1、2022年上海市徐汇区南模中学高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题1若a1，3，a3，则实数a的取值集合为 2函数f（x）x26|x|+8的单调减区间是 3已知数列an的前n项和Sn2n2，则数列an的通项公式为 4函数ysinx，x，的反函数为 5若满足，AC6，BCk的ABC恰有一个 6已知函数f（x），数列an满足anf（n）（nN*），若数列an单调递增，则实数a的取值范围是 7正项等比数列an满足：a3+a6a1a46，则a5+a8的最小值为 8若方程，若方程f（x）3无解 9在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是 ；若z1z20，则z1z2；若，则z1z2z3；，则；两个共轭复数
2、的差是纯虚数；若|z+i|zi|，则z必为实数10若函数在区间a，b（a，bR），则符合条件的所有ba的取值范围是 11对于定义域为D的函数f（x），若对任意的x1，x2D，当x1x2时都有f（x1）f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”（x）的定义域D1，2，3，4，5，7，8，则函数f（x） 12已知定义在N*上的单调递增函数yf（x），对于任意的nN*，都有f（n）N*，且f（f（n）3n恒成立，则f（2022）（2019） 二、选择题13已知是平面，l、m、n是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数（）若m，n，lm，则l；若lm，ln，则mn；若点A、B不在直线l上，
3、且到l的距离相等，则直线ABl；若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面；若m，n，ln；若m，n，lmA0B1C2D314函数f（x）的反函数图象向左平移1个单位，得到曲线C（x）的图象与曲线C关于yx成轴对称，那么g（x）（）Af（x+1）Bf（x1）Cf（x）+1Df（x）115德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式f（x），关于狄利克雷函数f（x）（）A对任意xR，f（f（x）1B函数f（x）是偶函数C任意一个非零实数T都是f（x）的周期D存在三个点A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）、C（x3，f（x3），使得ABC为正三角形16已知
4、数列an满足：当an0时，；当an0时，an+10；对于任意实数a1，则集合n|an0，n1，2，3，的元素个数为（）A0个B有限个C无数个D不能确定，与a1的取值有关三、解答题17如图，在RtAOB中，斜边AB4，现将RtAOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且BOC90，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）18已知ABC中，AC1，设BACx，记；（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程19如图，A、B是椭圆长轴的两个端点，设直线AM、BN、AN的斜率分别是k1、
5、k2、k3（1）若直线MN过点（1，0），求证：k1k3为定值；（2）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程，请说明理由20已知函数g（x）的定义域是D，若对于任意的x1，x2D，当x1x2时，都有g（x1）g（x2），则称函数g（x）在D上为不减函数现有定义在0（x）满足下述条件：对于x0，2，总有f（2x）（x），且f（x）1，f（1）；对于x，y1，2，则f（x）+f（y）（x+y2）+1试证明下列结论：（1）对于x，y0，1，则f（x+y）f（x）（y）1；（2）（）f（x）在0，1上为不减
6、函数；（）对nN*，都有；（3）当x1，2时，有1f（x）21设自然数n3，若由n个不同的正整数a1，a2，an构成的集合Sa1，a2，an满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P（1）试分别判断在集合S11，2，3，4与S21，2，4，8是否具有性质P，不必说明理由；（2）已知集合Sa1，a2，an具有性质P记，求证：对于任意正整数kn，都有；令，求证：Dk0；（3）在（2）的条件下，求的最大值2022年上海市徐汇区南模中学高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空题1若a1，3，a3，则实数a的取值集合为 0，
7、1，3【解答】解：a1，3，a5，a1或a3或aa8，故a1或a3或a5或a1，经检验，当a1时，a31，故不成立，故实数a的取值集合为0，6，3，故答案为：0，7，32函数f（x）x26|x|+8的单调减区间是 （，3和0，3【解答】解：由题意，f（x）x26|x|+7，所以当x8时，函数f（x）的对称轴为x3，所以f（x）在0，2单调递减，+）单调递增，当x0时，函数f（x）的对称轴为x3，所以f（x）在（，6单调递减，0）单调递增，综上，函数f（x）的单调递减区间是（，3故答案为：（，3和03已知数列an的前n项和Sn2n2，则数列an的通项公式为 an【解答】解：根据题意，数列an的前
8、n项和Sn2n2，当n2时，a1S1420，当n4时，anSnSn1（2n2）（2n16）2n2n32n1，综合可得：an，故答案为：an4函数ysinx，x，的反函数为 yarcsinx，【解答】解：因为函数ysinx，x，利用反函数的定义求出反函数的关系式为yarcsinx，故答案为：yarcsinx，5若满足，AC6，BCk的ABC恰有一个（0，6【解答】解：由正弦定理可得，故sinA，由A（0，）且ABC恰有一个，故0或sinA1，所以6k6或k6故答案为：（0，666已知函数f（x），数列an满足anf（n）（nN*），若数列an单调递增，则实数a的取值范围是 （2，4）【解答】解：
9、数列an是递增数列，又，1a8且f（7）f（8），7（4a）10a2，解得a9或a2，故实数a的取值范围是（7，4）故答案为：（2，3）7正项等比数列an满足：a3+a6a1a46，则a5+a8的最小值为 24【解答】解：设正项等比数列an的公比为q（q0），由a3+a8a1a46，得（a1+a4）q5（a1+a4）4，即a1+a4，所以a7+a8（a1+a6）q4，故当q时，a5+a7有最小值，且最小值为故答案为：248若方程，若方程f（x）3无解，2）【解答】解：若f（x）3，则x28或2x12，故x或x2，故（t，t，故t，2），故答案为：，2）9在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是
10、 ；若z1z20，则z1z2；若，则z1z2z3；，则；两个共轭复数的差是纯虚数；若|z+i|zi|，则z必为实数【解答】解：设za+bi，则，所以正确；设z13+i，z41+i，z1z20，但z1与z7不能比较大小，所以不正确；设z11+i，z71，z33，则，所以不正确；设z12+2i，z25+i，则，所以不正确；设z1a2+b1i，z2a2+b2i，则，z1z1z3z2，所以正确；当z17+i，z21i时，所以不正确；如果两个复数是实数，差值也是实数；设za+bi（a，bR），zia+（b1）i，所以正确故答案为：10若函数在区间a，b（a，bR），则符合条件的所有ba的取值范围是 ，）
11、【解答】解：作函数的图象如下，每一个周期内有8个零点，12+，12+，12+，故ba的最小值为12+，小于的最近零点是的最近零点是14+，故ba14+（，故符合条件的所有ba的取值范围是，）；故答案为：，）11对于定义域为D的函数f（x），若对任意的x1，x2D，当x1x2时都有f（x1）f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”（x）的定义域D1，2，3，4，5，7，8，则函数f（x）【解答】解：根据题意，若函数f（x）的定义域D1，2，2，4，值域为A6，5，需要将定义域中5个元素分为3组，有C+，将分好的3组对应值域中7个元素，有A，则有254150个f（x）的定义域D1，2，6
12、，4，5，8，8，若函数f（x）为“不严格单调增函数”，需要将定义域中5个元素从小到大分为4组，有C，即有2个f（x）是“不严格单调增函数”，则函数f（x）为“不严格单调增函数”的概率P故答案为：12已知定义在N*上的单调递增函数yf（x），对于任意的nN*，都有f（n）N*，且f（f（n）3n恒成立，则f（2022）（2019）9【解答】解：令n1得f（f（1）3，若f（1）8，则f（f（1）f（1）1；若f（1）3，则f（f（1）f（3）6；同理f（1）不可能大于3，f（1）2，f（2）f（f（1）8，f（3）f（f（2）6，f（6）f（f（3）9，f（x）是定义在N*上的单调增函数yf（
13、x），对于任意的nN*，都有f（n）N*，f（4）2，f（5）8，f（7）f（f（4）12，f（8）f（f（5）15，归纳可得：f（3k6）23k3，f（23k3）f（f（3k1）6k，当n3k1，63k1时，由f（x）的单调性可知：f（8k1）f（n）f（23k1），即24k1f（n）3k53k12k13k23k1，f（n）n+8k1当n26k1，3k时，nn7k1+3k4f（n3k1），f（n）f（f（n6k1）3（n6k1）3n8kf（n），2562019202237，f（2019）2019337，f（2022）2022337，f（2022）f（2019）3（20222019）9故答案为
14、：6二、选择题13已知是平面，l、m、n是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数（）若m，n，lm，则l；若lm，ln，则mn；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线ABl；若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面；若m，n，ln；若m，n，lmA0B1C2D3【解答】解：对于，若m，lm，则只有当m，n相交时，故错误；对于，若lm，则m与n相交，故错误；对于，若点A，且到l的距离相等，直线AB与l相交或平行，故错误；对于，若三条直线l、m，则直线l、m，故错误；对于，若m，ln，故错误；对于，若m，lm，由平行的传递性得到ln故选：B14函数f（x）的反函数图象向左平
15、移1个单位，得到曲线C（x）的图象与曲线C关于yx成轴对称，那么g（x）（）Af（x+1）Bf（x1）Cf（x）+1Df（x）1【解答】解：因为yf（x）的反函数为yf1（x），向左平移一个单位后得到曲线C为：yf1（x+4），由yf1（x+1）得，x+6f（y），即yf1（x+1）的反函数为yf（x）7，依题意得g（x）f（x）1，故选：D15德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式f（x），关于狄利克雷函数f（x）（）A对任意xR，f（f（x）1B函数f（x）是偶函数C任意一个非零实数T都是f（x）的周期D存在三个点A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）
16、、C（x3，f（x3），使得ABC为正三角形【解答】解：任意xR，f（x）0或f（x）1，故A正确；任意xR，因此x，故f（x）f（x），故B正确；取，则，故，故f（x）不是周期函数，故C错误；取，则f（x1）f（x3）7，f（x2）1，则，故，故ABC为正三角形故选：C16已知数列an满足：当an0时，；当an0时，an+10；对于任意实数a1，则集合n|an0，n1，2，3，的元素个数为（）A0个B有限个C无数个D不能确定，与a1的取值有关【解答】解：当a10时，根据题意7a3a42，则集合的元素有无数个；当a11时，则a80，根据题意3a70，则集合的元素有无数个；当a12且a10时，若
17、an1，则an+14；若0an1，则an+20；若1an3，则an+10；若an4，则an+10而an+4an，则an0时，数列递减且无下限（）；an0时，数列递增且无上限（*）（1）若a51，则an+1an6，根据（）可知1，a2，的迭代过程中，总有一项会首次小于5k（k1，KZ）；（2）若ak1，则ak+20；若ak+15，则ak+20，接下来进入（2）或（3）；若6ak+10，接下来进入（3）；（3）若2ak0，则ak+13，接下来进入（1）或 （4）；（4）若0ak1，则ak+70，接下来进入（2）或（3）若0a21，则进入（4）若1a40，则进入若a18，则进入如此会无限循环下去，会
18、出现无限个负数项综上：集合n|an0，n1，8，3故选：C三、解答题17如图，在RtAOB中，斜边AB4，现将RtAOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且BOC90，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）【解答】解：（1）在RtAOB中，斜边AB4，将RtAOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，圆锥的侧面积S侧rl248（2）取OB的中点E，连结DE，则DEAO，DE平面BOC，DCE是直线CD与平面BOC所成的角，在RtDEC中，CE，tan，直线CD与平面BOC所成角的大小为arc
19、tan18已知ABC中，AC1，设BACx，记；（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程【解答】解：（1）由正弦定理有BCsinx，sinxsin（cosxsin（2x+，其定义域为（0，）（2）+2k2x+，kZ，+kx，kZ，x（0，）递增区间，方程sin（5x+，sin（2x+）2，解得19如图，A、B是椭圆长轴的两个端点，设直线AM、BN、AN的斜率分别是k1、k2、k3（1）若直线MN过点（1，0），求证：k1k3为定值；（2）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是
20、，请求出该定直线的方程，请说明理由【解答】（1）证明：设直线MN为：xmy+1，M（x1，y3），N（x2，y2），由得，（7m2+4）y5+6my95，k1k7为定值；（2）解：设MN：xmy+t，M（x2，y1），N（x2，y3），则，AM和BN方程联立得，即，即，即直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上20已知函数g（x）的定义域是D，若对于任意的x1，x2D，当x1x2时，都有g（x1）g（x2），则称函数g（x）在D上为不减函数现有定义在0（x）满足下述条件：对于x0，2，总有f（2x）（x），且f（x）1，f（1）；对于x，y1，2，则f（x）+f（y）（x+y2）+1试证
21、明下列结论：（1）对于x，y0，1，则f（x+y）f（x）（y）1；（2）（）f（x）在0，1上为不减函数；（）对nN*，都有；（3）当x1，2时，有1f（x）【解答】证明：（1）因为x，y0，x+y1时，2y1，且2x+7y4（x+y）3，所以f（3x）+f（2y）f（2x）+（8y）2+1f2（x+y）1，又因为f（2x）f（x）对x7，2恒成立，即有f（x+y）f（x）+f（y）1成立（2）（）任取4x1x25，则x2x13，1，可得f（x2）f（x6x1+x1）f（x7x1）+f（x1）61+f（x1）8f（x1），所以f（x）在0，7上为不减函数（）对nN*时，反复利用（1）中结论，
22、可得f（）f（+）+f（）7，因此f（）+，进而f（）7）71），以此类推可得f（）1）1，所以f（）（3）对任意x0，5*使得x，因为f（x）在4，1上为不减函数）f（x）f（），由（2）知f（）+16，由可得f（2）1，在中，的f（2）3，而f（2）f（0）1，所以f（）f（0）1，因此1f（x）8x+1对任意x0，6成立，当x1，2时，8，证毕21设自然数n3，若由n个不同的正整数a1，a2，an构成的集合Sa1，a2，an满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P（1）试分别判断在集合S11，2，3，4与S21，2，4
23、，8是否具有性质P，不必说明理由；（2）已知集合Sa1，a2，an具有性质P记，求证：对于任意正整数kn，都有；令，求证：Dk0；（3）在（2）的条件下，求的最大值【解答】解：（1）对于集合S11，6，3，4，所以集合5，4，3的元素和相等5不具有性质P；对于S21，7，4，8，7，8，2，7，8，2，5，8，8，6，4，2，6，4，8，4，8，2，7，8，各集合的和分别为：1，6，4，8，3，5，9，7，10，7，11，14，它们彼此相异，故S2具有性质P；（2）证明：因为a6，a2，an具有性质P，故对于任意的k1，a8，ak也具有性质P，否则a1，a2，ak有两个非空子集A，B，它们的元
24、素和相等，而A，B也是a3，a2，an的子集，故a1，a4，an不具有性质P，矛盾；注意到a1，a2，ak共有8k1个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为a1+a2+ak，最小为a1，故a1+a4+ak2k1因为，故a4+a2+ak（1+7+2k1），由可得：a5+a2+ak（1+8+2k1）4，故0（3）不妨设a3a2+an，则1+）+，设ci，则cici+60，由（2）可得：diai2i4，且0，而+1d2+c2d2+cndnc3D1+c2（D4D1）+c3（D3D2）+cn（DnDn1）（c4c2）D1+（c4c3）D2+（cn4cn）Dn1+cnDn0，故1+11D7D3Dn0时等号成立，即此时任意的正整数k，a3+a2+ak2k2，即a11，ak7k2k14k1故此时ak2k8等号成立，故的最大值为3第19页（共19页）
