1、张量分析与连续介质力学张量分析与连续介质力学 授课对象授课对象: :工程力学本科生工程力学本科生学时学时: : 4848任课教师：任课教师： 任会兰任会兰 副教授副教授连续介质力学连续介质力学研究对象研究对象: :大量粒子构成的系统的宏观力学行为大量粒子构成的系统的宏观力学行为. .可视为连续体可视为连续体统计平均值统计平均值宏观物理量随物质点的变化而改变宏观物理量随物质点的变化而改变-场场( (应力应力场场, ,应变场应变场, ,速度场速度场, ,位移场和温度场位移场和温度场连续体模型连续体模型固体固体, ,流体流体1 1) )变形几何和运动学变形几何和运动学 研究连续介质变形的几何性质研究
2、连续介质变形的几何性质, ,确定物体各部分空确定物体各部分空间位置的变化及各邻近点距离的变化间位置的变化及各邻近点距离的变化; ;研究随时间变化研究随时间变化的物理量的时间变化率的物理量的时间变化率. .2)2)连续介质满足的物理基本定律连续介质满足的物理基本定律 质量守恒质量守恒, ,动量守恒动量守恒, ,能量守恒能量守恒, ,热力学基本定律热力学基本定律3)3)连续介质的本构方程连续介质的本构方程 描述各种连续介质模型对外部作用的响应描述各种连续介质模型对外部作用的响应; ;第一章第一章 连续介质力学中的数学模型连续介质力学中的数学模型第二章第二章 应力分析应力分析第三章第三章 连续介质运
3、动学连续介质运动学主要掌握主要掌握:张量的概念张量的概念,张量的表示方法以及张量的运算规律等张量的表示方法以及张量的运算规律等主要掌握主要掌握:应力张量应力张量,应力张量的对称性应力张量的对称性,变换规律变换规律,主应力主应力,主主方向方向,剪应力剪应力,应力偏张量等应力偏张量等第四章第四章 连续介质力学基本定律连续介质力学基本定律第五章第五章 本构方程本构方程主要掌握主要掌握:物质坐标与空间坐标物质坐标与空间坐标,物质导数物质导数,随波导数随波导数,速度张速度张量量,速度分解定理等速度分解定理等.三大守恒定律三大守恒定律:质量守恒质量守恒,动量守恒动量守恒,能量守恒能量守恒,状态方程状态方程
4、,熵熵不等式不等式,热力学两大定律热力学两大定律.本构概念本构概念,本构方程遵循的一些理论本构方程遵循的一些理论1. 1. 张量的概念张量的概念 满足坐标变换规律满足坐标变换规律 运算法则运算法则2 .2 .证明一些恒等式证明一些恒等式3 .3 .梯度梯度, ,散度散度, ,旋度等概念旋度等概念重点掌握重点掌握: :第一章第一章 连续介质力学的数学基础连续介质力学的数学基础1.1 矢量矢量 1.1.1矢量的概念矢量的概念 在三维欧几里得空间内在三维欧几里得空间内, 具有大小和方向具有大小和方向的有向的有向 线段线段. 矢量的表示矢量的表示 粗体字或字母上箭头粗体字或字母上箭头 矢量相等矢量相等
5、 大小和方向相同大小和方向相同 单位矢量单位矢量 大小为大小为1 零矢量零矢量 大小为大小为0 第一章第一章 连续介质力学的数学基础连续介质力学的数学基础图形表示图形表示 x1x2x3ayaxazaaaO用三个有序数组表示用三个有序数组表示332211eaeaeaa123( ,)aa a a矢量大小矢量大小232221aaaa矢量矢量分量分量:ia(1) 矢量和矢量和(平行四边形法则平行四边形法则)()(cbacbaabba(2)矢量差矢量差)( baba(3) 矢量与标量的积满足结合律和分配律矢量与标量的积满足结合律和分配律()()m nbmn bama()()m abm bamamb1.1
6、.2 1.1.2 矢量和矢量和, ,差与积差与积点积满足点积满足(4)矢量的点积矢量的点积1 12 23 3a baba ba bcosbabaabbacabacba)(标量标量231133122112332321321321)()()(ebabaebabaebababbbaaaeeebaabba注意注意:(5)矢量的叉积矢量的叉积baaxbO-axb(6)并矢并矢ijijaba eb ea b eeijij 定义定义展开共展开共9项，项， 可视为并矢的基可视为并矢的基 ije ejiba为并矢的分解系数或分量为并矢的分解系数或分量 自由指标自由指标:无重复出现的指标无重复出现的指标,取值域取
7、值域1,2,3(三维空间中三维空间中)哑标哑标: 重复出现一次且仅重复一次的指标为求和指标或重复出现一次且仅重复一次的指标为求和指标或为哑标为哑标.1.1.3 Einstein求和约定求和约定 在同一项内的一个指标的重复在同一项内的一个指标的重复,将表示对该指标将表示对该指标在它的范围上遍历求和在它的范围上遍历求和.jjiiaa3312211111aaaa如如112233iiaaaa1 1223 3iia baba ba bab(1)求和指标不区分该指标表示的各个分量求和指标不区分该指标表示的各个分量,而是而是一种约定的求和标记一种约定的求和标记.iijjijjikkaba ba ba b,
8、,i j k(2)连续介质的研究对象是三维连续体连续介质的研究对象是三维连续体, 取值范围为取值范围为1,2,3 几个注意事项几个注意事项:112233112233()()iiiiaaabbba b(3) 同一项中重复出现的指标不能超过两次同一项中重复出现的指标不能超过两次.iijja b应写成应写成(4)同一等式中同一等式中,同一文字指标在其中的一项单独出现同一文字指标在其中的一项单独出现,则它在其他某项内重复出现则它在其他某项内重复出现,对该项也不求和对该项也不求和.iiifT111222333fTfTfT(5) 不能改变某一项的自由标不能改变某一项的自由标,但所有项的自由标可以但所有项的
9、自由标可以改变改变. kikijikibxabxajijibxa如如WrongRight(6) Kronecker 符号符号 Deltaijjijiij01几个重要式子几个重要式子:1122333ijijii 112233ijijiijjAAAAAAijjkik iijjaa,ii jijjxxx1112233232222123ijijjjjiiijijajaaaaajajadsdxdydzdx dxdx dx例例:iiuijjA biijjxC z111 1122133221 1222233331 1322333xC zC zC zxC zC zC zxC zC zC z分量形式分量形式:1
10、 1223 3iiiA bA bA b1 12233uuu312123xxxkkxijk , ,i j k1, 当当是是1,2,3的偶排列的偶排列123,231,312-1,当当, ,i j k是是1,2,3的奇排列的奇排列132,321,2130,当当, ,i j k中有取值相同者中有取值相同者.1.1.4 置换符号置换符号ijk123123偶排列偶排列奇排列奇排列()( )ijkjkiabca bc 2 33 211 22 133 11 32()()()aba ba b eaba b ea bab e矢量叉积矢量叉积用置换符号可写成用置换符号可写成1.1.5三矢量之积三矢量之积三矢量标量积
11、三矢量标量积(混合积混合积)cbabcacba)()()()() ()i iijkjkiabcaeb c e 123123123ijkijkab ca a ab b bc c cbabxcc三矢量叉积三矢量叉积ijkistjsktjtks 1112132122233132331000101001I1.2 恒等式恒等式第一种证明第一种证明:111222333rstrstrstrstrstIirisitijkrstjrjsjtkrkskt ( (利用了行列式的定义利用了行列式的定义) )iiisitjsjtjijtijkistjijsjtiiisksktkiktkiksktjijsitkiks 3
12、jsjtjsjtijkistksktksktjtjsjsjtjsktjtksktkskskt 令令 上式得上式得:ir根据求和约定得根据求和约定得:第二种方法第二种方法: :利用双重外积公式利用双重外积公式cbabcacba)()()(,i ikkssaae bb e cc e ()(),()()()i ikkssikskspipjjiksiskiksiksiksisjkikjsjabcaeb ec eab cea c ba b cab ceab ceab ce 将将 代入上式代入上式 , ,可得可得: :将上两式代入将上两式代入, ,移项移项, ,得得()0ikspijpksikjsisjk
13、jab ce ,iksa b c由由 的任意性的任意性, ,可证明可证明pijpksikjsisjk ijijkkeee123111123222123333ppppkspppkpspijpksiiipksipikisjjjpksjpjkjs 123123123()ppppijpijiiijjjeee 第三种证法第三种证法: :混合积的行列表达式有混合积的行列表达式有: :()()()3()()()pijpksppikjsjkispkipjsjpispsipjkjpikikjsjkisikjsjkisisjkjsikikjsjkis ijije e 1.3 张量张量张量张量 是数学上或物理上所用
14、的概念是数学上或物理上所用的概念.应力应力,应变等应变等 当坐标系改变时，满足特有的转换规律。当坐标系改变时，满足特有的转换规律。 两个向量两个向量jjiiuau jjiivav vu,可以写成可以写成:jia表示坐标转换表示坐标转换的夹角的余旋的夹角的余旋当组合两个向量时，可得到当组合两个向量时，可得到1 11 21 31112132 12 22 32122233 13 23 3313233u vu vu vTTTu vu vu vOR TTTu vu vu vTTT)(lkljkilljkkijivuaavauavu左边左边1 11 21 31112132 1222 32122233 13
15、 23 3313233u vu v u vTTTu vu v u vOR TTTu vu vu vTTT右边右边ijTklT换一种表示方法换一种表示方法,有有klljkiijTaaT 这样，得到一个量这样，得到一个量 具有分量具有分量定义此量为（笛卡尔）定义此量为（笛卡尔） 2阶张量阶张量ijTTT3x123ox x x123o x x x,ieiecos( ,)ijijije ee e 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系基矢量基矢量1112132122233132331.3.2笛卡尔坐标变换笛卡尔坐标变换平移旋转后平移旋转后P2x3xo1x2xo1x1e2e3e1e2e3ejjjjxx ex ecOP
16、O POO ijijixxciijjixxc矢量矢量OP在不同坐标系中的变换有在不同坐标系中的变换有:或或用用点乘上式点乘上式,得得ie或用或用点乘点乘,得得iecij代表坐标系平移部分代表坐标系平移部分.代表坐标系旋转部分代表坐标系旋转部分.质点的运质点的运动变换动变换0c jijiiijjxxxx若若则有则有矢量的坐标矢量的坐标变换规律变换规律.1) 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律基矢量具有与坐标分量相同的变换规律;i jijeeeejiij ikijj k 2)2)2x2x1x1x2x1x1x2xe2e11e2ecos()cos()cos()cos()i jeeeecossineee
17、esincos12111222,)( 21212212211121xxxxxxji于是： 21212221121121xxxxxxTji同样：1: Ti ji j比较ji正交性正交性3)3)1.3.2 1.3.2 张量定义张量定义张量的定义张量的定义: 张量的分量在坐标系变换时满足张量的分量在坐标系变换时满足一定的变换规律一定的变换规律. 张量分量中所含指标的个数称为张量的阶张量分量中所含指标的个数称为张量的阶. .在三维空间中在三维空间中, ,每个指标可取每个指标可取1,2,31,2,3之值之值. .若张若张量的维数为量的维数为N, N, 分量个数则为分量个数则为 3N, a b 只有一个分
18、量只有一个分量,且其值不随坐标系改变且其值不随坐标系改变,即标即标量量 是坐标变换下的不变量是坐标变换下的不变量.2)一阶张量一阶张量( 矢量或向量矢量或向量),iia bjijiaa分量个数分量个数:3; 它们随坐标系变换的规律它们随坐标系变换的规律,满足满足1) 零阶张量零阶张量(即标量即标量)iijjaa或或ijT1 2 3.ni i iiT4) N阶张量阶张量分量个数分量个数: 3N, 分量随坐标系的变换规律分量随坐标系的变换规律:.1 12 21 212.i iin nnni ji ji jj jjTT 1 2 3.nni i iiiTT当指标又有附标时当指标又有附标时,可以简化符号
19、可以简化符号1 2112 21 2.nn nni iij ij ij ij jjTT 或或ijpiqjpqTT T3)二阶张量二阶张量(应力应力,应变应变)分量个数分量个数:9 ; 分量随坐标系的变换规律分量随坐标系的变换规律:ijipjqpqTT 或或11.pqp qii jji jTT表示连乘符号表示连乘符号:1 12 2.n nn ni ji ji ji jin nnni jjTT nn nnij ijTT 或或这样这样,n阶张量的变换规律为阶张量的变换规律为:由此张量定义得知由此张量定义得知,如在某直角坐标系下张量如在某直角坐标系下张量的所有分量都是零的所有分量都是零,则换到任一其他直
20、角坐标则换到任一其他直角坐标系中系中,此张量的分量也都是零此张量的分量也都是零.这种分量都是零这种分量都是零的站称其为零张量的站称其为零张量.1.4 张量的运算张量的运算(1) 张量加减张量加减:阶数相同的张量可以加减阶数相同的张量可以加减,得到同阶得到同阶的张量的张量; 分量与分量相加减分量与分量相加减;ABCinininCAB()nnnn nnn nnn nnnn nniiii jji jji jjji jiCABABABC 的定义是的定义是由于由于 和和 均为均为n阶张量阶张量,ABC因此因此 也是也是n阶张量阶张量.nniiBA()nnn nnn nnn nniii jji jji j
21、jBAAAB (2) 张量与标量相乘张量与标量相乘:标量与每一个分量相乘标量与每一个分量相乘,阶数阶数相同相同 若若 为为n阶张量，则可证明阶张量，则可证明 也是也是n阶张量。阶张量。BAAAB的定义是的定义是(3) 张量相乘张量相乘:两张量两张量 和和 的张量乘积记为的张量乘积记为 .新张量的每一个分量是由一个张量的每一分量与另一新张量的每一个分量是由一个张量的每一分量与另一个张量的每一分量的乘积组成个张量的每一分量的乘积组成.新张量的阶数等于相乘新张量的阶数等于相乘两个张量的阶数之和两个张量的阶数之和.()mnm niji jA BABABAB ()()()()m nmnm mmn nnm
22、 mn nm ni jiji kkj ssi kj sk sABA BABAB ,mnks注意注意:上式中不只对上式中不只对 约定求和约定求和,而是要对而是要对 都约定求和都约定求和.1212,.,.mnk kks ss ( )()ijijijTabab分量形式分量形式:若若1 11 21 32 1222 33 13 23 3abababa ba ba ba ba ba b( )()ijijijFbaba1 11213212223313233bababab ab ab ab ab ab aABBA一般情况一般情况1 2.mi iiA1 2.nj jjB已知已知分别是分别是m阶和阶和n阶张量阶张
23、量,运用运用张量乘积的定义证明张量乘积的定义证明1 21 2.mni iij jjAB是是 m+n阶张量阶张量.练习练习:(4)张量的缩并张量的缩并: 如果如果n阶张量阶张量 的两个指的两个指标相同时标相同时,应用求和约定应用求和约定,得到一个得到一个n-2阶的新张阶的新张量量 ,则该新张量称为原来张量的缩并则该新张量称为原来张量的缩并.1 2222.nnni iimmimmiAAB1 2.ni iiA1 22.ni iiB当最后两个指标当最后两个指标 相同时相同时,记记1nniim下面证明下面证明 是是n-2阶张量阶张量.2niBB222222222222222nnnnnnnnnnnnnnn
24、iimmijmpmqjpqijpqjpqijjjppijjBAAAAB iju1 12233iiuuuuijkE a()( )()()()()ijjiijijiikkE abE acE ad缩并有三种形式缩并有三种形式例例:缩并缩并(5)张量的内积张量的内积: m阶张量阶张量 和和n阶张量阶张量 的乘的乘积积 , 缩并缩并 一次后得到内积一次后得到内积(阶数为阶数为m+n-2)AB1 21 2.mni iij jjAB1 221 21 2 3.mmnmni iii jji iij jjABCA BC()()A BBAA BCAB C规定规定:第一个张量的最后一个指标与第二个张量的第第一个张量的
25、最后一个指标与第二个张量的第一个指标相同一个指标相同,这样张量的内积可以写成这样张量的内积可以写成注意注意AB )()(ijjiijT uT uu TuT()()iijjijjiT uT uu Tu T123123,jjjjjjjjjjjjT u T u T uu Tu Tu T三个分量三个分量:如果如果ijjiTTT uu T则则例题例题: ijTT()kuuT uu T写出写出的分量的分量.或或(6)张量间的线性变换张量间的线性变换 设设 线性变换线性变换 ,对于任意一对于任意一n阶张量阶张量 ,都对应都对应一个确定的一个确定的m阶张量阶张量 ,变换是线性的变换是线性的;即即 的每一个分量
26、可通过的每一个分量可通过 的分量的线性组合表出的分量的线性组合表出,再假定变换是齐次的再假定变换是齐次的(零张量仍变到零张量零张量仍变到零张量)则线则线性变化性变化 的一般形式为的一般形式为TB( )AT B AB( )AT B mm nnii jjATB证明证明m ni jTT为为m+n阶的张量阶的张量.()()()()()0m nnmm mmm mm nnm nm mn nnm nm mn nm nni jjii kki kk ssk si kj sji ji kj sk sjTBAATBTBTTB 即njB()m nm mn nm ni ji kj sk sTT 由于由于的任意性的任意性
27、,上式给出上式给出由此证明了由此证明了T是二阶张量是二阶张量. 所有的所有的n阶张量组成一个阶张量组成一个3n维的线性空间维的线性空间.而每一个而每一个m+n阶张量可看成是由阶张量可看成是由n阶张量到阶张量到m阶张量阶张量(由由3n维空间到到维空间到到3m维维空间空间)的线性变换的线性变换.“张量识别张量识别”定理定理:mmnniijjATB如果如果恒成立恒成立,已知已知A是是m阶张量阶张量,B是是n阶张量阶张量,则则m ni jTT必是必是m+n阶张量阶张量.运用该定理运用该定理,可以不必验证张量分量的变换规可以不必验证张量分量的变换规律是否满足律是否满足,就能判断一些量是否是张量就能判断一
28、些量是否是张量.iijjxxix是一阶张量是一阶张量,由张量识别定理可知由张量识别定理可知 是二是二ij阶张量阶张量.例例:恒成立恒成立1.5 微分矢量算子微分矢量算子(Hamiltonian)特点特点: 1)矢量矢量,遵循矢量运算的法则遵循矢量运算的法则;2)算子算子,只对只对 右边的量发生微分作用右边的量发生微分作用,对于对于 左边的量不产生左边的量不产生作用作用.iixe对于标量场对于标量场fiixfef对于两个标量对于两个标量f和和ggfgf)(fggffg)(几个常用的几个常用的 算子符号算子符号（）对于一个向量（）对于一个向量a和和 组成的点积算子组成的点积算子fafa)(对于标量
29、对于标量f，有有（）对于一个向量（）对于一个向量a和和 组成的叉积算子组成的叉积算子a123123123()ijkjkieeeaaaaaexxx 对于标量对于标量f，有有321321321)(xfxfxfaaaeeefafafa)(（3）Laplacian 算子算子222222123123123123123() ()()xxxeeeeeexxxxxx 2向量向量a、b 、 标量标量f, 几个关系式几个关系式()()()fafafa afafa f)()()()()()(baabbabaababbaba)()()()()(0)(aaaa2)()()(2)(2aaaaa力学中：力学中：几何方程几何
30、方程与位移场的梯度有关与位移场的梯度有关;转动量转动量与位移场的旋度有关与位移场的旋度有关;平衡方程平衡方程与应力场的散度有关与应力场的散度有关;1.6 场场,梯度梯度,散度散度,旋度旋度场场: 在数学上是指定义在空间某个区域内的函数在数学上是指定义在空间某个区域内的函数.若所定义的函数为标量若所定义的函数为标量 即为标量场即为标量场;同理可定义同理可定义矢量场或张量场矢量场或张量场.123123( , )( , )( , )( , )r tx x x tvv r tv x x x t rt为空间点的矢径或为空间点的矢径或称位置矢量称位置矢量.密度场密度场速度场速度场为时间为时间.0 1()0
31、4()02()0 3()0( , )r tconst标量场标量场等位面的相互位置等位面的相互位置,疏疏密程度可以描述标量密程度可以描述标量函数的变化情况函数的变化情况.梯度梯度:gradnngradn 性质性质: (1)梯度梯度 描述了了一点邻域内函数描述了了一点邻域内函数 的的变变化状态化状态,是标量场不均匀性的量度是标量场不均匀性的量度.(2)方向与等位面法线方向与等位面法线 重合重合,大小大小n(3)梯度方向是函数变化最快的方向梯度方向是函数变化最快的方向.cos( , )n ssn PPnsP100123ijkgradeeexxx直角坐标系中描述直角坐标系中描述:散度定义散度定义:Sd
32、sPvnnnssv dSv dS 或312123vvvdivvxxxv 直角坐标表达式直角坐标表达式:矢量矢量 穿过整个曲面穿过整个曲面S的通量的通量0limnsVv dSdivvV定义散度定义散度奥高公式奥高公式sVn vdSdivvdV 旋度定义旋度定义:LdsPn0limLnSv drrot vS123123ijkeeerotvxxxvvvnrot v矢量矢量 沿曲线沿曲线L的环量并除以曲面的环量并除以曲面的面积的面积,然后令然后令L向向P点收缩点收缩,使之使之S趋于零趋于零,如果这个极限存在则定义如果这个极限存在则定义一个量一个量量量 是矢量旋度是矢量旋度 在在n方向的投影方向的投影.
33、vrotvrotv可表示成行列式可表示成行列式123123123123()gradeeeeeexxxxxx 1231 12 23 3123312123() ()eeeeeexxxdivxxx1231 12 23 3123332121123233112() ()()()()eeeeeexxxeeexxxxxxrot梯度梯度散度散度旋度旋度ikvgradvvx 312123iivvvvdivvvxxxx kijkijvrotvvex 332121323112,vvvvvvxxxxxx分量形式分量形式111123222123333123vvvxxxvvvxxxvvvxxx指标形式指标形式例例: 证明
34、下式成立证明下式成立2()()vvv 22222()()()()()()()miijkkijkklmjjlmmijkklmiljmimjljljljiiijjjiiivvvxxxvvxxxxvvvvxxxxxvv 证明证明:分量形式成立分量形式成立,则原式成立则原式成立.证明下式成立证明下式成立:()()ababarotbadivb ()()()kiijkj kijkjlmlmkkmkl imkm illkimimkkiibababaxbbbaaaxxxbaadivbx 左边左边:() ()()()()()()()iiiiijkjkimmiijkjklmiiijkklmjillmmiiiljm
35、im jljiimlliaba rotbadivbababadivbbbabaadivbabaadivbxxbbbabaadivbab aaxxx ()()ilmmimiimiiiadivbbbab aab adivb aadivbxx右边右边:左边和右边分量相等左边和右边分量相等,可知原式成立可知原式成立.1.6 张量的微分运算张量的微分运算(1) 张量的梯度张量的梯度1 2.ni iiAA1 21 2. ,nni iii iikkAgradAAAx,()nnniikikkkdAAdxAdxxniA简记为简记为张量的全微分为张量的全微分为nidA是是n阶张量阶张量,kdx是一阶张量是一阶张量
36、,由张量识别定理知由张量识别定理知,nikA是是n+1阶张量阶张量.梯度梯度n+1阶张量阶张量(2) 张量的散度张量的散度2 3.nki iikAdivAExAA由梯度由梯度 缩并得到缩并得到 n-1 阶张量阶张量.定义为定义为(3) 奥高公式奥高公式sVn AdSdivAdVsVn fdSdivfdVfiffe对于向量对于向量 而言而言,有奥高公式有奥高公式推广到张量的情形推广到张量的情形.ie取取 (f为有为有记记 为沿为沿 轴的单位向量轴的单位向量.ix分段连续偏微商的任意函数分段连续偏微商的任意函数).代入得代入得1 21 21 222.1.nnnnniisVi iiii iii ii
37、isViiiiiiiisVsVfn fdSdVxfAAn AdSAdVxi=in AdSAdVxn AdSdivAdV取为张量 的任一个分量，则有在上式中取=1或2或3时，等式成立，故有即 , j ijiVSAdvA n ds ,SiVidsndv VSdvn ds, j jjjVSAdvA n ds VSdvnds AA讨论：讨论：1、标量场、标量场2、矢量场、矢量场推广到任意阶张量的情形：推广到任意阶张量的情形： ,SlkjiVlkjidsnAdvA其不变性记法为其不变性记法为 : : VSdvndsAA称为广义高斯公式，或称散度定理。称为广义高斯公式，或称散度定理。 1.7 各向同性张量
38、各向同性张量1. 各向同性张量的定义各向同性张量的定义 一个张量一个张量,如其每一个分量都是坐标系作刚体旋转变如其每一个分量都是坐标系作刚体旋转变换下的不变量换下的不变量,则称它是各向同性张量则称它是各向同性张量.111.nnniiiiiiAAAA是各向同性张量，则恒有由此得出下述推论成立由此得出下述推论成立:i, j,kijkAA（）是（1，2，3）的任何一个偶排列，在置换1，2，3，张量 的每个分量将换为另一个分量；如果 是各向同性张量，则此两个分量相等。2 四阶以下各向同性张量的讨论四阶以下各向同性张量的讨论1)零阶张量零阶张量(标量标量)都是各向同性的都是各向同性的.2)一阶张量一阶张
39、量(向量向量) ,除零向量外除零向量外,都不是各向同性的都不是各向同性的.11131110018000,vxvvxvxvv证 明 ： 设是 任 一 非 零 向 量 ， 大 小0， 取 轴 的 正 向 与的 方 向 重 合 ，在 此 坐 标 系 中 （， ， ） ， 即。取 轴 的 正 向 与的 方 向 相 反 ， （ 可 由 坐 标 系 绕 轴 旋 转得 到 ） 。在 此 新 坐 标 系 中 ， （ - ， ， ） ， 即， 由 于0,从 而 说 明不 是 各 向 同 性 的 。v3) 二阶各向同性张量必为二阶各向同性张量必为 的形式的形式, 为一标量为一标量.ijijij由于由于ij可知可知
40、 是各向同性的是各向同性的 二阶张量二阶张量.如如 是任一个二阶各向同性张量是任一个二阶各向同性张量,则则 ijA1122331223312132133112233(,180,100010(1)001ijAAAAAAAAAxxx xx xx 记为 ）绕 轴旋转得一新坐标系，此时ijk4) 三阶各向同性张量必为三阶各向同性张量必为 的形式的形式, 为标量为标量.ijkijk 由于由于知知 是三阶各向同性张量是三阶各向同性张量.ijkijkA是任一各向同性的三阶张量是任一各向同性的三阶张量,则则ijkijkiljmknlmnAAA (a) 绕绕 轴转轴转 ,即取即取 为为3xij100010001
41、ij232323223323233232323322323223320,0mnmnmnmnijijAAAAAAAAAAAAA 因此有 从而有 180(2)3111111111111111110AAAAA 即, ,3, ,ijkijkijki j kAAAi j k 当中有两个是 ，一个不是3时，（2）式给出即这种分量为零。再经过偶排列，知中只要有两个指标相同，这种分量都为零。90(b) 绕绕 轴转轴转 ,即取即取 为为ij010100001ij 3x代入代入( 2)中计算得中计算得:123123122133213213AAAA 经过偶排列经过偶排列,得得123231312213321132AA
42、AAAA (a)和和(b)的结论合在一起的结论合在一起,即给出即给出(3)ijkijkA(5) 四阶各向同性张量的形式必为四阶各向同性张量的形式必为:ijklijklikjliljkA (4)100010001ij010100001ij 1.8 二阶张量的性质二阶张量的性质转置张量转置张量TjiAAijAATTAAA AI 正交张量正交张量对称张量对称张量,反对称张量反对称张量TTAAAA任何张量，可分解成对称张量和反对称张量任何张量，可分解成对称张量和反对称张量11()()22ijijjiijjiAAAAA对称张量中特殊情况：对角张量和单位张量对称张量中特殊情况：对角张量和单位张量33221
43、1000000TTT100010001对于对称张量对于对称张量,只有六个分量独立只有六个分量独立.反对称张量反对称张量,只只有三个分量独立有三个分量独立.111213122223132333AAAAAAAAA121312231323000AAAAAA二阶张量的极分解二阶张量的极分解二阶张量的主值和主方向二阶张量的主值和主方向T nnijjiT nn()()0ijijjTnTIn若下式成立，若下式成立，n或或若方程有非零解若方程有非零解,则系数行列式必须为零则系数行列式必须为零.即即det()0ijijTTI或写成或写成则则 为张量的主值，为张量的主值， 为主方向。为主方向。1-2detTiiT
44、iijjijijTijITtrTIIT TT TIIITT（）320TTTIIIIII其中其中在任何坐标系中都成立在任何坐标系中都成立.一般可以解出三个主值和三一般可以解出三个主值和三个不同的主方向个不同的主方向.0333231232221131211TTTTTTTTT展开式为展开式为:第一第一,第二第二,第第三不变量三不变量二阶张量的幂二阶张量的幂:()ijTT2ikkjTT TTnT主方向相同主方向相同.n主值主值偏导数偏导数向量和张量分量对坐标的偏导数的表示法通常用向量和张量分量对坐标的偏导数的表示法通常用,( ,1,2,3)ii jjaaai jx,T,( , ,1,2,3)ijij kkTTi j kx向量向量张量张量 向量向量 张量的表示张量的表示 用特定符号用特定符号, 还是下标还是下标. 用符号用符号,简洁简洁,但理解欠佳但理解欠佳 用下标用下标,理解较容易理解较容易,但表述繁琐但表述繁琐 建议建议 一般表述时一般表述时, 用符号；用符号； 计算和分析问题时计算和分析问题时, 用下标较好用下标较好. 作业作业:P54: 1.2, 1.9, 1.10, 1.13, 1.18,1.28(3),(11), 1.29(2), 1.30(3)
