1、四、典型例题四、典型例题： 1. 求长度为求长度为L的金属杆在均匀磁场的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定中绕平行于磁场方向的定 轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场B的方位的方位 角为角为 ，杆的角速度为，杆的角速度为 ，转向如图所示。，转向如图所示。B L 22000sin21sinsinsin)(BLdllvBdlldBvLLbab解：解： 电动势的方向从电动势的方向从a b vB)(Bvab 2、半径为、半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为的金属圆环，置于磁感应强度为B的均匀磁场的均匀磁场中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗
2、细的金属中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗细的金属直线放在金属环上，当直导线以直线放在金属环上，当直导线以v 在圆环上向右运动到离在圆环上向右运动到离环心环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处产生的磁感应强处时。求：此时感应电流在环心处产生的磁感应强度。（设金属单位长度的电阻为度。（设金属单位长度的电阻为r0） vbcaO解：解：由由 得得baldBv)(vBaldBvcbbc3)(方向：方向：c b vbcaOII1I2r1r2利用几何关系利用几何关系0201032343arrarrarr02121)943(arrrrrrR0)943(3rvBRIbc2:1:212211IIrIr
3、IaIRIBaIRIB623132321010210101二者大小相等，方向相反，二者大小相等，方向相反，互相抵消互相抵消aIrIB23)cos(cos4021003.如图所示，一长直导线中通有电流如图所示，一长直导线中通有电流I，有一垂直于导线、，有一垂直于导线、长度为长度为l 的金属棒的金属棒AB在包含导线的平面内，以恒定的速度在包含导线的平面内，以恒定的速度沿与棒成沿与棒成 角的方向移动开始时，棒的角的方向移动开始时，棒的A端到导线的距端到导线的距离为离为a，求：任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒，求：任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高哪端的电势高 Ia lvABco
4、scoslnsin2sin2sin)(0coscos0coscosvtavtlaIvdxxIvvBdxl dBvvtlavtavtlavtaBAAB解：解：A点电位高点电位高a+vtcos ox lvAB4.均匀磁场均匀磁场B被限制在半径被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内，方的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场以以dB/dt=1T/s的匀速率增加，已知的匀速率增加，已知 = /3，Oa=Ob=6cm.
5、 求求: 等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。abcdR Bo abndR Bo omabcdtd解：选解：选 abcd 回路的绕行方向顺时针为正，则有回路的绕行方向顺时针为正，则有abmnBSSdBmVdtdBSabmn68. 3方向：逆时针方向：逆时针另由：另由：SdtBldESdtdBSSdtBl dEl dEl dEl dEl dEl dEl dEabmnScdabdacdbcab5.如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流如图所示，在纸面所在的平面内有一载有电流I的无限长直的无限长直导线，其旁另有一边长为导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈
6、的等边三角形线圈ACD该线圈的该线圈的AC边与长直导线距离最近且相互平行今使线圈边与长直导线距离最近且相互平行今使线圈ACD在纸面在纸面内以匀速内以匀速 远离长直导线运动，且与长直导线相垂直求当远离长直导线运动，且与长直导线相垂直求当线圈线圈AC边与长直导线相距边与长直导线相距a时，线圈时，线圈ACD内的动生电动势内的动生电动势 vaIACDvACDAl dBv)(CAl dBv)(1DCl dBv)(2ADl dBv)(3321解：解：aIvlvlB201aIACDv方向：方向：A指向指向ClvBlBvd60cosd)(d260sind60cos2d02xxIv30cos0260sind60
7、cos2laaxxIv23022/3ln63同理alaIv23ln33222021alaalIv其方向为顺时针其方向为顺时针6、两根平行无限长直导线相距为、两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反，载有大小相等方向相反的电流的电流 I，电流变化率，电流变化率 dI /dt = 0一个边长为一个边长为d 的正方形线的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示求线圈中的，如图所示求线圈中的感应电动势感应电动势 ，并说明线圈中的感应电流的方向，并说明线圈中的感应电流的方向 ddII解：解：1.1.规定回路的正方向规定回路的正方向2.2.计算任意时刻的磁
8、通量计算任意时刻的磁通量)(dxIxIB2200BddxdSBddddddxdxIxI3200)(22oxdxddII4320lnId3.3.计算回路中的电动势计算回路中的电动势34234200lndd)(lndddtIdt方向：顺时针方向：顺时针7.一无限长竖直导线上通有稳定电流一无限长竖直导线上通有稳定电流I，电流方向向上。导电流方向向上。导线旁有一与导线共面、长为线旁有一与导线共面、长为L的金属棒，绕其一端的金属棒，绕其一端O在该平在该平面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为，面内顺时针匀速转动，如图。转动角速度为，O点到导线点到导线的垂直距离为的垂直距离为r0 (r0L)。试求金属棒转
9、到与水平面成试求金属棒转到与水平面成 角时，角时，棒内感应电动势的大小和方向。棒内感应电动势的大小和方向。r0Lo IBcoscos:0dldxlrx其中dlxIlldBvLrraocos0002)(解：解：020000cos0coslncos2cos2cos)cos(200rLrrILIdxrxxIoLrrr0dlo IBx8.一个半径为一个半径为a的小圆环，绕着过一条直径的固定轴线作匀的小圆环，绕着过一条直径的固定轴线作匀速转动，角速度为速转动，角速度为 。另有一个半径为。另有一个半径为b的大圆环的大圆环 (ba) ，固定不动，其中通有不变的电流固定不动，其中通有不变的电流I.小环与大环有
10、共同的圆心。小环与大环有共同的圆心。t=0时二环共面。小圆环的电阻为时二环共面。小圆环的电阻为R，自感可以不计。试求自感可以不计。试求:大圆环中的感生电动势。大圆环中的感生电动势。 IbabIB2021解：解：tabIcos222012tbaIMcos220212tbRaIdtdRIsin21220121tRbIaMI2sin8)(2220121tRbIadtd2cos4)(222021 Iba三、计算题三、计算题四、典型例题：四、典型例题：例例1、如图，一个矩形的金属线框，边长分别为、如图，一个矩形的金属线框，边长分别为a和和b（b足够足够长）金属线框的质量为长）金属线框的质量为m，自感系数
11、为，自感系数为L，忽略电阻线框，忽略电阻线框的长边与的长边与x轴平行，它以速度轴平行，它以速度v0沿沿x轴的方向从磁场外进入磁轴的方向从磁场外进入磁感应强度为感应强度为 的均匀磁场中，的均匀磁场中， 的方向垂直矩形线框平的方向垂直矩形线框平面求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式面求矩形线框在磁场中速度与时间的关系式v=v(t)和沿和沿x轴轴方向移动的距离与时间的关系式方向移动的距离与时间的关系式x=x(t)0B0BdtdIL动生电动势：动生电动势：avB0自感电动势：自感电动势：00dtdILavBx00B ab0v00dtdILavBdtdvmaIB0dtdImaBdtvd0220222 v
12、dtvdmLaB2202 tCtCv cossin210 , 0vvt边界条件：tCtCdtdvsincos21maIB002vC 0 , 0It01Ctvcos0vdtx例例2、半径为、半径为R的无限长实心圆柱导体载有电流的无限长实心圆柱导体载有电流I，电流沿轴向，电流沿轴向流动，并均匀分布在导体横截面上一宽为流动，并均匀分布在导体横截面上一宽为R，长为，长为l的矩形回的矩形回路路(与导体轴线同平面与导体轴线同平面)以速度向导体外运动以速度向导体外运动(设导体内有一很小设导体内有一很小的缝隙，但不影响电流及磁场的分布的缝隙，但不影响电流及磁场的分布)设初始时刻矩形回路设初始时刻矩形回路一边与
13、导体轴线重合，求：一边与导体轴线重合，求： (1) t ( ) 时刻回路中的感时刻回路中的感应电动势应电动势 (2) 回路中的感应电动势改变方向的时刻回路中的感应电动势改变方向的时刻 R/vt RRlIv解：解：(1) 取逆时针方向为回路正向取逆时针方向为回路正向lvBlvB21)(201tRIBv 2022022)()(2RIvtRvtvtIB)RvtvtR(Ilv2012 (2) 当当 =0时，时， 将改变方向将改变方向 012RttRvv( 51)2vRt1B2B例例3、如图在真空中两条无限长载流均为、如图在真空中两条无限长载流均为I的直导线中间放置的直导线中间放置一门框形支架一门框形支
14、架(支架固定支架固定)，该支架由导线和电阻联接而成载，该支架由导线和电阻联接而成载流导线和门框形支架在同一竖直平面内另一质量为流导线和门框形支架在同一竖直平面内另一质量为m的长为的长为l的金属杆的金属杆ab可以在支架上无摩擦地滑动将可以在支架上无摩擦地滑动将ab从静止释放。从静止释放。求求 (1) ab上的感应电动势上的感应电动势 (2) ab上的电流上的电流 (3) ab在在t时刻的的速度，时刻的的速度， (4) ab所能达到的最大速度所能达到的最大速度 ccl解：解：)11(20rlcrcIBlabrvB0d)ln(ln20clcclcv Iclcv Iln0clcRv IRIabiln0
15、lirBImgF0dRclcImgv20)ln(tvmddtvtmRvclcIgv0020d)ln(d2020)ln(t)ln(exp1clcImRmRclcIgv202max)ln(clcImgRv例例4 有一很长的长方的有一很长的长方的U形导轨，与水平面成形导轨，与水平面成 角，裸角，裸导线导线ab可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度为可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度为B竖直向上的均匀磁场中，如图所示设导线竖直向上的均匀磁场中，如图所示设导线ab的质量为的质量为m，电阻为，电阻为R，长度为，长度为l，导轨的电阻略去不计，导轨的电阻略去不计，abcd形成形成电路，电路，t =
16、0时，时，v =0. 试求：导线试求：导线ab下滑的速度下滑的速度v与时间与时间t的的函数关系函数关系 abcdlB解解:cosvBlicosRBlRIiivBlRBlBlIFicosvtvmBlRBlmgddcoscosvsinmRlBgvt222cosvsinddsingA )/(cos222mRlBc)(dvcAvvvvvvv000)d(1dcAcAccAdttAcActvln1)e1 (cossin)e1 (222ctctlBmgRcAv例例5 、一圆形极板电容器，极板的面积、一圆形极板电容器，极板的面积S，两极板的间距为，两极板的间距为d。一根长为的极细的导线在极板间沿轴线与两板相连
17、，已一根长为的极细的导线在极板间沿轴线与两板相连，已知细导线的电阻为知细导线的电阻为R，两极板外接交变压，两极板外接交变压 ，（ 为常数）求：为常数）求： （1）细导线中的电流；）细导线中的电流； （2）通过电容器的位移电流；）通过电容器的位移电流；（3）极板间离轴线为处的磁感应强度。（）极板间离轴线为处的磁感应强度。（r比极板半径小）比极板半径小）tsinUU 0 ,U00U sintUIRR r解：解：2）通过电容器的位移电流通过电容器的位移电流SCU3）极板间离轴线为极板间离轴线为r处的磁感应强度处的磁感应强度 rtUdsin00tUdScos00SQ例例4、如图所示，等边三角形平面回路
18、、如图所示，等边三角形平面回路ACDA位于磁感强度位于磁感强度为为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于回路平面回路上的的均匀磁场中，磁场方向垂直于回路平面回路上的CD段为滑动导线，它以匀速远离段为滑动导线，它以匀速远离A端运动，并始终保持回路是端运动，并始终保持回路是等边三角形设滑动导线等边三角形设滑动导线CD到到A端的垂直距离为端的垂直距离为x，且时间，且时间t =0时，时，x =0试求在试求在 ， 为常矢量的磁场情况下，回为常矢量的磁场情况下，回路中的感应电动势路中的感应电动势 和时间和时间t的关系。的关系。 xADCvB 动生、感生并存电动势的计算动生、感生并存电动势的计算感生电动势：逆时针感
19、生电动势：逆时针动生电动势：动生电动势：C CD D 逆时针逆时针感动因两电动势方向相同，所以因两电动势方向相同，所以解：设因磁场变化而产生的感生电动势为解：设因磁场变化而产生的感生电动势为 1 1，则，则StBd1设回路绕行方向为逆时针设回路绕行方向为逆时针，则，则KSSKStKtStBddd)(dd1设动生电动势为设动生电动势为 2 2，则，则220233233230tg2tKvKtxvxvB xADCvB22213tKv因两电动势方向相同，所以因两电动势方向相同，所以22023330tantKvKx)30t2(210anxxS xADCvB直接利用电磁感应定律直接利用电磁感应定律2033
20、)30t2(21xanxxStKxSB233S方向为顺时针方向为顺时针dttKxddtd)33(2)2(332xxvtKvtx )2(332222tvtvK223tKv方向为逆时针方向为逆时针例例5（作业作业）.如图所示，长直导线中电流为如图所示，长直导线中电流为I，矩形线圈，矩形线圈abcd与长直导线共面，且与长直导线共面，且ab/dc，dc边固定，边固定，ab边沿边沿da及及cb以速度以速度v无摩擦地匀速平动。无摩擦地匀速平动。t=0时，时，ab边与边与cd边重合。边重合。设线圈自感忽略不计。（设线圈自感忽略不计。（1）如）如I=I0，求，求ab中的感应电动中的感应电动势。（势。（2）如）
21、如I=I0cos t，求，求ab边运动到图示位置线圈中的边运动到图示位置线圈中的总感应电动势。总感应电动势。Iabcdl0lvl2Iabcdl0lvl2解解:(1)动生电动势动生电动势xoa、规定正方向规定正方向a-bb、建立如图坐标系建立如图坐标系Iabcdl0lvl2Iabcdl0lvl2xo(2) a、规定正方向规定正方向abcdab、计算计算 t 时刻的磁通量时刻的磁通量c c、计算回路中的电动势、计算回路中的电动势 互感系数与互感电动势的计算互感系数与互感电动势的计算例例5.长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行矩形线圈的边
22、长分别为边平行矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距，它到直导线的距离为离为c (如图如图)当矩形线圈中通有电流当矩形线圈中通有电流I = I0sin t时，求直时，求直导线中的感应电动势导线中的感应电动势 IacbtIMdd解：解：1.1.规定回路的正方向规定回路的正方向, ,假设长直导线的电流为假设长直导线的电流为I12.2.计算任意时刻的磁通量计算任意时刻的磁通量a. 考察曲面及曲面上考察曲面及曲面上B的分布的分布b. 选坐标选坐标c. 选微元选微元d.计算微元中的磁通量计算微元中的磁通量I1acbxodscaclnbIbdxxIacc 221010213.3.计算互感系数计算互感系
23、数121I/M aacbln204.4.计算互感电动势计算互感电动势tdIdM21 taacbIcosln200例例7 .半径为半径为a 的金属圆环，置于磁感应强度为的金属圆环，置于磁感应强度为B的均匀磁场的均匀磁场中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗细的金属中，圆平面与磁场垂直，另一同种材料、同样粗细的金属直线放在金属环上，当直导线以直线放在金属环上，当直导线以v 在圆环上向右运动到离在圆环上向右运动到离环心环心a/2处时。求：此时感应电流在环心处产生的磁感应强处时。求：此时感应电流在环心处产生的磁感应强度。（设金属单位长度的电阻为度。（设金属单位长度的电阻为r0） vbcaO 综合性
24、习题综合性习题解：解：由由 得得vBaldBvbcbc3)(方向：方向：c b二者大小相等，方向相反，互相抵消二者大小相等，方向相反，互相抵消例例1 如图，一长直导线中通有电流如图，一长直导线中通有电流I，旁边有一，旁边有一与它共面的矩形线圈，长为与它共面的矩形线圈，长为l，宽为（，宽为（b- -a），线圈共有），线圈共有N匝，以速度匝，以速度v离开直导线。离开直导线。求该位置线圈中的感应电动势的大小和方求该位置线圈中的感应电动势的大小和方向。向。Iablv解解lBdvLLilBlB00ddlvlBid)(d v 例例1 一长为一长为 的铜棒在磁感强度为的铜棒在磁感强度为 的均匀的均匀磁场中磁
25、场中,以角速度以角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转动，棒的一端转动，求求铜棒两端的感应电动势铜棒两端的感应电动势. LB+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +oPB（点点 P 的电势高于点的电势高于点 O 的电势）的电势） 方向方向 O Piv1.规定导线的正方向规定导线的正方向oP2.选坐标选坐标l5.积分求解积分求解3.找微元找微元ld4.确定微元处确定微元处 和和vB221LBild例例2 如图所示，一长直导线中通有电流如图所示，一长直导线中通有电流I
26、= 10安培，安培，有一长有一长l = 0.2米的金属棒米的金属棒AB，以，以v = 2米米/秒的秒的速度平行于长直导线作匀速运动，如棒的近导速度平行于长直导线作匀速运动，如棒的近导线的一端距离导线线的一端距离导线a = 0.1米，求金属棒中的动米，求金属棒中的动生电动势。生电动势。ABaIl解解方向：从方向：从B到到A的，的，A点的电势比点的电势比B点高。点高。1.规定导线的正方向规定导线的正方向AB2.选坐标选坐标xoBvxIB 20 5.积分求解积分求解3.找微元找微元xdxdx4.确定微元处确定微元处 和和BvBvAB 例例4 如图，一长直导线与直角三角形共面，已知：长如图，一长直导线
27、与直角三角形共面，已知：长直导线中通有电流强度为直导线中通有电流强度为I ，AC=b, 且与导线平行，且与导线平行，BC=a，若三角形以若三角形以v向右平移，当向右平移，当 B 点与长直导线的距点与长直导线的距离为离为 d 时。时。求求：三角形内感应电动势的大小和方向。：三角形内感应电动势的大小和方向。ABCIv方向：方向：解解bdaIBbvv)(20lBdcosvsindcos20 xxIvddaabIxabxIln2d200vvABAB:ACABACAB0ABCIvBBvBvBvldox方向：顺时针方向：顺时针 例例5 一导线矩形框的平面与磁感强度为一导线矩形框的平面与磁感强度为 的均的均
28、匀磁场相垂直匀磁场相垂直.在此矩形框上在此矩形框上,有一质量为有一质量为 长为长为 的的可移动的细导体棒可移动的细导体棒 ; 矩形框还接有一个电阻矩形框还接有一个电阻 ,其值较之导线的电阻值要大得很多其值较之导线的电阻值要大得很多.若开始时若开始时,细导体细导体棒以速度棒以速度 沿如图所示的矩形框运动沿如图所示的矩形框运动,试求棒的速率试求棒的速率随时间变化的函数关系随时间变化的函数关系. mlBMNR0v解解 如图建立坐标如图建立坐标棒所受安培力棒所受安培力Rv22lBIBlF方向沿方向沿 轴反向轴反向oxF+lRBvoxMNvBli棒中棒中且由且由MNRv22lBIBlF方向沿方向沿 轴反
29、向轴反向ox棒的运动方程为棒的运动方程为Rvv22ddlBtm则则ttlB022ddmRvvvv0计算得计算得棒的速率随时间变化的函数关系为棒的速率随时间变化的函数关系为tlB)(22emR0vvF+lRBvoxMNI1 1. .规定回路的正方向规定回路的正方向2 2. .计算任意时刻的磁通量计算任意时刻的磁通量b.选坐标选坐标xoc.选微元选微元d.计算微元中的磁通量计算微元中的磁通量xdx解：解：na.考察曲面及曲面上考察曲面及曲面上的分布的分布BxlSdd 方向为方向为 f. .求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量求出任意时刻通过该矩形平面的磁通量Ixoxdxna+vtb+vt方向：顺时针
30、方向：顺时针3 3. .计算回路中的电动势计算回路中的电动势t = t = 0 0 时刻时刻Ixoxdxn例例2 2 半径为半径为r、电阻为、电阻为R的平面圆环置于均匀磁的平面圆环置于均匀磁场场B中，圆环平面与磁场方向垂直，如图。中，圆环平面与磁场方向垂直，如图。假设假设R极大，磁场大小依以下规律变化：极大，磁场大小依以下规律变化： 试计算通过圆环任一横截面的电量。试计算通过圆环任一横截面的电量。rB正方向正方向解：解：方向：与正方向相同方向：与正方向相同通过圆环任一横截面的电量为：通过圆环任一横截面的电量为：rB回路中感生电动势为：回路中感生电动势为：设回路正向为逆时针方向。设回路正向为逆时
31、针方向。tBSddataeBr02 例例3 在匀强磁场中在匀强磁场中, 置有面积为置有面积为 S 的可绕的可绕 轴转动的轴转动的N 匝线圈匝线圈 . 若线圈以角速度若线圈以角速度 作匀速转动作匀速转动. 求求线圈线圈 中的感应电动势中的感应电动势.NooBne已知已知 , , NS求求i解解设设 时时,0tBne与与 同向同向 , 则则ttNBSNcostNBStisindd令令NBSmtmisin则则NooBnetmisintItRimsinsinmRImm 可见可见,在匀强磁场中匀在匀强磁场中匀速转动的线圈内的感应电速转动的线圈内的感应电电流是时间的正弦函数电流是时间的正弦函数.这这种电流
32、称种电流称交流电交流电.NooBneRi解解lBdvLLilBlB00ddlvlBid)(d v 例例1 一长为一长为 的铜棒在磁感强度为的铜棒在磁感强度为 的均匀的均匀磁场中磁场中,以角速度以角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转动，棒的一端转动，求求铜棒两端的感应电动势铜棒两端的感应电动势. LB+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +oPB（点点 P 的电势高于点的电势高于点 O 的电势）的电势） 方向方向 O Piv1.规定导线的正方向规定导线的正方向oP2
33、.选坐标选坐标l5.积分求解积分求解3.找微元找微元ld4.确定微元处确定微元处 和和vB221LBild例例2 如图所示，一长直导线中通有电流如图所示，一长直导线中通有电流I = 10安培，安培，有一长有一长l = 0.2米的金属棒米的金属棒AB，以，以v = 2米米/秒的秒的速度平行于长直导线作匀速运动，如棒的近导速度平行于长直导线作匀速运动，如棒的近导线的一端距离导线线的一端距离导线a = 0.1米，求金属棒中的动米，求金属棒中的动生电动势。生电动势。ABaIl 例例 6 设有一半径为设有一半径为R ,高度为高度为h 的铝圆盘的铝圆盘, 其电导其电导率为率为 . 把圆盘放在磁感强度为把圆
34、盘放在磁感强度为 的均匀磁场中的均匀磁场中, 磁磁场方向垂直盘面场方向垂直盘面.设磁场随时间变化设磁场随时间变化, 且且 为一常量为一常量.求盘内的感应电流值求盘内的感应电流值.（圆盘内感应电流自（圆盘内感应电流自己的磁场略去不计）己的磁场略去不计）BktBddRBhrrdrrdh已知已知, R, h, , BktBdd求求I解解 如图取一半径为如图取一半径为 ,宽度宽度为为 ,高度为高度为 的圆环的圆环.rrd h则圆环中的感生电动势的值为则圆环中的感生电动势的值为SListBlEddddk代入已知条件得代入已知条件得2 dddrkstBSi又又rhrRd 21 d所以所以rrkhId2 d
35、rrdrrdhrrkhId2 d由计算得圆环中电流由计算得圆环中电流于是圆盘中的感应电流为于是圆盘中的感应电流为RrrkhII0d2 dhRk241rrdrrdh 例例7 一半径为一半径为R的长直螺线管，的长直螺线管，dB/dt0，且为常且为常数。在其内放一导线数。在其内放一导线ab，长为长为l，o到到ab的垂直距离为的垂直距离为h.求求：1）管内外的涡旋电场；）管内外的涡旋电场；2）ab上的感应电动势；上的感应电动势； 3）当）当ab=bc=R时，时，ac上的感应电动势。上的感应电动势。 abO c解解方向沿逆时针方向沿逆时针abO c（1）在管内取半径为）在管内取半径为r的同心环路，的同心
36、环路， 回路的正方向为回路的正方向为逆时针逆时针rStBlEddddk2kdd2rtBErtBrEdd2kr2kdd2RtBErtBrREdd22k在管外在管外（2）另解：另解：如图，选闭合回路如图，选闭合回路 oab 三角形，三角形，baxEdcoskxrhtBrbaddd2abO ctBlhdd21oxdxkErhStBlEddddkoabababStBlEdddktBlhdd21(3) 同理同理)(ddobdoabSStB221223ddRRtBabO cdbdlIxoxIB2xlxIsBd2ddbddxlxId2解解 设长直导线通电流设长直导线通电流Ixdx 例例 2 在磁导率为在磁导
37、率为 的均匀无限大的磁介质中的均匀无限大的磁介质中, 一无限长直导线与一宽长分别为一无限长直导线与一宽长分别为 和和 的矩形线圈共的矩形线圈共面面,直导线与矩形线圈的一侧平行直导线与矩形线圈的一侧平行,且相距为且相距为 . 求求二者二者的互感系数的互感系数.dlb )ln(2ddblIMbddxlxId2)ln(2ddbIl2blI2b 若导线如左图放置若导线如左图放置, 根据对根据对称性可知称性可知0 xdbdlxIxo0M得得 例例 如图同轴电缆如图同轴电缆,中间充以磁介质中间充以磁介质,芯线与圆筒上的芯线与圆筒上的电流大小相等、方向相反电流大小相等、方向相反. 已知已知 , 求求单位单位
38、长度同轴电缆的磁能和自感长度同轴电缆的磁能和自感. 设金属芯线内的磁场可略设金属芯线内的磁场可略.,21IRR解解 由安培环路定律可求由安培环路定律可求 H rIHRrR2,210,1HRr0,2HRr2m21Hw2)2(21rI则则21RrR2Rmw2)2(21rI2228rI21RrRVrIVwWVVd8d222mm2R 单位长度壳层体积单位长度壳层体积1d2drrVrrIWRRd4212m122ln4RRI2m21LIW12ln2RRL例例一矩形截面的螺绕环一矩形截面的螺绕环( (r=1) )，由细导线均匀密绕而，由细导线均匀密绕而成，内半径为成，内半径为R1，外半径为，外半径为R2 ，
39、高为，高为b，共共N匝。在匝。在螺绕螺绕环的轴线上，另有一无限长直环的轴线上，另有一无限长直导线导线OO ，如图所示。在如图所示。在螺绕螺绕环内通以交变电流环内通以交变电流i=I0cost（i0时电流方向如图），求时电流方向如图），求当当t/时，在时，在无限长直导无限长直导线中的感应电动势的大小和方线中的感应电动势的大小和方向。（向。（ R1810-2m , R22.410-1m , b 610-2m, N =1000, I0=5A, =100rad/s）R2R1bxIBr20 xNBbSBNddd21d20RRrxxNIb解解 利用互感，利用互感，R2R1bI设无限长直导线通电流设无限长直导线通电流d dx方向为方向为 I120ln2RRNIbr120ln2RRNbIMr120ln2RRNbiMirtRRNbItrisinln2dd1200方向向下方向向下
