1、 B3.1 B3.1 微分形式的质量守恒方程微分形式的质量守恒方程B3.1.1 B3.1.1 流体运动的连续性原理流体运动的连续性原理 不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量， 称其为流体运动的连续性原理。称其为流体运动的连续性原理。 17世纪，哈维发现人体血液循环理论世纪，哈维发现人体血液循环理论 质量守恒在易变形的流体中的体现质量守恒在易变形的流体中的体现流动连续性流动连续性。 历史上对连续性的认识历史上对连续性的认识古古 代，代，漏壶、水流计时漏壶、水流计时16世纪，达世纪，达芬奇指出河水流速与河横截面积成反比芬奇指出河水流
2、速与河横截面积成反比1818世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程B3.1.1 流体运动的连续性原理流体运动的连续性原理(2-1)B3.1.1 B3.1.1 流体运动的连续性流体运动的连续性(2-2)(2-2)1717世纪哈维：血液循环理论世纪哈维：血液循环理论 解剖发现解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向：从心脏到动脉末端血液单向 流动，从静脉末端到心脏也流动，从静脉末端到心脏也 是单向流动是单向流动 定量测量定量测量：每小时流出心脏血液：每小时流出心脏血液245kg 大胆预言大胆预言：从动脉到静脉再回心脏：从动脉到静脉再回心脏 45年
3、后发现年后发现：毛细血管的存在毛细血管的存在血液循环理论血液循环理论流体连续性原理流体连续性原理的胜利的胜利血液循环图血液循环图B3.1.2 B3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程()()d d dd dd d duuuxy ztu y ztx y ztxx x，y，z方向净流出质量为方向净流出质量为,yv,xuzw因密度变化引起的质量减少为因密度变化引起的质量减少为t由由质量守恒定律质量守恒定律tzwyvxu单位时间单位体积内单位时间单位体积内边长为边长为 , , , , 的长方体控制体元，的长方体控制体元， 内内x方向净流出的质量方向净流出的质量tdxdydzB3.1.2
4、微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程(2-1)B3.1.2 B3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程(2-2)(2-2)用场量公式并运用质点导数概念，微分形式用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程连续性方程为为D0Dt v或改写为：或改写为：1 DDt v左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。不可压缩流体不可压缩流体连续性方程连续性方程0uvw( )txyztv0 v 例例B3.1.2B3.1.2 不可压缩流动连续
5、性方程不可压缩流动连续性方程 已知：已知：不可压缩流体平面流动不可压缩流体平面流动22yxcyu（C为常数）为常数）求：求： v 解：解： 由不可压缩流动连续性方程的二维形式由不可压缩流动连续性方程的二维形式0uvxyv可得可得2222()vucxyyxxy 222222d( )( )cxycxvyf xf x(xyxy（B3.1.113.1.11）当当f(x) = 0，表示位于原点的点涡流动；，表示位于原点的点涡流动； 当当f(x) = U，表示点涡流叠加，表示点涡流叠加y方向速度为方向速度为U的均流；的均流；讨论：讨论： 本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的本例说明对不可
6、压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的, ,而是受到（而是受到（B3.1.113.1.11）式制约的。）式制约的。B3.2 B3.2 作用在流体元上的力作用在流体元上的力B3.2.1 B3.2.1 体积力和表面力体积力和表面力1.1.体积力体积力长程力长程力穿越空间作用穿越空间作用到流体元上到流体元上万有引力万有引力电磁力电磁力惯性力惯性力与流体元体与流体元体积成正比积成正比体积力体积力单位质量流体上的体积力单位质量流体上的体积力 0()li mbx,y,z,tFf单位体积流体上的体积力单位体积流体上的体积力 0li mb FfB3.2.1 体积力和表面力体积力和表面力(2-1)B3.2.1
7、 B3.2.1 体积力和表面力体积力和表面力(2-2)(2-2)2.2.表面力表面力短程力短程力通过接触面通过接触面作用作用压强压强粘性切应力粘性切应力与表面面积与表面面积和方位有关和方位有关表面力表面力表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。()limA0 x,y,z,t An Fspn面积元外法线单位矢面积元外法线单位矢n面积元内法线单位矢面积元内法线单位矢 n-npp（注意：（注意： 和和 不一定与不一定与 垂直）垂直） FsnpAB3.2.2 B3.2.2 重力场重力场在直角坐标系的重力场中在直角坐标系的重力场中00 xyzf,f,fg
8、g fk称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能xyz f,f,fxyz zgB3.2.2 重力场重力场B3.2.3 B3.2.3 应力场应力场1.1.运动粘性流体中的应力状态运动粘性流体中的应力状态一点的表面一点的表面应力应力ppxxxyxzpyxyyyzzzzxzyP用过该点三个坐标用过该点三个坐标面上三组表面力分面上三组表面力分量唯一确定量唯一确定应力状态应力状态与作用力的大小、方向、作用面方位有关与作用力的大小、方向、作用面方位有关yxxyzxxzzyyzxAyAzA上的应力分量为上的应力分量为xxxyxzp ,yxyyyzp,zzzxzy
9、p,上的应力分量为上的应力分量为上的应力分量为上的应力分量为B3.2.3 应力场应力场(4-1)应力矩阵应力矩阵nxxxxyyxzzxpn pn nn yxx yyy yzz ypn n pnnzxxzyyzzzzpnn n p作用在任意方位作用在任意方位(,)nnnzxyn面元上的面元上的表面应力表面应力表面应力的分量式表面应力的分量式pxxxyxzpyxyyyzpzzzxzy(,)xyz= n n nnPn PB3.2.3 应力场应力场(4-2)作用在作用在外法矢沿外法矢沿x轴向的面积元轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示上三个应力分量如图示B3.2.3 B3.2.3 应力场应力场(4-
10、3)(4-3)2.2.静止流体中的应力状态静止流体中的应力状态静止流体的应力状态静止流体的应力状态结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p p表示表示. .只有法向应力只有法向应力无切应力无切应力pppppnnzzyyxxp000p000pPB3.2.3 B3.2.3 应力场应力场(4-4)(4-4)3.3.应力的常用表达式应力的常用表达式运动粘性流体中的运动粘性流体中的( (平均平均) )压强压强13ppppzzxxyy在法向应力中把压强分离出来在法向应力中把压强分离出来xpxxpypyypzpzzp为附加法向应力分量（与流体元线应变
11、率有关）为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关） , ,xyzxxyxzp000p0yxyyz00pzzxzyP 压强矩阵压强矩阵 偏应力矩阵偏应力矩阵 应力矩阵表示为应力矩阵表示为 例例B3.2.3B3.2.3 平面线性剪切流中的应力状态平面线性剪切流中的应力状态 已知：已知：平面线性剪切流平面线性剪切流求：求： 应力状态应力状态 解解: :附加法向应力附加法向应力20vyy切应力切应力220u(ky)xxxpxpxxppypyypk)xvyu( yxxy讨论：讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一点处在一点处在
12、x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也均为零，也均为零，x, y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在全流场保持常数。在全流场保持常数。 法向应力法向应力kyu （k为常数）为常数）0v 例例B3.2.3AB3.2.3A 刚体旋转流动刚体旋转流动: :纯旋转纯旋转(2-1)(2-1) 已知：已知：二维不可压缩平面流场为二维不可压缩平面流场为求：求： 试分析该流场中的试分析该流场中的应力状态应力状态 20uxxkyu（k为常数）为常数）kxv 解：解：附加法向应力附加法向应力20vyy流体中
13、任一点的法向流体中任一点的法向应力为应力为 切向应力为切向应力为()() 0uvkkxyyxyx pxpxxppypyyp讨论：讨论：（1 1）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流场）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流场 的法向应力均等于平衡压强。的法向应力均等于平衡压强。（2 2）角变形率也处处为零，全流场的粘性切应力为）角变形率也处处为零，全流场的粘性切应力为零，流体和刚体一样作定轴旋转运动。零，流体和刚体一样作定轴旋转运动。 例例B3.2.3AB3.2.3A 刚体旋转流动刚体旋转流动: :纯旋转纯旋转(2-2)(2-2) B3.3 B3.3 微分形式的动量方程微分形式的动量方程
14、按牛顿第二定律，长方体流体元的按牛顿第二定律，长方体流体元的运动方程运动方程为为 dddddmtbvFFs各面元上各面元上 x 方向表面应力的方向表面应力的分量如图示。分量如图示。d(d )d d(d )d d(d )d dpy xxxzxFxy zyx zzx ysxxyzB3.3 微分形式的动量方程微分形式的动量方程(2-1) 表面力合力表面力合力 dFsx 由应力梯度造成由应力梯度造成x方向的体积力分量为方向的体积力分量为 xbxmfFdd)(zuwyuvxuutuzxzyxyxxxpxf将将dFsx和和dFbx代入运动方程，并利用代入运动方程，并利用 和质点导数和质点导数概念，可化为概
15、念，可化为 zyxmdddd同理可得同理可得 )(zvwyvvxvutvzyzyyypxyxyf)(zwwywvxwutwzzzpyzyxzxzf上式称为上式称为粘性流体运动一般微分方程粘性流体运动一般微分方程，适用于任何流体。，适用于任何流体。 B3.3 微分形式的动量方程微分形式的动量方程(2-2)B3.4 B3.4 纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程 斯托克斯假设：斯托克斯假设：1.1.将牛顿粘性定律从一维推广到三维；将牛顿粘性定律从一维推广到三维； 2.2.流体各向同性；流体各向同性； 3.3.静止时法向应力等于静压强。静止时法向应力等于静压强。223xxuppx v223yyvppy
16、v223zzwppz vxyyxvuxyxzzxuwzxyzzywvyz 均代入粘性流体运动一般微分方程均代入粘性流体运动一般微分方程对牛顿流体（对牛顿流体（常数）常数）B3.4 纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程(4-1) 0uvwxyz v不可压缩条件（不可压缩条件（常数）常数）B3.4 B3.4 纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程(4-2)(4-2) 可得均质不可压缩牛顿流体的可得均质不可压缩牛顿流体的纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程(NS S方程方程)222222puuuuuuuuvwfxtxyzxxyz222222pvvvvvvvuvwfytxyzyxyz222222pwwwwwwwu
17、vwfztxyzzxyzNS S方程的适用条件是：方程的适用条件是：常数常数常数常数，B3.4 B3.4 纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程(4-3)(4-3) NS S方程的矢量式为方程的矢量式为DDt pvfv2N NS S方程方程的意义和求解：的意义和求解： 物理意义是：物理意义是：惯性力与体积力、压力、粘性力平衡惯性力与体积力、压力、粘性力平衡 u、v、w、p，方程组是封闭的；，方程组是封闭的； 加上连续性方程加上连续性方程 ，四个方程求解四个未知数，四个方程求解四个未知数0 v 在边界条件较简单时可求解析解在边界条件较简单时可求解析解; ;在边界条件较复杂时在边界条件较复杂时可求数值解
18、可求数值解; ; 对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）。对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）。 B3.4 B3.4 纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程(4-4)(4-4) N NS S方程方程fp p2 vp pap p平衡方程平衡方程相对平衡方程相对平衡方程欧拉方程欧拉方程p p惯性力惯性力体积力体积力粘性力粘性力fff() )tvvv 压力压力00() )tvvvB3.5 B3.5 边界条件与初始条件边界条件与初始条件 1.1.常见边界条件常见边界条件(1)(1)固体壁面固体壁面粘性流体：不滑移条件粘性流体：不滑移条件( (图图a) a) 无粘性流体：法向速度连续无粘性流
19、体：法向速度连续( (图图b) b) v = v固 vn = v n固 (2)(2)外流无穷远条件外流无穷远条件v = v， p = p B3.5 边界条件与初始条件边界条件与初始条件 (2-1)(3)(3)内流出入口条件内流出入口条件v = vin (out)， p = p in (out) (4)(4)自由面条件自由面条件,ppa0s2.2.初始条件初始条件定常流时无初始条件定常流时无初始条件不定常流时给出某时刻的参数值：不定常流时给出某时刻的参数值：v(t0), p (t0), (t0) 等等B3.5 边界条件与初始条件边界条件与初始条件(2-2) 例例B3.5.1AB3.5.1A 沿斜
20、坡的重力粘性层流沿斜坡的重力粘性层流(3-1)(3-1)已知：已知：不可压牛顿流体在重力作用下沿斜坡不可压牛顿流体在重力作用下沿斜坡( () )作定常层流流动，流层作定常层流流动，流层深深h，自由面上为大气压（，自由面上为大气压（p0 0）。）。0yvxu(a)(a)求：求： (1) 速度分布速度分布 (2) 压强分布压强分布 (3) 切应力分布切应力分布 (4) 流量流量 解解：在图示坐标系中连续性方程在图示坐标系中连续性方程和和NS S方程方程为为)()(2222yuxuxpxfyuvxuutu(b)(b)()(2222yvxvypyfyvvxvutv(c)(c) 例例B3.5.1AB3.
21、5.1A 沿斜坡的重力粘性层流沿斜坡的重力粘性层流(3-2)(3-2)因因v0，由（，由（a a）式）式( )u u y0uxcosypf = gy由（由（c c）式）式c o s( )pgC x 由边界条件由边界条件(1): y=h, p=0 , C(x)=ghcos, ,压强分布为压强分布为cos)(yhgp22d1sindugy 且且，由，由( (b) )式式0 xp212si n12guyC yC 积分两次积分两次22d0sindugy流量流量 速度分布为速度分布为1singhC1s i nd()0dy hguh Cy)22(2sinyhygu0sinsin1233d()2330hhg
22、gQu yhyyhsin)(ddyhgyu讨论：讨论：压强和切应力为线性分布，速度分布为压强和切应力为线性分布，速度分布为y的二次函数，流量为的二次函数，流量为h 的三次函数。的三次函数。 切应力分布切应力分布 例例B3.5.1AB3.5.1A 沿斜坡的重力粘性层流沿斜坡的重力粘性层流(3-3)(3-3)由边界条件由边界条件(2): y=0 , u=0 可得可得 C2 =0由边界条件由边界条件(3): y=b , 0hB3.6B3.6压强场压强场 由由N NS S方程方程粘性流动粘性流动p p2 vp pp pa绝对平衡绝对平衡相对平衡相对平衡无粘性流动无粘性流动p p() )tvvv() )
23、tvvvffB3.6 压强场压强场 ffB3.6.1 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布静止重力流体中的压强分布 均质静止流体均质静止流体 = = 常数，常数，uvw00 xp0ypgzp0yfxfgzf在重力场中在重力场中上式说明：上式说明：z方向压强梯度由单位体积流体的重力决定。方向压强梯度由单位体积流体的重力决定。积分可得积分可得pgz CB3.6.1 静止重力流体中的压强分布静止重力流体中的压强分布 (3-1)1.1.压强分布一般表达式压强分布一般表达式由由N-SN-S方程可得方程可得B3.6.1 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布静止重力流体中的压强分布(3-2)(3-2)2
24、.2.具有自由液面的重力液体具有自由液面的重力液体 压强公式压强公式0ppgh0p为自由面上的压强，为自由面上的压强，h为为淹深淹深(1)(1)在垂直方向压强与淹深成线性关系在垂直方向压强与淹深成线性关系 (2)(2)在水平方向压强保持常数在水平方向压强保持常数 B3.6.1 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布静止重力流体中的压强分布(3-3)(3-3)3.3.等压面等压面在连通的同种流体中的等压强面称为在连通的同种流体中的等压强面称为等压面等压面。在静止重力流体中的等压面为水平面在静止重力流体中的等压面为水平面h常数常数右图中右图中3 33 3 为等压面为等压面非等非等压面压面1 11
25、1 为不连通液体为不连通液体2 22 2 为不同液体为不同液体 例例B3.6.1B3.6.1 静压强分布图静压强分布图B3.6.2 压强计示方式与单位压强计示方式与单位1. 压强计示方式压强计示方式0ppgh习惯上取习惯上取gpp 压强基准压强基准真空度真空度 vp完全真空完全真空绝对压强绝对压强abp表压强表压强gp大气压强大气压强apB3.6.2 压强计算方法与单位压强计算方法与单位(2-1)由压强公式由压强公式p0提供压强基准提供压强基准B3.6.2 B3.6.2 压强计算方法与单位压强计算方法与单位(2-2)(2-2) 2.压强单位压强单位21Pa=1N m标准大气压标准大气压atm(
26、标准国际大气模型标准国际大气模型)液柱高：液柱高：21atm 101.3kPa 10.33mH O760mmHg国际单位制（国际单位制（SI）：帕斯卡）：帕斯卡Pa 毫米汞柱毫米汞柱mmHg（血压计）（血压计）米水柱米水柱mH2O （水头高）（水头高）测压管高度测压管高度 h = pA /g 例例B3.6.2B3.6.2 单管测压计（单管测压计（2 21 1）已知：已知：图示密封容器中液体图示密封容器中液体( (),),在在A点接上单管测压计点接上单管测压计求：求： 与测压管高度与测压管高度h 的关系的关系Ap解：解：Ap(表压强表压强)0ghh为被测点的淹深，称为测压管高度为被测点的淹深，称
27、为测压管高度.ghpA讨论：讨论：液面在压强液面在压强 推动下上升至推动下上升至 h 高度，压强势能转化为重力势能。高度，压强势能转化为重力势能。 Ap压强势能压强势能重力势能重力势能 例例B3.6.2B3.6.2 U形管测压计（形管测压计（2 22 2）10Ampgh g h 解解：沿沿U 形管右支液面取等压面，列平衡方程形管右支液面取等压面，列平衡方程已知已知：图示封闭容器中为水图示封闭容器中为水, , U形管水银测压计形管水银测压计中中120cm,h h =10cm求：求： ( ,( ,表压强表压强 真空压强真空压强 绝对压强）绝对压强）ApPa1mApgh g h515303.6 1.
28、013 1085996.4Pa(ab) 15303.6Pa(v)9810 0.2 13.6 9810 0.115303.6Pa 例例B3.6.2AB3.6.2A U形管差压计形管差压计AABBmpg(zh)pgz g h解：解：沿沿U 形管左支液面取等压面形管左支液面取等压面11已知已知：图示盛满水封闭容器高差图示盛满水封闭容器高差 , , U形管水银测压计中液面差形管水银测压计中液面差h =10cm20cmBAzz求：求： ( ,( ,表压强表压强 绝对压强）绝对压强）BApppPaABpp - p 513832.1 1.013 10115132.1Pa(ab)9810 0.2 (13.6-
29、1) 9810 0.1 13832.1PaBAmg(zz ) ( -)g hB3.6.3 B3.6.3 运动流场中的压强分布运动流场中的压强分布 压强系数压强系数1.1.惯性力对压强分布的影响惯性力对压强分布的影响 p 0，v 0为参考值，对外流场取为参考值，对外流场取p，v 02012pppCvB3.6.3 运动流场中的压强分布运动流场中的压强分布 (3-1)文丘里管流动文丘里管流动 B3.6.3 B3.6.3 运动流场中的压强分布运动流场中的压强分布 无粘流场无粘流场压强分布压强分布 静止流场压强分布静止流场压强分布2. 粘性力对压强分布粘性力对压强分布的影响的影响B3.6.3 运动流场中的压强分布运动流场中的压强分布(3-2) B3.6.3 B3.6.3 运动流场中的压强分布运动流场中的压强分布 汽车与飞机绕流汽车与飞机绕流B3.6.3 运动流场中的压强分布运动流场中的压强分布(3-3) 3. 复杂物面的压强分布复杂物面的压强分布
