1、第四编第四编 三角恒等变换、解三角形三角恒等变换、解三角形4.3 4.3 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质?1?-1?y=sinx?-3?2?-5?2?-7?2?7?2?5?2?3?2?2?-?2?-4?-3?-2?4?3?2?-?o?y?x 三角函数图像及性质三角函数图像及性质2、正弦函数、正弦函数 y=sinx 的性质的性质1、正弦函数、正弦函数 y=sinx 的图像的图像 定义域定义域: 值域值域: 周期周期: 奇偶性奇偶性:单调区间单调区间: : 增区间增区间 减区间减区间 对称轴对称轴: : 对称中心对称中心: : kk22,22 kk223,222 kx 0, kR-1,1
2、 2奇函数奇函数 ?1?-1?y=cosx?-3?2?-5?2?-7?2?7?2?5?2?3?2?2?-?2?-4?-3?-2?4?3?2?-?o?y?x4、余弦函数、余弦函数 y=cosx 的性质的性质3、余弦函数、余弦函数 y=cosx 的图像的图像 定义域定义域: 值域值域: 周期周期: 奇偶性奇偶性:单调区间单调区间: : 增区间增区间 减区间减区间 对称轴对称轴: : 对称中心对称中心: : R-1,1 2偶函数偶函数 kk2 ,2 kk2,2 kx 0 ,2 k 三角函数图像及性质三角函数图像及性质?y=tanx?3?2?2?-?3?2?-?-?2?o?y?x6、正切函数、正切函数
3、 y=tanx 的性质的性质5、正切函数、正切函数 y=tanx 的图像的图像 定义域定义域: 值域值域: 周期周期: 奇偶性奇偶性:单调区间单调区间: : 增区间增区间 减区间减区间 对称轴对称轴: : 对称中心对称中心: : R奇函数奇函数 无无无无 kk2,22 kx)(0,2Zkk 三角函数图像及性质三角函数图像及性质函数 的图象有什么关系呢? ysin xyAsinx与与 ysin xxR探探究究一一：对对，的的图图象象的的影影响响. . 00ysin x. 结结论论一一：的的图图象象, ,可可以以看看作作是是把把正正弦弦曲曲线线上上所所有有的的点点向向左左或或向向右右平平移移个个单
4、单位位长长度度得得到到 0ysinxxR 探探究究二二：对对，的的图图象象的的影影响响. . 1101ysinxysin x 结结论论二二：的的图图象象, ,可可以以看看作作是是把把的的图图象象上上所所有有的的点点的的横横坐坐标标缩缩短短或或伸伸长长到到原原来来的的倍倍，而而纵纵坐坐标标保保持持不不变变得得到到的的. .)0, 0()sin( AxAy的的图图象象及及性性质质 0A AyAsinxxR 探探究究三三：对对，的的图图象象的的影影响响. . 101yAsinxysinxAAA 结结论论三三：的的图图象象, ,可可以以看看作作是是把把的的图图象象上上所所有有的的点点的的纵纵坐坐标标伸
5、伸长长或或缩缩短短到到原原来来的的 倍倍，而而横横坐坐标标保保持持不不变变得得到到的的. .)sin()sin()sin(sin)1( xAyxyxyxy)sin()sin(sinsin)2( xAyxyxyxy 00yAsinxA,结结论论：作作函函数数()()的的图图象象的的步步骤骤： xysin; 1.1.画画出出函函数数的的图图象象 即即：正正弦弦曲曲线线 ysin x 2.2.把把正正弦弦曲曲线线向向左左( (右右) )平平移移个个单单位位长长度度，得得到到函函数数的的图图象象; ; 1xysin 3.3.使使上上述述曲曲线线上上各各点点的的纵纵坐坐标标保保持持不不变变，横横坐坐标标
6、变变为为原原来来的的倍倍，得得到到函函数数的的图图象象; ; AysinxA4.4.最最后后把把上上述述曲曲线线上上各各点点的的横横坐坐标标保保持持不不变变，纵纵坐坐标标变变为为原原来来的的倍倍，得得到到函函数数的的图图象象. .思考：思考：上述步骤上述步骤2 2和步骤和步骤3 3可以换顺序吗？可以换顺序吗？答：答：不行不行! ! 因为代数上的代换，是一种因为代数上的代换，是一种“整体代整体代换换”.”.用五点法作图用五点法作图 (一个周期一个周期)x x2 23 2)sin( xAy 00A0-A0 A-振幅振幅 -周期周期 2 T21Tf相相位位 x初初相相 -频率频率.sin,2cos2
7、sin3.的的像像经经过过怎怎样样的的变变换换得得到到的的图图并并说说明明这这个个图图像像是是由由的的图图像像用用五五点点法法画画出出函函数数例例xyxxy 一般函数一般函数y=f(x)图象变换图象变换基基本本变变换换位位移移变变换换伸伸缩缩变变换换上下上下平移平移左右左右平移平移上下上下伸缩伸缩左右左右伸缩伸缩y=f(x)图图 象象y=f(x)+b图象图象y=f(x+)图图 象象y=A f(x)图象图象 y=f(x)图象图象向上向上(b0)或向下或向下(b0)或向右或向右(0)移移单位单位点的横坐标变为原来的点的横坐标变为原来的1/倍倍 纵坐标不变纵坐标不变点的纵坐标变为原来的点的纵坐标变为
8、原来的A倍倍 横坐标不变横坐标不变基础自测基础自测1.1.函数函数y y=1-2sin =1-2sin x xcos cos x x的最小正周期为（的最小正周期为（ ） 4 .D2 .C.B21.AB2.2.设点设点P P是函数是函数f f( (x x)=sin )=sin x x ( 0) ( 0)的图象的图象C C的的 一个对称中心一个对称中心, ,若点若点P P到图象到图象C C的对称轴的距离的的对称轴的距离的 最小值是最小值是 则则f f( (x x) )的最小正周期是（的最小正周期是（ ） ,4 4.D2.C.B2 .A B3.3.函数函数y y=sin =sin 的图象（的图象（
9、） A. A.关于点关于点 对称对称 B. B.关于直线关于直线 对称对称 C. C.关于点关于点 对称对称 D. D.关于直线关于直线 对称对称)32( x)0 ,3( 4 x)0 ,4( 3 xA4.4.在下列函数中在下列函数中, ,同时满足以下三个条件的是同时满足以下三个条件的是( )( ) 在在 上递减；上递减； 以以 为周期；为周期； 是奇函数是奇函数. . A. A.y y=tan =tan x x B.B.y y=cos =cos x x C. C.y y=-sin =-sin x x D.D.y y=sin =sin x xcos cos x x)2, 0( 2C5.5.（20
10、092009四川文，四川文，4 4）已知函数已知函数f f( (x x)=sin)=sin ( (x xR R) )，下面结论错误的是（，下面结论错误的是（ ） A. A.函数函数f f( (x x) )的最小正周期为的最小正周期为2 2 B. B.函数函数f f( (x x) )在区间在区间 上是增函数上是增函数 C. C.函数函数f f( (x x) )的图象关于直线的图象关于直线x x=0=0对称对称 D. D.函数函数f f( (x x) )是奇函数是奇函数)2( x 2, 0 D题型一题型一 与三角函数有关的函数定义域与三角函数有关的函数定义域 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域
11、： （1 1）y y=lgsin(cos =lgsin(cos x x);(2);(2)y y= = 本题求函数的定义域本题求函数的定义域: :(1)(1)需注意对数需注意对数 的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解；的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解； (2) (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，需注意偶次根式的被开方数大于或等于零， 然后利用函数的图象或三角函数线求解然后利用函数的图象或三角函数线求解. . .cossinxx题型分类题型分类 深度剖析深度剖析方法一方法一 利用余弦函数的简图得知定利用余弦函数的简图得知定义域为义域为.,2222|Z kkxkx .,2222|Z
12、 kkxkx 方法二方法二 利用单位圆中的余弦线利用单位圆中的余弦线OMOM, ,依题意依题意知知0 0 0.)0. -1cos -1cos x x1,0cos 1,00)0, 0)的函数的单调区间的函数的单调区间, ,可以利用可以利用解不等式的方法去解答解不等式的方法去解答, ,列不等式的原则是列不等式的原则是: :把把“ “ x x+ ( 0)”+ ( 0)”视为一个视为一个“整体整体”；A A0(0(A A0)00时，利用最值求时，利用最值求a a、b ba a00时，利用最值求时，利用最值求a a、b b解解 ,32323,20 xx. 31219, 361231223, 3612,.
13、312193612,1352, 0;312233612,5312, 0, 1)32sin(23bababababaabababaax或综上可知解得则若解得则若3 3分分7 7分分1111分分1212分分解题示范解题示范 解决此类问题解决此类问题, ,首先利用正弦函数、余首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出弦函数的有界性或单调性求出y y= =A Asinsin（ x x+ + ）或）或y y= =A Acoscos（ x x+ + ）的最值）的最值, ,再由方程的思想解决问再由方程的思想解决问题题. .知能迁移知能迁移4 4 （20092009江西理，江西理，4 4）若函数若函数f
14、f( (x x) ) =(1+ tan =(1+ tan x x)cos )cos x x,0,0 x x ,0 0）的形式，再根）的形式，再根 据基本三角函数的单调区间据基本三角函数的单调区间, ,求出求出x x所在的区间所在的区间. . 应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考 虑虑. .注意区分下列两题的单调增区间不同：注意区分下列两题的单调增区间不同：22).1(21cossin2txx3.3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有 界性界性, ,如如: :y y=sin=sin2 2x x-4sin -
15、4sin x x+5,+5,令令t t=sin =sin x x(|(|t t|1),|1), 则则y y=(=(t t-2)-2)2 2+11,+11,解法错误解法错误. .).24sin()2();42sin() 1 (xyxy一、选择题一、选择题1.1.（20092009福建理，福建理，1 1）函数函数f f( (x x)=sin )=sin x xcos cos x x的最的最 小值是（小值是（ ） 解析解析 f f( (x x)=sin )=sin x xcos cos x x= =1 .D21.C21.B1.A.2sin21x,Z时当kkx,4.21)(minxfB定时检测定时检测
16、2.2.(2009(2009全国全国理理,8),8)如果函数如果函数y y=3cos(2=3cos(2x x+ )+ )的的 图象关于点图象关于点 中心对称中心对称, ,那么那么| | |的最小值的最小值 为（为（ ） 解析解析 由由y y=3cos(2=3cos(2x x+ +) )的图象关于点的图象关于点)0 ,34(2.3.C4.B6.AD中心对)0 ,34(.63822|).(382).(238. 0)38cos(3, 0)34(,的最小值为即称知ZZkkkkfA3.3.已知函数已知函数 在区间在区间0 0，t t上至少取得上至少取得2 2次次最最 大值，则正整数大值，则正整数t t的
17、最小值是的最小值是 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9 A.6 B.7 C.8 D.9 解析解析3sinxy,45, 6tTT则. 8,215minttC4.4.已知在函数已知在函数f f( (x x)= )= 图象上图象上, ,相邻的一个最相邻的一个最大大 值点与一个最小值点恰好在值点与一个最小值点恰好在x x2 2+ +y y2 2= =R R2 2上上, ,则则f f（x x）的的 最小正周期为最小正周期为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 x x2 2+ +y y2 2= =R R2 2，x x- -R R，R R. . 函数函数f
18、f（x x）的最小正周期为）的最小正周期为2 2R R， Rxsin3. 4, 2,),3,2(),3,2(TRRR得代入圆方程相邻的最小值点为最大值点为D5.5.（20092009浙江理，浙江理，8 8）已知已知a a是实数是实数, ,则函数则函数 f f( (x x)=1+)=1+a asin sin axax的图象不可能是（的图象不可能是（ ）解析解析 图图A A中函数的最大值小于中函数的最大值小于2 2，故，故00a a1,1,而其而其周期大于周期大于2 .2 .故故A A中图象可以是函数中图象可以是函数f f( (x x) )的图象的图象. .图图B B中，函数的最大值大于中，函数的
19、最大值大于2,2,故故a a应大于应大于1 1，其周期小，其周期小于于2 ,2 ,故故B B中图象可以是函数中图象可以是函数f f( (x x) )的图象的图象. .当当a a=0=0时，时，f f( (x x)=1,)=1,此时对应此时对应C C中图象，对于中图象，对于D D可以看出其最大值可以看出其最大值大于大于2 2，其周期应小于，其周期应小于2 ,2 ,而图象中的周期大于而图象中的周期大于2 2 ，故，故D D中图象不可能为函数中图象不可能为函数f f( (x x) )的图象的图象. .答案答案 D D6.6.给出下列命题：给出下列命题： 函数函数 是奇函数；是奇函数； 存在实数存在实
20、数 , ,使得使得 其中正确的序号为（其中正确的序号为（ ） A. A. B. B. C. C. D. D.)232cos(xy;23cossin;tantan,则是第一象限角且若、;)452sin(8的一条对称轴方程是函数xyx.)0 ,12()32sin(称图形成中心对的图象关于点函数xy解析解析 是奇函数；是奇函数；xyxy32sin)232cos(;23cossin,232, 2)4sin(2cossin使得所以不存在实数因为的最大值为;tantan),36030tan(45tan,3603045:.,不成立即但例如是第一象限角且;)452sin(8, 123sin)452sin(8的
21、一条对称轴是函数所以代入把xyxxyx答案答案 C C.,.)32sin()0 ,12(, 12sin)32sin(12正确只有综上所述的对称中心不是函数所以点代入把xyxyx二、填空题二、填空题7.7.21cos)lg(sinxxy函数 , ,的单调函数)324sin(21xy . .解析解析,021cos0sinxx要使函数有意义必须有.,232|),(232)(232322,21cos0sinZZZkkxkxkkxk，kkxkkxkxx函数的定义域为解得即的定义域为递增区间为Z).Z),kkkkkxkkxkxyxy(3821,389( ,3821389,22343222),432sin(
22、21)324sin(21为故函数的单调递增区间得由得由答案答案 )(3821,389Zkkk)(23,2(Zkkk8.8.（20082008辽宁理，辽宁理，1616）已知已知f f( (x x)=)= 且且f f( (x x) )在区间在区间 上有最小值，上有最小值， 无最大值，则无最大值，则 . . 解析解析 如图所示如图所示, ,),0)(3sin(x),3()6(ff)3,6(),3sin()(xxf),3()6(ff且)3,6(,33831016,2;3143108,1,0).(3108).(22344236)(此时在区间时当时当处取得最小值在kkkkkkxxfZZ答案答案314,)3
23、,6()(无最大值内只有最小值在区间又、xf.314.故内存在最大值9.9.关于函数关于函数f f（x x）=4sin =4sin （x xR R）, ,有下列命有下列命 题：题： 由由f f( (x x1 1)=)=f f( (x x2 2)=0)=0可得可得x x1 1- -x x2 2必是必是 的整数倍；的整数倍； y y= =f f（x x）的表达式可改写为）的表达式可改写为 y y= =f f（x x）的图象关于点）的图象关于点 对称；对称； y y= =f f（x x）的图象关于直线）的图象关于直线 对称对称. . 其中正确的命题的序号是其中正确的命题的序号是 . .（把你认为正（
24、把你认为正 确的命题序号都填上）确的命题序号都填上） 解析解析 函数函数f f（x x）= = 的最小正周的最小正周 期期T T= = ，由相邻两个零点的横坐标间的距离，由相邻两个零点的横坐标间的距离 是是 知错知错. .)32(x);62cos(4xy)0 ,6(6x)32sin(4x22T答案答案 .6,)0 ,6(, 06,)(.,)()0 ,6(, 00sin43)6(2sin4)(6,)(.),62cos(4)26cos(4)32(2cos4)(不正确因此命题不是图象的对称轴故直线不是最高点也不最低点点时而平行轴且与最高点或最低点的对称轴必经过图象的曲线正确故命题图象的一个对称中心是
25、因此点代入得将对称中心轴的每个交点都是它的与由于曲线正确知利用诱导公式得，xyxyxfxfxfxxxfxxxxf三、解答题三、解答题10.10.设函数设函数f f( (x x)=sin(2)=sin(2x x+ +)(- 0)(- 0)0)的最小正周期的最小正周期 是是 . . （1 1）求）求的值；的值； （2 2）求函数）求函数f f（x x）的最大值，并且求使）的最大值，并且求使f f（x x）取）取 得最大值的得最大值的x x的集合的集合. . 解解212sin22cos12)() 1 (xxxf. 2)42sin(22)4sin2cos4cos2(sin222cos2sinxxxxx
26、. 2,222,2)(,所以可得的最小正周期是函数由题设xf.,216|, 22)(, 1)44sin(,)(216,2244. 2)44sin(2)(,) 1 ()2(ZZkkxxxxfxkkxkxxxf的集合为此时的最大值是所以函数取得最大值时即当知由12.12.设函数设函数f f( (x x)=cos )=cos x x ( sin ( sin x x+cos +cos x x),),其其 中中002.2. （1 1）若）若f f( (x x) )的周期为的周期为 , ,求当求当 f f( (x x) )的值域；的值域； （2 2）若函数）若函数f f( (x x) )的图象的一条对称轴
27、为的图象的一条对称轴为 求求的值的值. . 解解3时36x,3x212cos212sin23)(xxxf21)62sin(x. 1,) 1 (所以因为T,21)62sin()(xxfp 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will Be写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please?Criticize?And?Guide?The?Shortcomings结束语讲师：XXXXXX?XX年XX月XX日?
