离d 称为力偶臂称为力偶臂. .1、力偶定义：由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成力偶定义：由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为一个力偶。的力系称为一个力偶。FF,力偶中两力所确定的平面称为力偶作用面，力偶中两力所确定的平面称为力偶作用面，FFd2-3 平面力偶平面力偶记为记为 2-3 平面力偶平面力偶 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系取决于两个要素：取决于两个要素： 力偶的大小：力偶的大小：Fd 力偶的转
19、向：逆时针为正力偶的转向：逆时针为正2、力偶的力偶矩、力偶的力偶矩 显然：力偶对物体的作用效应是使物体转动，但物体怎么转？显然：力偶对物体的作用效应是使物体转动，但物体怎么转？转得快还是慢？转得快还是慢？将两个要素合在一起，定义为将两个要素合在一起，定义为力偶的力偶矩力偶的力偶矩FFdDABC2ABCMFdA 3 3、力偶的性质与等效定理、力偶的性质与等效定理1 1力偶（的两个力）在任意坐标轴上的投影等于零。力偶（的两个力）在任意坐标轴上的投影等于零。因此：计算力在坐标轴上的投影时不用计算力偶的投影。因此：计算力在坐标轴上的投影时不用计算力偶的投影。2 2力偶对（作用面内）任意一点的矩等于力偶
20、矩。力偶对（作用面内）任意一点的矩等于力偶矩。 因此因此: 在计算所有的力对某一点的矩时，力偶对某一点的矩在计算所有的力对某一点的矩时，力偶对某一点的矩不用计算，就是力偶矩本身。不用计算，就是力偶矩本身。 ,OOOM F FM FM FF d xF x Fd FFdDABCox 2-3 平面力偶平面力偶d 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系3 3力偶的两个力不能合成为一个力，力偶的两个力不能合成为一个力， 也不能与一个力等效，也不能与一个力等效，也不能与一个力平衡；也不能与一个力平衡；思考：力偶的两个力能不能思考：力偶的两个力能不能合成为一个力？合成为一个力？ 力偶只能与力偶等效，也只能与
21、力偶力偶只能与力偶等效，也只能与力偶平衡。平衡。因此：力偶和力一样，同为力学的两个基本要素因此：力偶和力一样，同为力学的两个基本要素 ！思考题：图示轮子上的思考题：图示轮子上的力力P P为什么能与力偶为什么能与力偶 平衡呢？平衡呢？ POR FOFFdFFFF,不能平衡不能平衡能平衡能平衡实际上实际上（FC，P ）构成构成了一个力偶。了一个力偶。 2-3 平面力偶平面力偶 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系4平面力偶的等效定理：平面力偶的等效定理： 定理：定理：平面内两个力偶，如果它们的力偶矩相等，则两力平面内两个力偶，如果它们的力偶矩相等，则两力偶等效。偶等效。由这个定理立即可以推出以下
22、结论：由这个定理立即可以推出以下结论：推论：推论：只要保持力偶矩不变，只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意搬动；力偶可在其作用面内任意搬动； 只要保持力偶矩不变，只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短。小与力偶臂的长短。PPhD FFd 如果如果+Fd=+Ph，则，则= 2-3 平面力偶平面力偶 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系以后：力偶用一以后：力偶用一个带转向的圆弧个带转向的圆弧及字符及字符 M 表示，表示， 而不必画两个平而不必画两个平行力行力12nMMMMiM 已知：平面平面力偶系已知：平面平面力偶系;,21nMMM4 4、平面
23、力偶系的合成和平衡条件、平面力偶系的合成和平衡条件 1合成：合成： 2 2平衡：平面力偶系平衡的充要条件平衡：平面力偶系平衡的充要条件 ，或者，或者0M=0iM 即平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有力即平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有力偶的力偶矩之代数和等于零偶的力偶矩之代数和等于零. .称为平面力偶系平衡方程称为平面力偶系平衡方程12=0nMMM 2-3 平面力偶平面力偶方程方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系例例2-5 2-5 图示结构，已知图示结构，已知M=800N.m，求，求A、C两点的约束反力。两点的约束反力。(,)0.255(. )CACCM RRRdRN m 0
24、iM0CR dM3137CAMRRNd解：解：注意到注意到BC为二力杆，为二力杆，以整体或者以整体或者AB为研究对象：为研究对象： 2-3 平面力偶平面力偶 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系例例2-6 2-6 图示杆系，已知图示杆系，已知m、l。求求A、B处约束力处约束力。解：解：1 1、 首先分析杆首先分析杆ADAFCF2 2、然后取整体为研究对象、然后取整体为研究对象AFBF0AABF lmmFFl注意：力偶可在其作用面注意：力偶可在其作用面内任意搬动，但不能从一内任意搬动，但不能从一个物体搬到另一个物体上个物体搬到另一个物体上 2-3 平面力偶平面力偶 理论力学理论力学 2 平面力
25、系平面力系解：解：1、首先分析杆首先分析杆BC2、然后分析然后分析整体整体ACDBFCFmCF00sin45 + =0 2sin45AABF lmmmFFllAFAFBF 2-3 平面力偶平面力偶 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系例例2-7求：平衡时的求：平衡时的 及铰链及铰链 处的约束力处的约束力. .2M;30,m5 . 0,mkN21rOAM已知已知BO,解：取轮为研究对象解：取轮为研究对象, ,由力偶只能由由力偶只能由力偶平衡的性质力偶平衡的性质, ,画受力图画受力图. . 2-3 平面力偶平面力偶 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系0M0sin1rFMA解得解得 8kNOA
26、FF0M0sin2MrFA解得解得 28kN mM 8kNBAFF取杆取杆 ，画受力图，画受力图. .BC解：取轮为研究对象解：取轮为研究对象, ,由力偶只能由力偶平衡的性质由力偶只能由力偶平衡的性质, ,画受力图画受力图. . 2-3 平面力偶平面力偶 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 习题：习题：7、8、10要求：要求：1 1、必须用工具画图；、必须用工具画图； 2 2、写题号抄题；、写题号抄题； 3 3、字迹清楚可识别。、字迹清楚可识别。 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系平面汇交力系合成与平衡：平面汇交力系合成与平衡：F3F2F1FnAF1F2F3FnFRAR1niiFF平面
27、力偶系的合成与平衡：平面力偶系的合成与平衡：M1M2MMniMM 上次课主要内容上次课主要内容R10niiFF0iMM 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 1、平面任意力系：平面任意力系：各力作用在同一平面内，既不全部平各力作用在同一平面内，既不全部平行也不汇交于一点。行也不汇交于一点。O F1 F2Fn2-4 平面任意力系平面任意力系=OxyijMOFR为此我们先讨论一个定理为此我们先讨论一个定理 我们期望找我们期望找到一个简单力到一个简单力系（一个力系（一个力+ +一个力偶）、一个力偶）、OxyijFR或找一个合力或找一个合力来等效代替这来等效代替这个力系对物体个力系对物体的作用。的作
28、用。=O F1 F2Fn的简化的简化2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系2、力的平移定理、力的平移定理 定理：定理：作用在刚体上作用在刚体上A点的力点的力F，可以平行移动到刚可以平行移动到刚体上任一体上任一B点，但必须同时附加一个力偶，这个力偶的点，但必须同时附加一个力偶，这个力偶的力偶矩等于原作用在力偶矩等于原作用在A的力的力F对对B点的矩。点的矩。 特别提示：特别提示：上面分析的逆步骤，可以将一个力和一个上面分析的逆步骤，可以将一个力和一个力偶合成一个力。力偶合成一个力。ABMABFFFFABF( )BMM FFdd=FFF,F F 2-4 平面
29、任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系简化思路：简化思路： 取一点取一点O，将所有将所有的力平行移动到的力平行移动到O点，点， 并同时并同时附加力偶，得到一个平面汇交附加力偶，得到一个平面汇交力系和一个平面力偶系，再将力系和一个平面力偶系，再将平面汇交力系、平面力偶系分平面汇交力系、平面力偶系分别合成。别合成。OxyijOOxyF1F2FnF1F2FnMnM2M1MOFR11FF11()OMMF3、平面任意力系向作用面内一点简化、平面任意力系向作用面内一点简化22 FF22()OMMF
30、nn FF()nOnMMF平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化主矢和主矩主矢和主矩 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系1212nRni FFFFFFFF我们把我们把 FR称为原力系的主矢，把称为原力系的主矢，把MO 称为原力系的称为原力系的主矩主矩。平面任意力系平面任意力系一个力一个力 + + 一个力偶一个力偶Mo向一点简化向一点简化1212()()()()OnOOOnOiMMMMMMMM FFFF注意：注意：FR、MO 任一任一 都不能与原力系等效，因此都不能与原力系等效，因此FR不能称不能称为原力系的合力，为原力系的合力， MO也不能称为
31、原力系的合力偶也不能称为原力系的合力偶;OxyijMOFROF1F2FnRF2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 结论：结论：平面任意力系向作用面内任一点平面任意力系向作用面内任一点O 简化，可得一个力和简化，可得一个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢，一个力偶。这个力称为原力系的主矢，这个力偶称为原力系的主矩。这个力偶称为原力系的主矩。 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 ( )OOiiiMM FFd主矩主矩主矢主矢RiFF OxyijMOFRRxixFFRyiyFF22()()RixiyFFF RRcos( , )ixFFiFRRcos( , )iyFFjF主矢作用在简化中心主矢
32、作用在简化中心O 点，其大点，其大小、方向与简化中心位置无关。小、方向与简化中心位置无关。 结论：结论：平面任意力系可简化一个力（平面任意力系可简化一个力（主失主失）和一）和一个力偶（个力偶（主矩主矩）。）。一般与简化中心位置有关。一般与简化中心位置有关。2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系简化结果的一个应用：简化结果的一个应用：平面固定端约束平面固定端约束2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 物体（主要是杆件）的一端完全固定在（插入）另一物体物体（主要是杆件）的一端完全固定在（插入）另一物体上所构成的约束称为上所构成的约束称为固定端或插入端支座
33、固定端或插入端支座。AAAMAFAyFAxFAMAA 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 这说明原力系与一个力等效，即这说明原力系与一个力等效，即简化结简化结果为作用在简化中心果为作用在简化中心 O 点的一个合力。点的一个合力。4、平面任意力系的简化结果分析、平面任意力系的简化结果分析0RF0OM1这种情况：主矩与简化中心位置有关。这种情况：主矩与简化中心位置有关。问题：这种情况下如果向另外一点如问题：这种情况下如果向另外一点如O1 点简化，点简化，M1 会不会仍会不会仍然为零？然为零？OxyijFRO F1F2FnOxyijMOFR2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力
34、学 2 平面力系平面力系这说明原力系与一个力偶这说明原力系与一个力偶等效，即等效，即简化结果为一个简化结果为一个合力偶合力偶。问题：如果向另一点问题：如果向另一点 简化，结果如何简化，结果如何? ?1O0RF0OM2这种情况：主矩与简化中心的位置无关。这种情况：主矩与简化中心的位置无关。O F1F2FnOxyijMOOxyijMOFR仍为一个力偶！仍为一个力偶！2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系F4F1F2F3ABCD思考：下面三个力系的简化结果是什么结果？思考：下面三个力系的简化结果是什么结果？F4F1F2F3ABCDF4F1F2F3ABCD2-
35、4 平面任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系FRdFRFRFRMOFROOdOOOF1F2FnORMdFRRRFFF 0RF0OM3还可以继续简化为作用在还可以继续简化为作用在O点点的一个合力。的一个合力。MOFROOO2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和，即于力系中各力对同一点的矩的代数和，即()OROMMF()OiM FFRdOO 合力矩定理：合力矩定理：R()()OOiMFMFMOFROOOF1F2F
36、n2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系这相当于物体上没有任何力这相当于物体上没有任何力和力偶的作用。和力偶的作用。这种情况当然与简化中心的位置无关。这种情况当然与简化中心的位置无关。0RF0OM4 力系或物力系或物体平衡。体平衡。O F1F2FnOxyijOxyijMOFR2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化R0F 0OM 力系平衡力系平衡 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系(1)均布荷载均布荷载qlQ(2)三角形荷载三角形荷载12qlQ lq几种分布荷载的等效集中力几种分布荷载的等效集中力l/2l/2QQ23l3lql(3)梯形荷载：梯形荷
37、载： 可以看作可以看作一个三角形荷载和一个均一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加布荷载的叠加lq2q1等效集中等效集中力的大小力的大小等于荷载等于荷载图形的面图形的面积；积；方向方向与线荷载与线荷载的方向相的方向相同；同；作用作用线通过荷线通过荷载图的形载图的形心。心。2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系合力作用线：合力作用线：0( )lcRxq xdx x得得23cxl解：设等效集中力解：设等效集中力R 的作的作用距离为用距离为xc ，例例2-52-5已知：已知：求合力及合力作用线位置求合力及合力作用线位置. .;,lqxcRyxxl( )xq x
38、dxqdxl0=( )lRq xdx合力大小：合力大小：0lxqx dxl 分析分析dx长度长度上集中力上集中力12ql2-4 平面任意力系简化平面任意力系简化 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系力系的主矢和主矩都等于零力系的主矢和主矩都等于零2-5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程1、平面任意力系平衡方程的基本形式、平面任意力系平衡方程的基本形式0RF0OM要要 ，必须，必须 同时同时为零。由此立即推出平面任意力系的为零。由此立即推出平面任意力系的平衡方程的基本形式：平衡方程的基本形式：R0F 0RxixRyiyFFFF ， 00()0 xyOiFFMF称
39、为平衡方程的基本形式称为平衡方程的基本形式X0Y00OM或简写为或简写为 平面任意力系平衡的解析条件是：各力在平面任意力系平衡的解析条件是：各力在两个任选的坐标两个任选的坐标轴轴上的投影的代数和分别等于零，各力对于上的投影的代数和分别等于零，各力对于任意一点的矩任意一点的矩的的代数和也等于零。代数和也等于零。平面任意力系平衡平面任意力系平衡4O F1F2FnOxyij2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 理论上只要不平行即可，但为计算方便，选为理论上只要不平行即可，但为计算方便，选为正交投影轴；正交投影轴；平衡方程的二矩式平衡方程的二矩式000BAx
40、MMF 条件：条件：x 轴不得垂直轴不得垂直 A、B 的连线的连线平衡方程的三矩式平衡方程的三矩式000CBAMMM 条件：条件：A、B、C 不得不得共线共线2 2、平面任意力系平衡方程的其他形式、平面任意力系平衡方程的其他形式 注意：坐标轴注意：坐标轴 也就是：在给定的条件下，以上两种形式的平衡方程与基也就是：在给定的条件下，以上两种形式的平衡方程与基本平衡方程等价。本平衡方程等价。2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系3、平面平行力系的平衡方程、平面平行力系的平衡方程 0 xF 不妨取不妨取x 轴与力线垂直时，则基本方程中轴与力线垂直时，则基本方程
41、中 是是自动成立的，因此平面任意力系平衡方程只有两个独立方自动成立的，因此平面任意力系平衡方程只有两个独立方程：程：0 xF 当投影轴与力线都不垂直时，基本方程中当投影轴与力线都不垂直时，基本方程中 实际上是同一个方程，因此平面任意力系平实际上是同一个方程，因此平面任意力系平衡方程也只有两个独立方程。衡方程也只有两个独立方程。 0yF2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系条件：条件：AB连线不得与各力平行。连线不得与各力平行。00BAMM平面平行力系的独立方程为两个平面平行力系的独立方程为两个条件：各力不得与条件：各力不得与y轴垂直；轴垂直；00AyM
42、F2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系求得求得 解：用三力汇交确定解：用三力汇交确定FA，得到，得到一个平面汇交力系，列平衡方程一个平面汇交力系，列平衡方程00cos45cos0 xCAFFF 00sin45sin0yCAFFFF例例2-6已知：已知：,10kNACBCl F求：求： 铰链铰链 和和 杆受力杆受力. .ADCkN4.22,kN3.28ACFF2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程FAyFAxFcC 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系用平面一般力系方法求解用平面一般力系方法求解0:xF 0:yF cos450AxCFF0:AM解得
43、解得28.32010CAxAyFFF kNkNkN解：解： 取取 梁，画受力图梁，画受力图. .AB045sinFFFCAysin4520CFlFl FAyFAxFcC 思考：思考：C处的作用力处的作用力 FC 由二力杆确定，如果将其分解为两个由二力杆确定，如果将其分解为两个力行不行呢？力行不行呢？2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系例例2-7 求图示梁的支座反力。求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象解：以梁为研究对象, , 受力如图。受力如图。0:cos0 xAxFFP0:sin0yAyBFFFP0:sin()0ABMF aPabm解之得解之得c
44、osAxFP sin ()BmPabFasinAymPbFa ABCPab mFBFAyFAx求得的求得的FAx和和FAy为负为负, , 说明实际与图中假设方向相反。说明实际与图中假设方向相反。0:sin0BAyMaFmbP2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系例例2-8 2-8 自重为自重为P100 kN的的T T字型刚架字型刚架ABD, 置于铅垂面内置于铅垂面内, , 载荷如图所示。其中载荷如图所示。其中 M20 kNm, F400 kN, q20 kN/m, l1 m。试求固定端试求固定端A A的约束力。的约束力。MFllADB303lqP解解:
45、 1: 1、取、取T T字型刚架为研字型刚架为研究对象，分析其受力并画究对象，分析其受力并画出受力图；出受力图； 其上除主动力外，还其上除主动力外，还受有固定端受有固定端A A处的约束力处的约束力FAx、FAy和约束反力偶和约束反力偶MA 三角形分布荷载可三角形分布荷载可等效等效为一个集中力为一个集中力F1q3l/230 kN。作用线到作用线到A端距离端距离等于等于l2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系MFADB30PMFllADB303lqPyxlF1MAFAxFAy2 2、列平衡方程、列平衡方程10:sin600 xAxFFFF0:cos600y
46、AyFFPF()0:AMF1cos60sin60 30AMMFlFlFl 2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系3 3、解方程求得、解方程求得1sin60316.4 kNAxFFFcos60300 kNAyFPF1cos603sin601188kN mAMMFlFlFl 负号说明图中所设方向与实际情况相反，即负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 应为顺应为顺时针转向。时针转向。2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系例例2-92-9已知：已知：110kN,P 240kN,P 尺寸如图。尺寸如图。解：解：取
47、起重机为研究对象，画受力图取起重机为研究对象，画受力图. . 0 xF 0yF0AM 0AxBFF120AyFPP125 1.53.50BFPP 解得解得50kNAyF31kNBF 31kNAxF求：求：轴承轴承 处的约束力处的约束力. .BA,2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系 0 xF0AM 0yF0AxF4220BFaMPaqa a3142BFPqa20AyBFqaPF342AyPFqa例例2-10 已知：已知： 求求支座支座A、B 处的约束力处的约束力。qaMaqP,解：取解：取 梁，画受力图梁，画受力图. .AB2-5 平面力系平衡方程平
48、面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系解：研究起重机，画受力图解：研究起重机，画受力图. .1 1、满载要翻到时，、满载要翻到时，0,AF 在此平衡状态下所对应的在此平衡状态下所对应的P3为为安全所必须的最小配重：安全所必须的最小配重： 0BM0102821min3PPP解得解得12700kN,200kN,PP最最大大起起重重量量例例2-11 2-11 已知：已知：m4AB求：（求：（1 1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重 ；（2 2） ，轨道，轨道 对起重机轮子的约束力。对起重机轮子的约束力。AB3PkN1803PkN75min3PP3
49、P1P2FAFB2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系375kN350kNP 0AM041424213BFPPP0iyF0321PPPFFBA2 2、空载，、空载，0,BF 在此平衡状态在此平衡状态下所对应的下所对应的P P3 3为安全所容许的最大为安全所容许的最大配重：配重： 0AM4 4、P P3 3 =180kN=180kN时时kN210AFkN870BF解得解得kN350max3F0241max3 PP3 3、空载、满载都不翻到，、空载、满载都不翻到，P3P1P2FAFB2-5 平面力系平衡方程平面力系平衡方程 理论力学理论力学 2 平面力系平
50、面力系 习题：习题：2-12、13、17、18要求：要求：1 1、必须用工具画图；、必须用工具画图； 2 2、写题号抄题；、写题号抄题； 3 3、字迹清楚可识别。、字迹清楚可识别。 理论力学理论力学 2 平面力系平面力系解：解：1、以刚架为研究对象，受力如图、以刚架为研究对象，受力如图0:0 xAxFFqb0:0yAyFFP()0:AMF0212qbPaMA3、解方程：、解方程：AxFqbAyFP212AMPaqb基础练习基础练习 已知：已知：P、q、a、b，求图示刚架的约束反力。，求图示刚架的约束反力。APabqFAyFAxMA2、由平衡条件列方程：、由平衡条件列方程：2-5 平面力系平衡方
