1、1.1 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 菱形的性质 九年级数学上（北师版） 教学课件学习目标1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）导入新课导入新课情景引入欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？讲授新课讲授新课菱形的性质一思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 菱形邻边相等定义：有一组邻边相等的平行四边形.菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.
2、归纳总结 活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频： 活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题:问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两对角线有什么关系? 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)ACBD； D
3、AC=BAC，DCA=BCA， ADB=CDB，ABD=CBD. 证明：（1）四边形ABCD是平行四边形， AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又AB=AD, AB = BC = CD =AD.ABCOD证一证（2）AB = AD, ABD是等腰三角形. 又四边形ABCD是平行四边形, OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, OB = OD， AOBD，AO平分BAD， 即ACBD，DAC=BAC. 同理可证DCA=BCA， ADB=CDB，ABD=CBD.ABCOD 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形
4、所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质归纳总结例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD12cm，AC6cm，求菱形的周长解：四边形ABCD是菱形，ACBD，AO AC，BO BD.AC6cm，BD12cm，AO3cm，BO6cm.在RtABO中，由勾股定理得菱形的周长4AB43 12 (cm)12122222363 5 cm .ABAOBO55典例精析例2 如图，在菱形ABCD中，CEAB于点E，CFAD于点F，求证：AEAF
5、.证明：连接AC. 四边形ABCD是菱形， AC平分BAD， 即BACDAC. CEAB，CFAD， AECAFC90. 又ACAC， ACEACF. AEAF. 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角归纳例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE=2BAE，求证：OA=EB.ABCDOE证明：四边形ABCD为菱形，ADBC，AD=BA，ABCADC2ADB ，DAEAEB，AB=AE,ABCAEB， ABC=DAE， DAE2BAE，BAEADB. 又ADBA ，AODBEA ，AOBE .1.如图，在菱形ABC
6、D中，已知A60，AB 5，则ABD的周长是 () A.10 B.12 C.15 D.20C练一练2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_.第1题图第2题图6cm1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等C2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则ABD的周长等于 （） A.18 B.16 C.15 D.14 当堂练习当堂练习B3.根据下图填一填：（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长 是 _.（2）在菱形ABCD中，ABC120
7、，则BAC _.（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是_. 3cm30ABCOD5cm(4)菱形的一个内角为120,平分这个内角的对角 线长为11cm，菱形的周长为_.44cmABCOD课堂小结课堂小结菱形的性质菱形的性质有关计算边周长=边长的四倍角对角线1.两组对边平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角1.1 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 菱形的判定 九年级数学上（BS） 教学课件学习目标1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判
8、定定理（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点）一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形平行四边形菱形的性质菱形两组对边平行四条边相等两组对角分别相等 邻角互补两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角边角对角线复习引入导入新课导入新课问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：AB=AD，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形.数学语言有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.ABCD思考 还有其他的判定方法吗？讲授新课讲授新课对角线互相垂直的平行四边形是菱形一前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉
9、,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明这一猜想吗？ABCOD已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，ACBD.求证：ABCD是菱形.证明： 四边形ABCD是平行四边形. OA=OC. 又ACBD, BD是线段AC的垂直平分线. BA=BC. 四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.证一证对角线互相垂直的平行四边形是菱形ACBD几何语言描述：在ABCD中，ACBD, ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCDABCD菱形的判定定理
10、：归纳总结例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3. 求证：四边形ABCD是菱形.ABCDO又四边形ABCD是平行四边形， OA=4,OB=3,AB=5，证明：即ACBD， AB2=OA2+OB2，AOB是直角三角形，典例精析四边形ABCD是菱形.例2 如图,ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形 ABCDEFO12证明: 四边形ABCD是平行四边形, AEFC，1=2.EF垂直平分AC，AO = OC . 又AOE =COF，AOECOF，EO =FO.四边形AFCE是平行四边形.又EFAC 四边
11、形AFCE是菱形.练一练在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ） AABC=90 BACBD CAB=CD DABCD B四条边相等的四边形是菱形二小刚：分别以A、C为圆心,以大于 AC的长为半径作弧,两条 弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点. 已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？CABD想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 12猜想：四条边相等的四边形是菱形.证明：AB=BC=CD=AD; AB=CD , BC=AD. 四边形ABCD是
12、平行四边形.又AB=BC,四边形ABCD是菱形.ABCD已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证一证四条边都相等的四边形是菱形AB=BC=CD=AD几何语言描述：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，四边形 ABCD是菱形.ABCD菱形ABCD菱形的判定定理：归纳总结四边形ABCDABCD下列命题中正确的是 （ ）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形C练一练证明： 1= 2, 又AE=AC,AD=AD, ACD AED (SAS). 同理ACFAEF(SAS) . C
13、D=ED, CF=EF. 又EF=ED,CD=ED=CF=EF, 四边形ABCD是菱形.2例3 如图,在ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. ACBEDF1典例精析例4 如图，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm.将ABC沿射线BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形证明：由平移变换的性质得CFAD10cm，DFAC.B90，AB6cm，BC8cm，ACDFADCF10cm，四边形ACFD是菱形22226810 cm .ACABBC 四边形
14、的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便归纳当堂练习当堂练习1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形 2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为 24cm和26cm，那么平行四边形的面积是 . 312cm23.如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（） AAB=BC BAC=BC CB=60 DACB=60 B解析：将
15、ABC沿BC方向平移得到DCE，ACDE，AC=DE，四边形ABED为平行四边形.当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形故选B证明：MN是AC的垂直平分线，AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.CEAB，DAO=ECO，ADOCEO（ASA）AD=CE，OD=OE，OD=OE，OA=OC，四边形ADCE是平行四边形又AOD=90，四边形ADCE是菱形 4.如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.BCADOEM（1）证明：由尺规作BAF的平分线的过程可得AB=AF，BAE=FAE，四边
16、形ABCD是平行四边形，ADBC，FAE=AEB，BAE=AEB，AB=BE，BE=FA，四边形ABEF为平行四边形，AB=AF，四边形ABEF为菱形；5.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作BAD的 平分线交BC于点E，连接EF（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长解：四边形ABEF为菱形，AEBF，BO= FB=3，AE=2AO，在RtAOB中，由勾股定理得AO =4，AE=2AO=812课堂小结课堂小结有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱
17、形.四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明菱形的判定定义法判定定理1.1 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合 九年级数学上（BS） 教学课件1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题,并掌握菱形面积的求法.(重点、难点)2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会 数形结合、转化等思想方法.学习目标1平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 2菱形具有 的一切性质3菱形是 图形也是 图形4菱形的四条边都 5菱形的两条对角线互相 平行且相等平行且相等相等相等互相平分互相平分平行四边形平行四边形 轴对称
18、轴对称 中心对称中心对称 相等相等 垂直且平分垂直且平分复习引入导入新课导入新课6.平行四边形的面积=_.ABCDF底高7.菱形是特殊的平行四边形，如图菱形ABCD的面积 =_.BCDF思考：思考：你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？ABCOD菱形的面积一问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?ABCD思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AEBC于点E,则S菱形ABCD=底高 =BCAE.E讲授新课讲授新课问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表
19、示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：四边形ABCD是菱形，ACBD,S菱形ABCD=SABC +SADC= ACBO+ ACDO= AC(BO+DO)= ACBD.12121212你有什么发现？菱形的面积 = 底高 = 对角线乘积的一半例1：如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对 角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积.解:(1)四边形ABCD是菱形,AED=90,(2)菱形ABCD的面积AC=2AE=212=24(cm).DBCAE 菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一
20、个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半归纳例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，ABC60，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.ABCDO解：花坛ABCD是菱形，130 .2ACBDABOABC，1Rt10m2OABAOAB在中，2222201010 3 mBOABAO，220m220334.64 m .ACAOBDBO，214200 3346.4 m.2OABABCDSSAC BD菱形【变式题】 如图，在菱形ABCD中，ABC与BAD的度数比为1：2，周长是8cm求：（1）两条对角线的长度；
21、（2）菱形的面积解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=BC，ACBD，ADBC，ABC+BAD=180.ABC与BAD的度数比为1：2，ABC= 180=60，ABO= ABC=30，ABC是等边三角形.菱形ABCD的周长是8cmAB=2cm，1213OA= AB=1cm，AC=AB=2cm， BD=2OB= cm；（2）S菱形ABCD= ACBD = 2 = （cm2）1222cm3,OBABOA2 312122 32 3 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60时，菱形被分为以60为顶角的两个等边三角形.归纳练一练如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8c
22、m，则这个菱形的高DE为（）A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm B菱形的判定与性质的综合问题二如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？做一做平行四边形如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？菱形ACDB分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，然后通过证ABEADF，即得AB=AD.EF例3 如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(1)证明：D、E分
23、别是AB、AC的中点，DEBC且2DEBC.又BE2DE，EFBE，EFBC，EFBC，四边形BCFE是平行四边形又EFBE，四边形BCFE是菱形；(2)解：BCF120，EBC60，EBC是等边三角形，菱形的边长为4，高为 ，菱形的面积为 .2 342 38 3(2)若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面积 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形归纳练一练如图，在平行四边形ABCD中，AC平分DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.解：四边形ABCD为平行四
24、边形，ADBC，ABCD，DAC=ACB，BAC=ACD，AC平分DAB，DAC=BAC，DAC=ACD，AD=DC，四边形ABCD为菱形，四边形ABCD的周长=42=81.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是_.2.如图，菱形ABCD中BAC120，则BAC_.ODCBA6cm603.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则菱形的边长是（ ）CA.10cm B.24cm C. 13cm D.17cmABCDO当堂练习当堂练习4. 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在AOB中，OA5，OB12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在RtAOB中，OA5，OB
25、12，SAOB OAOB 51230，S菱形ABCD4SAOB430120.又菱形两组对边的距离相等，S菱形ABCDABh13h，13h120，得h .222251213,ABAOBO1212120135.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：四边形ABCD是菱形， ACBD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD = 6=3 (菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB = BD = 6. ABCOD1212在RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA =
26、= =AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.ABCOD22ABOB22633 3.6 3课堂小结课堂小结菱形的性质与判定的综合性问题菱形的面积综合运用面积=底高=两条对角线乘积的一半1.2 矩形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 矩形的性质 九年级数学上（BS） 教学课件学习目标1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与 联系.（重点）2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题.（重点、难点）3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用. （重点）观察下面图形,长方形在生活中无处不在.导入新课导入新课情景引入思考 长方形跟我们前面
27、学习的平行四边形有什么关系？你还能举出其他的例子吗？讲授新课讲授新课矩形的性质一活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.矩形平行四边形矩形有一个角 是直角矩形是特殊的平行四边形.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也叫做长方形.归纳总结平行四边形不一定是矩形.思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？可以从边，角，对角线等方面来考虑.活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒
28、等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.ABCDOAB AD AC BD BAD ADC AOD AOB橡皮擦课本桌子物体测量（实物）（形象图）（2）根据测量的结果,你有什么猜想？猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？证明：四边形ABCD是矩形, B=D,C=A, ABDC. B+C=180. 又B = 90, C = 90. B=C=D=A =90.如图,四边形ABCD是矩形,B=90.求证： B=C=D=A=90.ABCD证一证证明：四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABC=DCB=90,在ABC和DCB中,AB=DC,ABC
29、=DCB,BC= CB,ABCDCB.AC=DB.ABCDO如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相较于点O.求证：AC=DB.矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.归纳总结几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.ABC=BCD=CDA=DAB =90，AC=DB.ABCDO例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AB=4 ,求矩形对角线的长.解：四边形ABCD是矩形. AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD ,OA = OB. 又AOB=60
30、, OAB是等边三角形， OA=AB=4， AC=BD=2OA=8.ABCDO典例精析矩形的对角线相等且互相平分例2 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFAE ,垂足为F.求证：DF=DC.ABCDEF证明：连接DE.AD =AE,AED =ADE.四边形ABCD是矩形,ADBC,C=90.ADE=DEC, DEC=AED.又DFAE, DFE=C=90.又DE=DE,DFEDCE,DF=DC.例3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，AD8，AB4，求BED的面积解：四边形ABCD是矩形，ADBC，A90，23.又由折叠知12，13，B
31、EDE.设BEDEx，则AE8x.在RtABE中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2，解得x5，即DE5.SBED DEAB 5410.矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?矩形的性质：对称性： .对称轴：.轴对称图形2条练一练1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 下列说法错误的是 （）AABDC BAC=BD CACBD DOA=OB ABCDOC2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_. 143.
32、如图，在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE：BAE3：1，求BAE和EAO的度数解：四边形ABCD是矩形，DAB90，AO AC，BO BD，ACBD，BAEDAE90，AOBO.又DAE：BAE3：1，BAE22.5，DAE67.5.AEBD，ABE90BAE9022.567.5，OABABE67.5EAO67.522.545.直角三角形斜边上的中线的性质二A B C D O 活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.B C O A 问题 RtABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.试给出数学证明.O
33、CBAD证明: 延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD、DC.AO=OC, BO=OD，四边形ABCD是平行四边形. ABC=90, 平行四边形ABCD是矩形，AC=BD，如图，在RtABC中，ABC=90，BO是AC上的中线.求证: BO = AC ?12BO= BD= AC.1212 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质性质证一证例4 如图，在ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点(1)若AB10，AC8，求四边形AEDF的周长；解：AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，DEAE AB 105， DFAF AC 84，四边形AEDF的周长AEDEDFAF5
34、54418；12121212(2)求证：EF垂直平分AD.证明：DEAE，DFAF，E、F在线段AD的垂直平分线上， EF垂直平分AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解归纳例5 如图，已知BD，CE是ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GFDE.解：连接EG，DG. BD，CE是ABC的高， BDCBEC90. 点G是BC的中点，EG BC，DG BC. EGDG. 又点F是DE的中点， GFDE.1212 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”
35、的性质解题归纳归纳总结直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型如图，在ABC中,ABC = 90,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC =_cm;(2)若C = 30 ,AB = 5cm,则AC =_cm, BD = _cm.ABCD6105练一练当堂练习当堂练习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40,则两条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 B.4
36、0 C.80 D.10ACC4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=_cm2.55.如图，ABC中，E在AC上，且BEACD为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为_6第4题图第5题图6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,（2）若DBC=30 , BO=4 ,求四边形ABED的面积.ABCDOE(1)证明：四边形ABCD是矩形,AC= BD,ABCD.又BEAC,四边形ABEC是平行四边形,AC=BE,BD=BE.(2)解：在矩
37、形ABCD中,BO=4,BD = 2BO =24=8.DBC=30,CD= BD= 8=4,AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在RtBCD中,BC=四边形ABED的面积= (4+8) = .ABCDOE7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PEAC，PFBD于F，求PE+PF的值.解：连接OP.四边形ABCD是矩形，DAB=90，OA=OD=OC=OB，SAOD=SDOC=SAOB=SBOC = S矩形ABCD= 68=12.在RtBAD中，由勾股定理得BD=10，AO=OD=5，SAPO+SDPO=SAOD， AOPE+ DOPF=12，即5PE+
38、5PF=24，PE+PF= .24512121414能力提升：课堂小结课堂小结矩形的相关概念及性质具有平行四边行的一切性质四个内角都是直角，两条对角线互相平分且相等轴对称图形有两条对称轴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有一个角是直角的平行四边形叫做矩形1.2 矩形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 矩形的判定 九年级数学上（BS） 教学课件学习目标1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理（重点）2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)复习引入导入新课导入新课问题1 矩形的定义是什么？有一个角是直角的平行四边形叫做
39、矩形.问题2 矩形有哪些性质？矩形边：角：对角线：对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？这节课我们一起探讨矩形的判定吧.讲授新课讲授新课对角线相等的平行四边形是矩形一类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？矩形是特殊的平行四边形.类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.问题2 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对
40、角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.不对，等腰梯形的对角线也相等.不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.思考 你能证明这一猜想吗？已知：如图,在ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：ABCD是矩形.证明：AB = DC,BC = CB,AC = DB, ABCDCB , ABC = DCB. ABCD, ABC + DCB = 180, ABC = 90, ABCD是矩形（矩形的定义）.ABCD证一证矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.归纳总结几何语言描述：在平行四边形ABCD中，AC=BD，平行四
41、边形ABCD是矩形.ABCD思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？对角线相等的平行四边形是矩形. 例1 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，OAD=50求OAB的度数 ABCDO 解：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC= AC，12OB=OD= BD.12又OA=OD，AC=BD，四边形ABCD是矩形，BAD=90.又OAD=50，OAB=40.典例精析例2 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H
42、分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.BCDEFGHOA证明： 四边形ABCD是矩形，AC=BD（矩形的对角线相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）， AE=BF=CG=DH，OE=OF=OG=OH，四边形EFGH是平行四边形，EO+OG=FO+OH， 即EG=FH，四边形EFGH是矩形.练一练1.如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定 ABCD是矩形的是 （）AAC=BD BAC=BCCAD=BC DAB=AD A2.如图 ABCD中, 1= 2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？ABCDO12解
43、：四边形ABCD是矩形.理由如下：四边形ABCD是平行四边形 AO=CO,DO=BO.又 1= 2，AO=BO，AC=BD，四边形ABCD是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形二问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.成立问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.已知：如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.求证：四边形ABCD是矩形.证明: A=B=C=90,A+B=180,B+C=180，ADBC,
44、ABCD.四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形.ABCD证一证矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.归纳总结几何语言描述：在四边形ABCD中， A=B=C=90,四边形ABCD是矩形.ABCD思考 一个木匠要制作矩形的踏板他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板为什么？有三个角是直角的四边形是矩形.例3 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形证明：在 ABCD中，ADBC,DAB+ABC=180.AE与BG分别为DAB、ABC的平分线,ABDCHEFG四边形EFGH是矩形同理可证AED=EH
45、G=90,AFB=90，GFE=90. BAE+ ABF= DAB+ ABC=90.1212例4 如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形证明：在ABC中，ABAC，ADBC， BADDAC，即DAC BAC.又AN是ABC外角CAM的平分线，MAECAE CAM,DAEDACCAE (BACCAM)90.又ADBC，CEAN，ADCCEA90,四边形ADCE为矩形121212练一练在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （）A测量对角线
46、是否相等 B测量两组对边是否分别相等 C测量一组对角是否都为直角 D测量其中三个角是否都为直角 D当堂练习当堂练习1.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；2.如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是EAC、 MCA、 ACN、CAF的平分线,则四边形ABCD是
47、（ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定DEFMNQPABCC3.如图，在四边形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=5，BC=12，AC=13求证：四边形ABCD是矩形证明：四边形ABCD中，ABCD，BAD=90，ADC=90.又ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，即ABC是直角三角形，且B=90，四边形ABCD是矩形ABCD222.ABBCAC4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ONOB，再延长OC至M，使CMAN.求证：四边形NDMB为矩形证明：四边形ABCD为平行四边形， AOOC，ODOB
48、.ANCM，ONOB，ONOMODOB，四边形NDMB为平行四边形，MNBD， 平行四边形NDMB为矩形5.如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，AE是BAC的外角平分线，DEAB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形证明：ABAC，ADBC，BACB，BDDC.AE是BAC的外角平分线，FAEEAC.BACBFAEEAC，BACBFAEEAC， AECD.又DEAB，四边形AEDB是平行四边形，AE平行且相等BD.又BDDC，AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形.又ADC90，平行四边形ADCE是矩形6.如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90，AD24cm，BC26c
49、m，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形， 即PDCQ， 所以24x3x， 解得x6. 即经过6s，四边形PQCD 是平行四边形；能力提升：(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？解：设经过ys，四边形PQBA为矩形，即APBQ，y263y，解得y6.5，即经过6.5s，四边形PQBA是矩形课堂小结课堂小结有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行
50、四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.运用定理进行计算和证明矩形的判定定义判定定理1.2 矩形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合 九年级数学上（BS） 教学课件1回顾矩形的性质及判定方法2矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用. .(难点)学习目标问题1: 矩形有哪些性质？ABCDO是轴对称图形; 四个角都是直角;对角线相等且平分.导入新课导入新课定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形问题2: 矩形有判定方法有哪些？ABCDOE例1：如图，矩形ABCD的对角线
