1、2022年湘赣皖长郡十五校联盟高考数学第一次联考试卷（文科）（全国乙卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1（5分）已知全集UR，集合Ax|lnx0，集合Bx|（3x1）（x7），则A（UB）（）Ax|1x7BCDx|0x12（5分）复数zi（5+i）（i为虚数单位）的共轭复数（）A1+5iB1+5iC15iD15i3（5分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩（英文BingDwenDwen）”设计造型可爱，市场供不应求，在出厂前要检查这批冰墩墩的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，则第二车间生产的冰墩墩数为（）个A200B3
2、00C120D1504（5分）已知m0，n0，条件p：5m+3nmn，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）如果x，y满足约束条件，则z5xy的最小值为（）A3B8C9D36（5分）函数的部分图像大致为（）ABCD7（5分）已知f（x）x2+lnx在x1处的切线倾斜角为，则cos2sin2的值为（）A7BC5D38（5分）抛物线y22px（p0），焦点为F，抛物线上一点M，以MF为半径的圆与准线相切，与抛物线的相交弦长为6（）A5B7C6D39（5分）已知整数数列bn满足，b24，则b2022（）ABCD10（5分）中国的折纸艺术历史悠久，一个
3、同学在手工课时，取了一张长方形纸，短边为2，如图A、B、C、D分别为各边的中点，则该几何体的外接球表面积是（）A5B4C3D11（5分）桂林山水甲天下，那里水山秀，闻名世界，甲、乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A、B两点处，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，现已知椭圆：上一点M，A，B两点为左、右焦点，由光的反射性质：光的入射角等于反射角（）AB10CD712（5分）已知asin20，b，则它们的大小关系正确的是（）AcabBacbCcbaDbca二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共
4、20分.13（5分）已知|2，|3，|，则|5+4 14（5分）已知函数f（x）的定义域为R，满足，f（x）（x），当x（0，1）时，则 15（5分）已知圆C：x2+y22，在圆内任取一点M，以M为弦中点作弦PQ 16（5分）已知关于x的方程x2lnx3a3lnaa3lnx有三个实数根，则a的取值范围是 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（2bc）cosAacosC（）求角A的
5、大小；（）若a3，求三角形ABC的周长的取值范围18（12分）如图，ABC是边长为2的等边三角形，E，F分别为AB，将平面AEF沿EF折叠，M为EF的中点（1）设平面PBE与平面PCF相交于l，求证：lBC；（2）平面AEF沿EF折叠过程中，当时，求四棱锥PBCFE的体积19（12分）“冰雪为媒，共赴冬奥之约”！第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日于20日在北京举行，共有91个国家的代表团参加各国运动员在赛场上全力以赴、奋勇争先，为了分析各参赛国实力与国家所在地区（欧洲/其它）之间的关系（奥运会、世锦寒等）中一些国家斩获金牌的次数，得到如图茎叶图（1）计算并比较茎叶图中“欧洲地区”国
6、家和“其它地区”国家获金牌的平均次数（记为、）和方差（记为s12、s22，保留一位小数），判断是否能由此充分地得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，说明你的理由（2）记图中斩获金牌次数大于70的国家为“冰雪运动强国”，请按照图中数据补全22列联表，并判断是否有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）（假设该样本可以反映总体情况）附：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828“冰雪运动强国”非“冰雪运动强国”合计欧洲国家其它国家合计20（12分）已
7、知椭圆的左、右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），椭圆上一点M满足|MF1|MF2|且（1）求椭圆E的方程；（2）过F2作两条相互垂直的直线l1，l2分别交E于A、B、C、D，求四边形ACBD面积S的最大值21（12分）已知f（x）4ex3x2cx4（xR，cR）（1）当c3时，求f（x）在（0，f（0）；（2）设f（x）xex+x36x2在0，+）上恒成立，求实数c的取值范围（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴已知曲线C1的方程为
8、，A是C1上一动点，B的轨迹为C2（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若点P（0，4），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C2的交点为M，N，求|PM|+|PN|的最小值，并求取最小值时直线l的普通方程选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|+m|x3|（m0）（1）f（x）5恒成立，求m的取值范围；（2）在（1）成立的条件下，设a+bm的最小值，b0，求的取值范围2022年湘赣皖长郡十五校联盟高考数学第一次联考试卷（文科）（全国乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1（5分）已知全集
9、UR，集合Ax|lnx0，集合Bx|（3x1）（x7），则A（UB）（）Ax|1x7BCDx|0x1【解答】解：由B中lnx0ln1，得到7x1，Bx|（3x4）（x7）0x|x或x7，全集UR，UBx|x7，则AUBx|x1故选：C2（5分）复数zi（5+i）（i为虚数单位）的共轭复数（）A1+5iB1+5iC15iD15i【解答】解：由复数zi（5+i），则z14i，则1+5i，故选：B3（5分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩（英文BingDwenDwen）”设计造型可爱，市场供不应求，在出厂前要检查这批冰墩墩的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，则第二车间生产的冰墩墩数为（）个A2
10、00B300C120D150【解答】解：由题意，可得a+b+c450，3b450，解得b150，第二车间生产的冰墩墩数为150故选：D4（5分）已知m0，n0，条件p：5m+3nmn，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：由m0，n0，可得+，所以3m+6n（3m+5n）（+）34+64，当且仅当mn8时，等号成立，故由2m+3nmn，可推出3m+7n64成立，反之则不成立，如m100，3m+5n30564，故p是q的不必要条件，综上，故p是q的充分不必要条件，故选：A5（5分）如果x，y满足约束条件，则z5xy的最小值为（）A3B8C9D3
11、【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（6，由z5xy，得y5xz，当直线y3xz过A时，z有最小值为5183故选：D6（5分）函数的部分图像大致为（）ABCD【解答】解：函数的定义域为R，排除D，f（x）f（x），则f（x）是奇函数，排除B，当0x时，0，故选：C7（5分）已知f（x）x2+lnx在x1处的切线倾斜角为，则cos2sin2的值为（）A7BC5D3【解答】解：f（x）x2+lnx（x0），f（x）2x+，依题意，tanf（1）3，cos6sin2，故选：B8（5分）抛物线y22px（p0），焦点为F，抛物线上一点M，以MF为半径的圆与准线相切，与抛物线的相交弦长为6
12、（）A5B7C6D3【解答】解：因为以F为圆心，以MF为半径的圆与准线相切，由抛物线定义知|MF|xM+，解得xM，所以由对称性知相交弦即为过圆心F垂直于x轴的直径，所以3p6故选：D9（5分）已知整数数列bn满足，b24，则b2022（）ABCD【解答】解：整数数列bn满足，bn+8bn14n，b8b242，b6b445，.b2022b202042021，b2022b342021+42019+.+83，b2022+7，故选：B10（5分）中国的折纸艺术历史悠久，一个同学在手工课时，取了一张长方形纸，短边为2，如图A、B、C、D分别为各边的中点，则该几何体的外接球表面积是（）A5B4C3D【解
13、答】解：折叠后KL重合于P1，MN重合于P2，平面BDP6与平面BDP2沿BD折叠后重合后得平面BDP，得到如图，又因为AP即AKAL垂直BPDP，CP即CMCN垂直BP，DP，所以AP平面BDP，CP平面BDP，所以APCP1，ACAP+CP7，所以三棱锥是长方体内的一部分，设长方体长宽高分别为abc，外接球半径为R，则，因为，所以a2+b2+c55，所以，所以外接球表面积为S5故选：A11（5分）桂林山水甲天下，那里水山秀，闻名世界，甲、乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A、B两点处，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆
14、的两个焦点，符合椭圆的光学性质，现已知椭圆：上一点M，A，B两点为左、右焦点，由光的反射性质：光的入射角等于反射角（）AB10CD7【解答】解：如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，O，B分别作切线的垂线交切线于点A1，O1，B3，由光学性质可知MN平分AMB，B1MBA1MA，则A6AMAMNBMNB1BM，因为，故，所以，故选：C12（5分）已知asin20，b，则它们的大小关系正确的是（）AcabBacbCcbaDbca【解答】解：因为x0时，ysinxx的导数为ycosx15，即ysinxx在（0，+）递减，即sinxx，所以sin20，因为中由数形结合可知在恒成立，所以，所以cab，
15、故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知|2，|3，|，则|5+4【解答】解：|3，|2+|7+29，3，|5+42，故答案为：814（5分）已知函数f（x）的定义域为R，满足，f（x）（x），当x（0，1）时，则3ln3【解答】解：函数f（x）的定义域为R，满足，f（x+2），f（x+2），f（x）f（x），f（x）是以5为周期的偶函数，当x（0，1）时，则f（4）3ln3故答案为：3ln315（5分）已知圆C：x2+y22，在圆内任取一点M，以M为弦中点作弦PQ【解答】解：由圆C：x2+y24，在圆内任取一点M，则弦长|PQ|2时，即点M的轨迹为以原点为圆
16、心，1为半径的圆面，则弦长|PQ|2的概率为，故答案为：16（5分）已知关于x的方程x2lnx3a3lnaa3lnx有三个实数根，则a的取值范围是 （0，）【解答】解：由已知得x2lnx3a4lna+a3lnx0，令f（x）x4lnx3a3lna+a4lnx，f（x）2xlnx+x+x（7lnx+1+），令g（x）2lnx+1+，则g（x），所以g（x）在（3，）上递减，+）上递增，所以g（x）ming（）3lna+2，有三个实数根，即f（x）x7lnx3a3lna+a6lnx有3个零点，则3lna+50，所以a（0，）因为x0时，g（x）+，g（x）+，所以g（x）有两个零点x3，x2，所以
17、f（x）在（0，x7）上递增，（x1，x2）上递减，（x2，+）上递增，x0时，f（x），f（x）+，又因为f（）0，x1x2，所以x2lnx3a3lnaa7lnx有三个零点，所以故答案为：（0，）三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（2bc）cosAacosC（）求角A的大小；（）若a3，求三角形ABC的周长的取值范围【解答】（本小题满分12分）解：（I）法一：由（2bc）co
18、sAacosC及正弦定理，得（2sinBsinC）cosAsinAcosC5sinBcosAsinCcosA+sinAcosC，2sinBcosAsin（C+A）sinB，B（0，），sinB8，A（0，），cosA，A（6分）法二：由（6bc）cosAacosC及余弦定理，得（2bc） a整理，得b2+c2a2bc，可得：cosA，A（0，），A（3分）（II）解：由（I）得A，由正弦定理得 ，所以b7sinBsinC，ABC的周长：l8+2sinB+7B）3+2sinB+2cosBcos3+3sinB+3cosB3+2sin（B+），锐角三角形ABC中，B（0，）B，B+（，）（，ABC的
19、周长的取值范围为：（3+3，918（12分）如图，ABC是边长为2的等边三角形，E，F分别为AB，将平面AEF沿EF折叠，M为EF的中点（1）设平面PBE与平面PCF相交于l，求证：lBC；（2）平面AEF沿EF折叠过程中，当时，求四棱锥PBCFE的体积【解答】解：（1）证明：如图，连接PA，AM，ABC为等边三角形，M为EF的中点，EFAM，EFPM，PMAMM，EF面PMA，E，F分别为AB，EFBC，BC面PMAABE，ACF，A面PCF，PA即为面PBE与面PCF的交线l，l面PMA，BC面PMA，lBC（2）解：，EF面PMA，面PMA面AEFP到底面的距离即为P到AM的距离为，四棱
20、锥PBCFE的体积19（12分）“冰雪为媒，共赴冬奥之约”！第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日于20日在北京举行，共有91个国家的代表团参加各国运动员在赛场上全力以赴、奋勇争先，为了分析各参赛国实力与国家所在地区（欧洲/其它）之间的关系（奥运会、世锦寒等）中一些国家斩获金牌的次数，得到如图茎叶图（1）计算并比较茎叶图中“欧洲地区”国家和“其它地区”国家获金牌的平均次数（记为、）和方差（记为s12、s22，保留一位小数），判断是否能由此充分地得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，说明你的理由（2）记图中斩获金牌次数大于70的国家为“冰雪运动强国”，请按照图中数据补全22列联
21、表，并判断是否有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）（假设该样本可以反映总体情况）附：K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828“冰雪运动强国”非“冰雪运动强国”合计欧洲国家其它国家合计【解答】解：（1）由茎叶图中数据，得，可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其他国家”，因为，这足以说明欧洲国家的实力更强劲（2）由题意得24列联表如下：冰雪运动强国非冰雪运动强国合计欧洲国家8311其它国家61014合计121325由独立性检验，K2的观测值，所以没
22、有97.3%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区（欧洲/其它）有关20（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），椭圆上一点M满足|MF1|MF2|且（1）求椭圆E的方程；（2）过F2作两条相互垂直的直线l1，l2分别交E于A、B、C、D，求四边形ACBD面积S的最大值【解答】解：（1）|MF1|MF2|，可设M（8，b217，即b23，c3，a24，（2）当l1或l6垂直坐标轴时，易得|AB|4，S6，l8，l2均不垂直坐标轴时，设l1：xky+5，A（x1，y1），B（x8，y2），联立，化为（3k5+4）y2+3ky90，由韦达定理有，同理可设
23、，C（x2，y3），D（x4，y7），综上：S的最大值为621（12分）已知f（x）4ex3x2cx4（xR，cR）（1）当c3时，求f（x）在（0，f（0）；（2）设f（x）xex+x36x2在0，+）上恒成立，求实数c的取值范围【解答】解：（1）c3时，f（x）4ex2x23x8，所以f（x）4ex6x4，因为f（0）438，f（0）0，所以切线方程为yx；（2）因为f（x）xex+x38x2，所以cxxex+4exx3+3x22，x0时，不等式化为04x0时，不等式化为，令，则令（x）（x2）ex+2x4+x+2，则（x）（x1）ex+4x+1，令p（x）（x1）ex+8x+1，则p（x
24、）xex+48，所以p（x）在（0，+）递增，因为（0）0，所以（x）3，+）递增，因为（0）0，所以（x）0，3），所以h（x）在（0，2）上递增，+）上递减，所以，所以c的取值范围是e2，+）（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴已知曲线C1的方程为，A是C1上一动点，B的轨迹为C2（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若点P（0，4），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C2的交点为M，N，求|PM|+|PN|的最小值，并求取最
25、小值时直线l的普通方程【解答】解：（1），普通方程为（x1）7+（y+3）25，C5的轨迹方程为（x2）2+（y+2）212，22（cos3sin）28（2）将，代入（x7）2+（y+6）312，得t2+4（sincos）t80，t1+t54（sincos），t1t34，（当此时直线l的方程为：yx4选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|+m|x3|（m0）（1）f（x）5恒成立，求m的取值范围；（2）在（1）成立的条件下，设a+bm的最小值，b0，求的取值范围【解答】解：（1），由于m0，故y（m+2）x6m1为增函数，当x3，y6（m+2）3m75，y（m+2）x+2m+1为减函数，当x，ym，由于f（x）5恒成立，故，m2，当x3时，故y（3m）x+3m1为常值函数或者单调递减函数，故y（3m）3+3m45，综上，f（x）5恒成立，即m4（2）由（1）易知a+b2，a0，当且仅当，的取值范围是第23页（共23页）
