1、2022年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设，则复数z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）已知集合Px|x2n+1，nZ，Qt|t3n+1，则PQ（）Ar|r6n+1，nZBr|r3n+2，zZCr|r2n，nZDr|r4n，nZ3（5分）已知命题p：xR，cosx1；命题q：xR+，|lnx|0，则下列命题中为真命题的是（）ApqB（p）qCp（q）D（pq）4（5分）设函数，则下列函数中为奇函数的是（）Af（x+1）f（1x）Bf（x1）+f（x+
2、1）Cf（x+1）+1Df（x1）15（5分）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知A1B12，BB14，R为BD的中点，则直线RB1与A1D所成角的正弦值为（）ABCD6（5分）将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师（）A2400种B1800种C1200种D1600种7（5分）把函数yf（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变个单位长度，得到函数，则f（x）（）ABCD8（5分）在区间（1，2）和（2，3）中各随机取1个数x和y，则的概率为（）ABCD9（5分）已知an为数列Sn的前n项积，若，则数列an的
3、前n项和Tn（）An2+1Bn2+1Cn2Dn210（5分）设m0，若xm为函数f（x）m（xm）2（xn）的极小值点，则（）AmnBmnCD11（5分）设P是椭圆的下顶点，若C上存在点Q满足|PQ|2b（）ABCD12（5分）设m2ln1.02，nln1.05，则（）AkmnBnmkCnkmDmnk二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知向量，若，则 14（5分）已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离为，则C的离心率为 15（5分）记Sn为数列an的前n项和若am+naman，a38，则S5 16（5分）在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥所得多
4、面体的三视图中，以图为正视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共0分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的关系，得到了下面的散点图及一些统计量的值53.50.22300.77表中，（1）根据散点图判断：ya+bx与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）（2）
5、根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（3）若该图书每册的定价为9元，则至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元（假设能够全部售出）附：对于一组数据（1，v1），（2，v2），（n，vn），其回归直线v+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，18（12分）如图，经过村庄B有两条夹角为60的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F（异于村庄B）设计要求FDFEDE3（单位：千米）（1）若BDE30，求BF的值（保留根号）；（2）若设BDE，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远）（精确到0.1
6、，取1.732）19（12分）如图，四棱锥SABCD的底面是长方形，SA底面ABCD，3CECD，SCBE（1）证明：平面SBE平面SAC；（2）求直线SB与平面SCD所成角的正弦值20（12分）设函数f（x）ln（m+2x），已知x1是函y（x1）f（x）（1）求m；（2）设函数证明：g（x）121（12分）已知抛物线M：y22px（p0）的焦点为F，且F与圆C：（x+4）2+y24上点的距离的最大值为8（1）求抛物线M的方程；（2）若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A（A在B的上方），求QAB面积的最小值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选
7、题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，M的圆心为M（1，1），半径为1（1）写出M的一个参数方程；（2）直线l与M相切，且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，若l与两坐标轴所围成的三角形OAB的面积为6，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l的极坐标方程选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|x+a|+|x4|（1）当a1时，求不等式5f（x）7的解集；（2）若f（x）2a，求a的取值范围2022年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小
8、题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设，则复数z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：设za+bi（a，bR），则，5a+3bi+abi6a+4bi24i，解得，复数z对应的点（）在第四象限故选：D2（5分）已知集合Px|x2n+1，nZ，Qt|t3n+1，则PQ（）Ar|r6n+1，nZBr|r3n+2，zZCr|r2n，nZDr|r4n，nZ【解答】解：因为集合Px|x2n+1，nZ，nZ，所以PQr|r3n+1且r3n+3，nZr|r6n+1故选：A3（5分）已知命题p：xR，cosx1；命题q：xR+，|l
9、nx|0，则下列命题中为真命题的是（）ApqB（p）qCp（q）D（pq）【解答】解：根据题意，对于p，有cos01，对于q，当x7时，q为真命题，则pq、p（q），（p）q是真命题，故选：B4（5分）设函数，则下列函数中为奇函数的是（）Af（x+1）f（1x）Bf（x1）+f（x+1）Cf（x+1）+1Df（x1）1【解答】解：A：令g（x）f（x+1）f（1x）lnln，（5x1），则g（x）lng（x）；B：令g（x）f（x+1）+f（x1）ln+ln，（x1），则g（x）lnln，即g（x）为偶函数；C：g（x）f（x+1）+4ln+2，定义域关于原点不对称，C不符合题意；D：g（x）
10、f（x1）+1ln+1，定义域关于原点不对称，D不符合题意故选：A5（5分）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知A1B12，BB14，R为BD的中点，则直线RB1与A1D所成角的正弦值为（）ABCD【解答】解：连接B1C，B1R，则B2CA1D，则直线RB1与A8D所成角的平面角为RB1C（或其补角），又在正四棱柱ABCDA1B3C1D1中，A6B12，BB84，R为BD的中点，则CR，B8C2，B5R3，所以CR2+B1R2B7C2，所以CRB1为直角三角形，所以直线RB4与A1D所成角的正弦值为，故选：B6（5分）将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1
11、个学校，每个学校至少分配1名优秀教师（）A2400种B1800种C1200种D1600种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：将6名教师分为2组，有C6215种分组方法，将分好的6组全排列，安排到5个学校53120种分法，则有151201800种分配方法，故选：B7（5分）把函数yf（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变个单位长度，得到函数，则f（x）（）ABCD【解答】解：由题意，把函数个单位长度）的图象；再把所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变）的图象，故选：C8（5分）在区间（1，2）和（2，3）中各随机取1个数x和y，则的概率为（）ABCD【解答】解
12、：在区间（1，2）和（4，其基本事件（x，y）可用如图所示的正方形区域表示，则的基本事件可用阴影部分区域表示，则的概率为，故选：C9（5分）已知an为数列Sn的前n项积，若，则数列an的前n项和Tn（）An2+1Bn2+1Cn2Dn2【解答】解：当n1时，；当n8时，于是an是以4为首项，2为公差的等差数列n15（n1）16n，所以，故选：D10（5分）设m0，若xm为函数f（x）m（xm）2（xn）的极小值点，则（）AmnBmnCD【解答】解：因为f（x）m（xm）2（xn），所以f（x）2m（xm）（xn）+m（xm）7，f（m）0，f（x）2m（xn）+6m（xm）+2（xm），f（m）
13、2m（mn），所以当f（m）3时，xm为函数f（x）m（xm）2（xn）的极小值点，当f（m）0时8（xn）的极大值点，因为f（m）02m（mn）8，故选：C11（5分）设P是椭圆的下顶点，若C上存在点Q满足|PQ|2b（）ABCD【解答】解：点B的坐标为（0，b）0，y3），则+104a2（1），故|PB|3x02+（y3b）2a2（5）+（y0b）2y022by0+a2+b2，y0b，b，又对称轴y25，当b时，则当y5b时，|PB|2最大，此时|PB|2b， 当b时，则当y0时，|PB|2最大，此时|PB|7+a5+b24b2，则a22bc0，即（bc）40，所以bc满足题意，
14、综上，bc满足题意，b2c5，即a2c2c3，综上所述的e的范围为（，1）故选：A12（5分）设m2ln1.02，nln1.05，则（）AkmnBnmkCnkmDmnk【解答】解：m2ln1.02ln6.0404ln1.05n，构造函数f（x）ln（x+1）+1（x8），因为（x+6）2（）2x26，所以（x+1）2（）2，又因为x2，所以x+1，所以0，所以函数f（x）ln（x+6）+6在（0，所以f（0.05）f（0）4，所以ln1.051，mnk故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知向量，若，则【解答】解：向量，（+）+，则，故答案为：14（5分）已知双
15、曲线的焦点到它的渐近线的距离为，则C的离心率为 【解答】解：根据条件可得a21，b6n，则，焦点坐标为，渐近线方程为，故焦点到渐近线距离，故，所以离心率，故答案为：15（5分）记Sn为数列an的前n项和若am+naman，a38，则S562【解答】解：由am+naman，令m1，则an+1a7an，若a10，则a60，不符合a36，舍去数列an为等比数列，取mn3，则a6a3q3，a38q7，解得q2，an+1a3an，a1q2，则S262，故答案为：6216（5分）在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥所得多面体的三视图中，以图为正视图，组成这个多面体的三视图，则所选
16、侧视图和俯视图的编号依次为 （或）（写出符合要求的一组答案即可）【解答】解：根据题意，在一个正方体中，如果图是正视图，则几何体若如图（1）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次为；如果几何体如图（2）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次为故答案为：（或）三、解答题：共0分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的关系，得到了下面的散点图及一些统计量的值53.50.22300.77表中，（
17、1）根据散点图判断：ya+bx与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（3）若该图书每册的定价为9元，则至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元（假设能够全部售出）附：对于一组数据（1，v1），（2，v2），（n，vn），其回归直线v+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，【解答】解：（1）由散点图判断更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程（2）令，先建立y关于u的线性回归方程由于，故，所以y关于u的线性回归方程为，从而y关于x的回
18、归方程为（3）假设印刷x千册，依据题意得，所以至少应该印刷12000册图书，才能使销售利润不低于80000元18（12分）如图，经过村庄B有两条夹角为60的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F（异于村庄B）设计要求FDFEDE3（单位：千米）（1）若BDE30，求BF的值（保留根号）；（2）若设BDE，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远）（精确到0.1，取1.732）【解答】解：（1）若BDE30，又DBE60，所以此时DEBA，又DEF为边长为3的等边三角形，所以DFBC，在RtBDE中，因为DE3，所以，在RtBDF中，（2）
19、若BDE，在BDE中，所以，在BDF中，cosBDFcos（60+），所以BF2BD2+DF22BDDFcosBDF，即，当且仅当150+2270时，即60时2取得最大值27，此时，所以当为60时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小19（12分）如图，四棱锥SABCD的底面是长方形，SA底面ABCD，3CECD，SCBE（1）证明：平面SBE平面SAC；（2）求直线SB与平面SCD所成角的正弦值【解答】证明：（1）因为SA平面ABCD，又BE平面ABCD又SCBE，且SASCS，又BE平面SBE，所以平面SBE平面SAC解：（2）由（1）可知，SAAD，在长方形ABCD中，ABAD，建立如图
20、所示的空间直角坐标系Axyz，设CDt，则B（t，0，C（t，1，所以，因为SCBE，所以，得（注：也可以连接AC交BE于H，证明AHBCHE），所以，故AH5CH，HB3HE，则在RtBCE中，又在RtABC中，所以，解得，故因为，A（0，5，D（0，1，所以，设平面SCD的法向量为，则即令z7，则，设SB与平面SCD所成角为，则所以SB与平面SCD所成角的正弦值为20（12分）设函数f（x）ln（m+2x），已知x1是函y（x1）f（x）（1）求m；（2）设函数证明：g（x）1【解答】解：（1）由题意可知，y（x1）f（x）（x1）ln（m+8x），则，因为x1是函数y（x1）ln（m+3
21、x）的极值点，所以y|x1ln（m+1）6，所以m+11，故m8（2）证明：由（1）得f（x）ln（2x），x（，设h（x）x1+f（x）x7+ln（2x），则，当x1时，即h（x）0，2）单调递增，当1x2时，即h（x）3，2）单调递减，因此当x（，2）时，g（x）的定义域要求f（x）有意义，即x（，同时还要求x8+ln（2x）0，即要求x5，故g（x）的定义域为x|x2且x1要证，因为x5+f（x）0，所以只需证（x1）f（x）x5+f（x），即需证x1+ln（2x）（x4）ln（2x）0，令5xt，则t0且t1，即证7t+tlnt0，令m（t）1t+tlnt，则m（t）lnt，所以m（t
22、）在区间（6，1）上单调递减，+）上单调递增，所以m（t）m（1）0，即g（x）3成立21（12分）已知抛物线M：y22px（p0）的焦点为F，且F与圆C：（x+4）2+y24上点的距离的最大值为8（1）求抛物线M的方程；（2）若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A（A在B的上方），求QAB面积的最小值【解答】解：（1）由题意知C（4，0），所以|FC|+r8，即，解得p425x（2）设，直线AB的方程为xmy+b，联立方程组，消去x22my8b0，则64m5+32b0，y1+y78m，y1y58b所以，因为y38x，所以或，则或，所以切线QA的斜率为，其方程为，即，同理切线QB的斜率为，
23、其方程为联立方程组，解得，即点Q的坐标为（b，4m），因为点Q在圆C上，所以（4b）8+16m24，且7b2，即2b2，满足判别式的条件点Q到直线AB的距离为，所以，又由（4b）3+16m24，得，令t3m2+2b，则，且2b8，因为在区间6，所以当b2时，此时m0，所以QAB面积的最小值为16（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，M的圆心为M（1，1），半径为1（1）写出M的一个参数方程；（2）直线l与M相切，且与x轴的
24、正半轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，若l与两坐标轴所围成的三角形OAB的面积为6，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l的极坐标方程【解答】解：（1）由题意可得，圆M的标准方程为（x1）2+（y4）21，故圆M的一个参数方程为（为参数）（2）由题意可知，斜率的斜率存在，即kxy+b0，圆心M（4，1）到直线l的距离为1，化简可得，b22b+2（b1）k7，又，B（0，即b612|k|，由题意可知，k0，故b212k，联立方程组，解得或，所以直线l的直角坐标方程为y或y，所以直线l的极坐标方程为或选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|x+a|+|x4|（1）当a1时，求不等式5f（x）7的解集；（2）若f（x）2a，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）|x+1|+|x3|，则f（x），故5f（x）7，即7|x1|+|x4|5，当x1时，得54x+37，当4x4时，得557，当x4时，得62x32，综上，原不等式的解集为2，5（2）f（x）|x+a|+|x8|（x+a）（x4）|a+4|，当x的值在a与4之间（包括两个端点）时取等号，若f（x）2a，则只需|a+4|7a，当a0时，|a+4|5a，当a0时，|a+4|2a等价于a+42a，解得2a4，综上，a的取值范围为（第20页（共20页）
