1、2022年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合，Bx|x2+x20，则AB（）A（，2）B（2，2）C（1，2）D（，1）2（5分）已知iz（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点一定在（）A实轴上B虚轴上C第一、三象限的角平分线上D第二、四象限的角平分线上3（5分）根据分类变量x与y的观察数据，计算得到K22.974，依据如表给出的K2独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）P（K2k）0.10.050.010.0050.001k2.7063.84
2、16.6357.87910.828A有95%的把握认为变量x与y独立B有95%的把握认为变量x与y不独立C变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%4（5分）数列an中，a12，am+naman，则a4（）A8B16C12D245（5分）圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球（）AB15cmCD20cm6（5分）x，yR，则“x2+y21”是“x+y+20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）已知f（x），若f（
3、a3）f（a+2）（a）（）A2BC1D08（5分）已知中心在原点的双曲线E的离心率为2，右顶点为A，过E的左焦点F作x轴的垂线l，N两点，若AMN的面积为9（）ABCD9（5分）纳皮尔在他的奇妙的对数表一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如表一个双数列模型的方法处理大数运算012345678910124816326412825651210241112192021222324252048409652428810485762097152419430483886081677721633554432如5121024，我们发现
4、512是9个2相乘，1024是10个2相乘这两者的积，这就是结果了若xlog2（202112261314520），则x落在区间（）A（15，16）B（22，23）C（42，44）D（44，46）10（5分）ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若b3，ABC的面积为2sinB，则cosA（）ABCD11（5分）已知F1，F2，B分别是椭圆的左焦点、右焦点、上顶点，连接BF2并延长交C于点P，若PF1B为等腰三角形，则C的离心率为（）ABCD12（5分）已知，若，分别是方程f（x）x，f（x）lnx的根，则下列说法：+42；+，其中正确的个数为（）A0B1C2D3二、填空题：本题共4小题
5、，每小题5分，共20分13（5分）已知向量，若，则 14（5分）已知函数的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为（1，0），在y轴右侧的第一个最高点为（3，2）（1） 15（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F，M，N分别是BC，B1C1，AA1，CC1，A1C的中点，给出下列四个判断：EF平面ADB1；EM平面ADB1；EN平面ADB1；A1M平面ADB1，则错误的序号为 16（5分）无限循环小数可以通过等比数列法转化为分数如0.2101+1102+2103+1104+2；应用上述方法转化0.3（m，n为互质整数），则 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1
6、721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：17（12分）某公司计划招聘新员工40名，现有100名应届毕业生应聘，采用先笔试再面试相结合的方式，依据笔试成绩按1：1.5的比例确定入围面试名单这100名应届毕业生笔试成绩的频率分布直方图如图所示（1）求a的值及笔试成绩的平均分；（2）根据频率分布直方图，请预估面试入围分数线（结果保留整数）18（12分）已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点A和点B分别从初始位置（1，0）和（2，0）处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动（1）当点A运动的路程为时，求线段AB的长度；（2）记A（x
7、1，y1），B（x2，y2），求x1+y2的最大值19（12分）如图，三棱锥PABC的底面为直角三角形，E为斜边AB的中点，CDAB，ECPB（1）求CD的长；（2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值20（12分）已知面积为的等边ABO（O是坐标原点）的三个顶点都在抛物线E：y22px（p0）上，过点作抛物线E的两条切线分别交y轴于M（1）求p的值；（2）求PMN的外接圆的方程21（12分）已知函数f（x）ax+cosx（0x，aR）（1）当时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m为常数选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果
8、多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，曲线C的极坐标方程为cos2sin（1）求直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C在直角坐标系第一象限交于点A，点B的极坐标为，求AOB的面积选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|ax2|+|2x+a|（a2）（1）当a2时，求不等式f（x）6的解集；（2）x0R，使得，求a的取值范围2022年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选
9、项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合，Bx|x2+x20，则AB（）A（，2）B（2，2）C（1，2）D（，1）【解答】解：集合x|2x2，Bx|x2+x40x|x2或x2，ABx|1x2故选：C2（5分）已知iz（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点一定在（）A实轴上B虚轴上C第一、三象限的角平分线上D第二、四象限的角平分线上【解答】解：设zx+yi（x，yR），则，iz，i（xyi）yxixyi，解得xy，故复数z在复平面内所对应的点一定在第一、三象限的角平分线上故选：C3（5分）根据分类变量x与y的观察数据，计算得到K22.974，依据如表给出的K2独立性检验中的小概
10、率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）P（K2k）0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828A有95%的把握认为变量x与y独立B有95%的把握认为变量x与y不独立C变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%【解答】解：K22.9746.706，变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%故选：D4（5分）数列an中，a12，am+naman，则a4（）A8B16C12D24【解答】解：由题意，令m1，得a2a3a1274令m1，n53a1a4243，令m1，n33a1a
11、37816故选：B5（5分）圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球（）AB15cmCD20cm【解答】解：根据题意；玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积；设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r；则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为r2，若放入一个玻璃球后，水恰好淹没玻璃球，此时水面的高度为2r，所以，解得r15cm故选：B6（5分）x，yR，则“x2+y21”是“x+y+20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由x3+y21，可得，则x+y+2x
12、+y+0，故“x2+y21”是“x+y+25”的充分条件，由x+y+20，若xy42+y231，故“x2+y71”是“x+y+22”的不必要条件，综上，“x2+y23”是“x+y+20”的充分不必要条件，故选：A7（5分）已知f（x），若f（a3）f（a+2）（a）（）A2BC1D0【解答】解：根据题意，f（x），若f（a3）f（a+2），必有a80且a27，则有（a3）+3，即a，解可得a2或7（舍），f（a）f（2），故选：B8（5分）已知中心在原点的双曲线E的离心率为2，右顶点为A，过E的左焦点F作x轴的垂线l，N两点，若AMN的面积为9（）ABCD【解答】解：中心在原点的双曲线E的离心
13、率为2，所以，右顶点为A，过E的左焦点F作x轴的垂线l，N两点，可得32a2+b7，解得a1，b，所以双曲线方程为：故选：A9（5分）纳皮尔在他的奇妙的对数表一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如表一个双数列模型的方法处理大数运算012345678910124816326412825651210241112192021222324252048409652428810485762097152419430483886081677721633554432如5121024，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘这两
14、者的积，这就是结果了若xlog2（202112261314520），则x落在区间（）A（15，16）B（22，23）C（42，44）D（44，46）【解答】解：xlog2（202112261314520），设202112262m，13145203n，由表格得知：2201048576，2212097152，62416777216，22533554432，所以24m25，20n21，所以m+n（44，46），所以xlog2（202112261314520）（44，46）故选：D10（5分）ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若b3，ABC的面积为2sinB，则cosA（）ABCD【解答】
15、解：由题意得，b3，ABC的面积为2sinB，所以acsinB2sinB，即，因为sinB0，可得a6，则cosA故选：D11（5分）已知F1，F2，B分别是椭圆的左焦点、右焦点、上顶点，连接BF2并延长交C于点P，若PF1B为等腰三角形，则C的离心率为（）ABCD【解答】解：由椭圆的几何性质可知|BF1|BF2|a，设|PF6|x，则|PF1|2ax，又|BP|BF4|+|PF2|a+x，且PF1B为等腰三角形，|BP|PF8|，即a+x2ax，解得x，|PF2|，|PF1|，|F1F8|2c，在BF1F4中，由余弦定理可得cosBF2F1，在PF1F6中，由余弦定理可得cosPF2F1，B
16、F3F1+PF2F3，cosBF2F1+cosPF5F10，+72+2c7a20，4c2a2，即，e，故选：C12（5分）已知，若，分别是方程f（x）x，f（x）lnx的根，则下列说法：+42；+，其中正确的个数为（）A0B1C2D3【解答】解：f（x）1+，因为x1，所以x50，所以f（x）1，且f（x）在（3，分别是方程f（x）ex，f（x）lnx的根，因为yex与ylnx与互为反函数，所以yex与ylnx的图象关于直线yx对称，由，得，画出函数yex，ylnx，和f（x），由图可得42，因为当x3时，ln8ln，当x4时，ln8ln，所以32，所以4+6，所以正确，对于由图可得6ln2，
17、所以ee2，因为72，所以e2e3，所以正确，对于因为f（x）1+，因为yex与ylnx互为反函数，所以（）与（，所以或，所以正确，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量，若，则【解答】解：向量，（+）+5+（6+2）0，故答案为：14（5分）已知函数的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为（1，0），在y轴右侧的第一个最高点为（3，2）（1）2【解答】解：由与x轴在原点右侧的第一个交点为（ 1，0），7），知34，或61，当T8时，所以f（x）2sin（x+），4）+）0，又|，所以，f（x）2sin（x）；当T时，所以f（x）2sin（x+），代入点（ 1，
18、0）+）0，又|，所以，f（x）2sin（），f（7）2，综上，f（1）6故答案为：215（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F，M，N分别是BC，B1C1，AA1，CC1，A1C的中点，给出下列四个判断：EF平面ADB1；EM平面ADB1；EN平面ADB1；A1M平面ADB1，则错误的序号为 【解答】解：连接DE、A1E、CE、EM、A1M、FM，所以，四边形BB4C1C为平行四边形，则BCB1C7 且BCB1C1，D、E 分别为BC、B8C1的中点，则CDB1E且CDB3E，故四边形CDB1E为平行四边形，则CEB1D，CE平面ADB8，B1D平面ADB1，故CE平面 ADB7
19、，同理可证四边形 BB1ED 为平行四边形，则 DEBB1AA7，DEBB1AA1，则四边形AA3ED为平行四边形，所以，A1EAD，A1E平面ADB4，AD平面ADB1，则A1E平面ADB8，CEA1EE，故平面A1CE平面AD6B，EN平面A1CE，则 EN平面 ADB1，对；对于，若 EF平面 ADB3，EFENE，则平面EFN平面ADB1，因为过点E且与平面ADB1平行的平面只有一个，矛盾，同理可知，均错故答案为：16（5分）无限循环小数可以通过等比数列法转化为分数如0.2101+1102+2103+1104+2；应用上述方法转化0.3（m，n为互质整数），则【解答】解：由题意知0.3
20、4.3+1102+3103+2104+1103+3106+7107+0.2+1（102+108+）+3（103+102+）+2（104+108+）0.3+7+30.8，故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：17（12分）某公司计划招聘新员工40名，现有100名应届毕业生应聘，采用先笔试再面试相结合的方式，依据笔试成绩按1：1.5的比例确定入围面试名单这100名应届毕业生笔试成绩的频率分布直方图如图所示（1）求a的值及笔试成绩的平均分；（2）根据频率分布直方图，请预
21、估面试入围分数线（结果保留整数）【解答】解：（1）由图知（0.005+0.01+8.015+2a+0.03）103，则a0.02，所以平均分为950.3+1050.2+1155.3+1250.5+1350.15+1450.05117.5；（2）因为面试比例为1：1.6，则应有60人参加面试，设分数线为m，则（120m）0.03+0.5+0.15+0.056.6，所以预估面试入围分数线为113分18（12分）已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点A和点B分别从初始位置（1，0）和（2，0）处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动（1）当点A运动的路程为时，求线段AB的长度；（2）记
22、A（x1，y1），B（x2，y2），求x1+y2的最大值【解答】解：（1）因为点A运动的路程为，OA3，所以，又OB8，所以，由余弦定理AB8OA2+OB24OAOBcosAOB，所以（2）设AOx2，则BOx，sin5），2sin），则，所以当时，x7+y2取得最大值19（12分）如图，三棱锥PABC的底面为直角三角形，E为斜边AB的中点，CDAB，ECPB（1）求CD的长；（2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值【解答】解：（1）连接BD交EC于点F，由题意知，PD平面ABCD，又因为ECPB，PDPEP，则ECBD，因为PDAB2BC2，E为斜边AB的中点，则EBDCBD，因为CDAB，
23、所以EBDCDB，所以CDBC5；（2）连接AD，因为AB2，BC1，所以ABC60，因为DCBC2，所以AD1，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点M，则AM1，DM5，所以，所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为20（12分）已知面积为的等边ABO（O是坐标原点）的三个顶点都在抛物线E：y22px（p0）上，过点作抛物线E的两条切线分别交y轴于M（1）求p的值；（2）求PMN的外接圆的方程【解答】解：（1）因为等边ABO的面积为，所以ABO的边长，结合抛物线的对称性，得，所以；（2）由（1）知P（1，2），则M（4，k1+2），N（7，k2+2），由，得到，即k2+7k10，k8+k22
24、，k2k21，PAPB，MN的中点1+k32代入得出点E（0，3），PMN的外接圆方程为x2+（y3）2221（12分）已知函数f（x）ax+cosx（0x，aR）（1）当时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M，m为常数【解答】解：（1）当时，令f（x）0，可得或；令f（x）2，可得，即f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递减区间为（2）f（x）asinx，当0a1时2，x2，且x1x8则x1+x2，asinx3sinx2，且当0xx2或x2x时，f（x）02xx2时，f（x）0，故当7xx1或x2x时f（x）单调递增；当x7xx2时，f（x
25、）单调递减，所以Mf（x1）ax5+cosx1，mf（x2）ax8+cosx2，所以M+ma（x1+x5）+cosx1+cosx2a，故选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，曲线C的极坐标方程为cos2sin（1）求直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C在直角坐标系第一象限交于点A，点B的极坐标为，求AOB的面积【解答】解：（1）由（t为参数），所以直线l的极坐标方程为，由cos2sin，得到（cos）2sin，所以曲线C的普通方程yx8（2）由，解得或所以点，所以选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|ax2|+|2x+a|（a2）（1）当a2时，求不等式f（x）6的解集；（2）x0R，使得，求a的取值范围【解答】解：（1）当a2时，f（x）|2x7|+|2x+2|3，当x1时，则原不等式等价于2x5，当x1时，则原不等式等价于2x5，当1x1时，则原不等式等价于33，综上所述：不等式的解集为（2）因为a2，所以当a2时，由题意可知，问题转化为，即，故a的取值范围为8，4第20页（共20页）
