1、2022年陕西省商洛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设复数z满足（1i）z2i，则|z|（）A1BC2D22（5分）设集合A1，2，32+bx+50若AB1，则B（）A（1，3B1，3C1，5D1，53（5分）已知实数x，y满足约束条件则zx+y的最大值为（）A1BC3D24（5分）ba+1是3b3a的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）如图是国家统计局近期公布的全国居民消费价格的涨跌幅情况：现有如下说法：2021年3月份，全国居民消费价格的同比
2、和环比均呈现增长趋势；2021年1月至2022年1月，全国居民消费价格同比增长的月份有7个；2021年1月至2022年1月中的任1个月，全国居民消费价格的环比呈现增长趋势的频率为；在2021年1月至2022年1月这个时段中，全国居民消费价格的同比与环比都增长的月份有5个上述说法正确的个数为（）A1B2C3D46（5分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B，a2，则b（）A4BCD27（5分）声音大小（单位：dB）取决于声波通过介质时所产生的压力（简称声压，单位：N/m2）变化已知声压x与声音大小y的关系式为根据我国工业企业噪声卫生标准规定，新建企业工作地点噪音容许标准为85d
3、B若某新建企业运行时测得的声音大小为60dB，则此时声压为（）A2N/m2B20N/m2C0.2N/m2D0.02N/m28（5分）已知直线x是函数f（x）sin（x+）（08），则f（x）的最小正周期为（）ABCD29（5分）如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A60B54C48D2410（5分）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，则n（）A21B22C23D2411（5分）若对任意的x（1，+），恒有，则a的取值范围为（）A（，eB（，+）C（，D
4、，+）12（5分）设点F1，F2分别为双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，B分别在双曲线C的左、右支上，若52，且|（）ABCD二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13（5分）已知，则tan 14（5分）已知向量，满足，则 15（5分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点M在C上，到x轴的距离为9，则p 16（5分）在ABC中，ABAC2，cosA，使得AD，如图所示 三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）已知正
5、项等比数列an满足a1，a1a54（a31）（1）求an的通项公式an；（2）求n+an的前n项和Sn18（12分）某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加该地区为更好地了解农村的经济收入变化情况，对该地农村家庭年收入进行抽样调查（1）估计该地区农村家庭年收入的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）用样本频率估计总体，现从该地区中随机抽取2户农村家庭，记家庭年均收入落在区间（9.5，家庭年均收入落在区间（7.5，14.5内的户数为Y（X）与E（Y）的值19（12分）在如图1所示的梯形ABCD中，已知ADBC，ABBCBC1，E为BC的中点，得到如图2所示的四棱锥
6、，且此时C1ABED的体积最大（1）证明：平面AC1D平面C1ED；（2）若AC1，求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值20（12分）已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），点A（0，b）满足（1）求C的方程；（2）设过F2的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k21，l1与C交于点D，E，l2与C交于点G，H，线段DE与GH的中点分别为M，N判断直线MN是否过定点若过定点；若不过定点，请说明理由21（12分）已知函数f（x）（1）当a，b1时，求曲线yf（x），f（0）处的切线方程；（2）当0ae2，且x2时，f（x）blna（x1）恒成立选修4
7、-4：坐标系与坐标系方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系1的极坐标方程为cos（+）（1）求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为，设曲线C1和直线C2交于M，N两点，求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xm|+|x+3|（1）当m1时，求不等式f（x）6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）2m5有解，求实数m的取值范围2022年陕西省商洛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
8、一项是符合题目要求的.1（5分）设复数z满足（1i）z2i，则|z|（）A1BC2D2【解答】解：（1i）z2i，|z|故选：D2（5分）设集合A1，2，32+bx+50若AB1，则B（）A（1，3B1，3C1，5D1，5【解答】解：集合A1，2，Bx|x3+bx+50，AB3，1B，1b+70，Bx|x2+6x+504，1故选：C3（5分）已知实数x，y满足约束条件则zx+y的最大值为（）A1BC3D2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，由zx+y，得yx+z，当直线yx+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7故选：D4（5分）ba+1是3b3a的（）A充分不必
9、要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：ba+1，ba，3b4a；若b1，a0.7b3a成立，而ba+1不成立，故ba+4是3b3a的充分不必要条件，故选：A5（5分）如图是国家统计局近期公布的全国居民消费价格的涨跌幅情况：现有如下说法：2021年3月份，全国居民消费价格的同比和环比均呈现增长趋势；2021年1月至2022年1月，全国居民消费价格同比增长的月份有7个；2021年1月至2022年1月中的任1个月，全国居民消费价格的环比呈现增长趋势的频率为；在2021年1月至2022年1月这个时段中，全国居民消费价格的同比与环比都增长的月份有5个上述说法正确的个数为（）A
10、1B2C3D4【解答】解：2021年3月份，全国居民消费价格的同比为正数，所以错误：2021年1月至2022年8月，下跌的月份有2个；2021年1月至2022年2月，全国居民消费价格环比增长的月份有7个，故从2021年1月至2022年7月中任取1个月，所以错误；在2021年5月至2022年1月这个时段中，全国居民消费价格的同比与环比都增长的月份有5个，故选：A6（5分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B，a2，则b（）A4BCD2【解答】解：因为bcsinA8sinB，所以由正弦定理可得abc8b，可得ac7，又B，a2，可得c2，所以由余弦定理可得b2故选：B7（5分）声
11、音大小（单位：dB）取决于声波通过介质时所产生的压力（简称声压，单位：N/m2）变化已知声压x与声音大小y的关系式为根据我国工业企业噪声卫生标准规定，新建企业工作地点噪音容许标准为85dB若某新建企业运行时测得的声音大小为60dB，则此时声压为（）A2N/m2B20N/m2C0.2N/m2D0.02N/m2【解答】解：y10lg（）2，令y60，可得6010lg（）2，得lg3，所以103，所以x41051037.02（N/m2），故选：D8（5分）已知直线x是函数f（x）sin（x+）（08），则f（x）的最小正周期为（）ABCD2【解答】解：直线x是函数f（x）sin（x+，+k+，kZ，
12、则f（x）的最小正周期为，故选：C9（5分）如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A60B54C48D24【解答】解：该几何体为直三棱柱ABCA1B1C8，如图所示，其中ABBB14，BC3，所以该几何体的表面积S（3+4+3）4+（）860，故选：A10（5分）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，则n（）A21B22C23D24【解答】解：由题意可知，第n行的数就是二项式（a+b）n的展开式中各项的二项式系数因为只有第12项的二项式系数最大，所以n为偶
13、数，故，解得n22，故选：B11（5分）若对任意的x（1，+），恒有，则a的取值范围为（）A（，eB（，+）C（，D，+）【解答】解：令f（x）ex+，xR，f（x）在R上是偶函数下面研究x（0，+）时，f（x）ex7，x（0，+）时对任意的x（1，+），即f（|ax|）f（lnx），|ax|lnx，|a|，令g（x），+），g（x），x（1，e）时，函数g（x）单调递增，+）时，函数g（x）单调递减xe时，函数g（x）取得极大值|a|则a的取值范围为（，故选：B12（5分）设点F1，F2分别为双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，B分别在双曲线C的左、右支上，若52，且|（）ABCD【解答
14、】解：因为2，可得|2|2，可得|AF2|AB|cosBAF8，可得F2BAF2，如图所示：由勾股定理可得|BF3|2+|AF2|3|AB|2，设|AF1|m，因为7，|BF1|8m，由题意可得，即（m+5a）2+（6m5a）225m2，解得ma或ma，又因为|，所以可得m+2a6m6a，可得ma，所以ma，当ma时，|BF5|4a，|AB|5a2，在BF1F2中，cosABF5，整理可得：17a26c25a6+5b2，可得7ab，所以双曲线的渐近线的方程为yxx，故选：A二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13（5分）已知，则tan3【解答】解：因为t
15、an（+，所以tan3故答案为：314（5分）已知向量，满足，则2【解答】解：向量，满足，可得716，3，解得故答案为：215（5分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点M在C上，到x轴的距离为9，则p8【解答】解：点M在C上，到x轴的距离为9，|MF|9+13故答案为：816（5分）在ABC中，ABAC2，cosA，使得AD，如图所示5【解答】解：在ABC中，由余弦定理得，在三棱锥DABC中，ABACDBDC2，将三棱锥DABC放入长方体，设长方体的长宽高分别为a，b，c，设三棱倠DABC的外接球的半径为R，则，可得，所以三棱锥DABC的外接球的表面积为S4R25故答案为：8三、解
16、答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）已知正项等比数列an满足a1，a1a54（a31）（1）求an的通项公式an；（2）求n+an的前n项和Sn【解答】解：（1）a1，a1a58（a31），a6a1q43（a1q25），q24（q21），（q34）26，又q0，q2，an2n62n2；（2）Snn+an（4+a1）+（2+a4）+（n+an）（1+2+n）+（a4+a2+an）+7n118（12分）某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加该地区为更好地了解
17、农村的经济收入变化情况，对该地农村家庭年收入进行抽样调查（1）估计该地区农村家庭年收入的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）用样本频率估计总体，现从该地区中随机抽取2户农村家庭，记家庭年均收入落在区间（9.5，家庭年均收入落在区间（7.5，14.5内的户数为Y（X）与E（Y）的值【解答】（1）解：根据频率分布直方图中的数据，估计该地区农村家庭年收人的平均值为：（3+12+13+14）0.02+（7+11）0.04+（5+4+10）0.10+66.14+（7+8）5.207.68；（2）解：农村家庭年均收入落在区间（9.3，14.5内的概率为，则随机变量，所以，农村家庭年均收
18、入落在区间（4.5，14.5内的概率为，则随机变量为，所以19（12分）在如图1所示的梯形ABCD中，已知ADBC，ABBCBC1，E为BC的中点，得到如图2所示的四棱锥，且此时C1ABED的体积最大（1）证明：平面AC1D平面C1ED；（2）若AC1，求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：因为为BC的中点，所以四边形ABED是矩形，BEDE，在四棱锥C2ABED中，BEDE1，且C1EBEE，所以DE平面BC5E，当四棱锥C1ABED的体积最大时，C1E平面ABED，此时高为C3E，否则的话高的长度一定小于C1E的长度，所以BEEC1，因为BEEC6，BEDE，C1
19、EDEE，所以BE平面C1ED，因为ADBE，所以AD平面C2ED，又AD平面AC1D，所以AC1D平面C2ED；（2）由（1）知AD平面C1DE，所以ADC1D，在ADC7中，所以，因为BEDE，C5E平面ABED，所以分别以的方向为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设（x，y1D的法向量，由，可得，令y1，得（4，1，设BC1与平面AC7D所成的角为，则，故直线BC7与平面AC1D所成角的正弦值为20（12分）已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），点A（0，b）满足（1）求C的方程；（2）设过F2的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2
20、1，l1与C交于点D，E，l2与C交于点G，H，线段DE与GH的中点分别为M，N判断直线MN是否过定点若过定点；若不过定点，请说明理由【解答】解：（1），由得b6c22，由两边平方且，解得，从而c1所以a2b+c84，C的方程为（2）易知l1：yk1（x2），l2：yk2（x3），设D（x1，y1），E（x4，y2），联立方程组消去y，得，由根与系数的关系知，则，把代入直线l1的方程得，即，同理可得当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ymx+n，将点M，N的坐标代人直线MN的方程，易知k6，k2为方程（4m+6n）k2+3k+2n0的两个不等根，且，由题k1k23，所以，所以MN的方程为
21、，所以直线MN过定点（，当直线MN的斜率不存在时，则，化简积，又k1k27，所以k1k2，且，所以，即直线MN的方程为，此时MN过定点（，综上所述，直线MN过定点（21（12分）已知函数f（x）（1）当a，b1时，求曲线yf（x），f（0）处的切线方程；（2）当0ae2，且x2时，f（x）blna（x1）恒成立【解答】解：（1）当，b7时x2x+1，则f（x）2ex2，又因为f（0）5，f（0）2，所以曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为：y2x+8；（2）由f（x）blna（x1）恒成立，即恒成立，等价于恒成立，构造函数h（x）x+blnx（x7），所以不等式于，+）上恒成立等价于
22、，+）上恒成立，因为0ae2，所以，令函数H（x）ex2x+1，x7x21，显然H（x）是增函数，所以H（x）在（8，+）上单调递增，故，从而，又在x（2，所以h（x）在（5，+）上单调递增，所以当x（1，+）时，所以b（x）max1，即b1，所以b的取值范围为3，+）选修4-4：坐标系与坐标系方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系1的极坐标方程为cos（+）（1）求曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为，设曲线C1和直线C2交于M，N两点，求的值【解答】解：（1）曲线C1的参数方
23、程为（为参数）2+y64；直线C1的极坐标方程为cos（+），转换为直角坐标方程为xy22；（2）点P的极坐标为，转换为直角坐标为（3；把曲线C2的方程转换为参数方程为（t为参数）2+y24；得到：；所以；t1t23；所以选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xm|+|x+3|（1）当m1时，求不等式f（x）6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）2m5有解，求实数m的取值范围【解答】解：（1）对于函数f（x）|xm|+|x+3|，当m1时，即|x8|+|x+3|6根据绝对值的意义，|x5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到1和8对应点距离之和，而4、2对应点到3和3对应点距离之和正好等于6（2）关于x的不等式f（x）5m5有解，即|x1|+|x+7|2m5能成立，故5m5大于或等于|x1|+|x+4|的最小值而|x1|+|x+3|的最小值为3，2m53，故实数m的取值范围为第19页（共19页）
