1、二次函数应用二次函数应用 常温常新 、如图所示、如图所示,阳光中学教学楼前喷水池阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为喷出的抛物线形水柱，其解析式为 ，则水柱的最大高度是，则水柱的最大高度是( )( ) 、 、+、已知二次函数、已知二次函数 的图象如图所示，有下列个结论：的图象如图所示，有下列个结论：abc0; abc0; ba+c;b0;4a+2b+c0;2c3b; 2cm(am+b),(m 1 a+bm(am+b),(m 1的实数的实数) ) 其中正确的其中正确的结论有（结论有（ ）. . A A、2 2个个 B B、3 3个个 C C、4 4个个 D D、5 5个个当当x=
2、1时，时，y=a-b+c0，即，即ba+c，故此选项，故此选项错误；错误；由图象可知：由图象可知：a0，b0，c0，abc0，故此选项错，故此选项错误；误；由对称知，当由对称知，当x=2时，函数值大于时，函数值大于0，即，即y=4a+2b+c0，故此选项，故此选项正确；正确；当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c0，且 即 ，代入得 0，得2c3b，故此选项正确； 当x=1时，y的值最大此时， ，而当x=m时， ， ，故 ，即 ，故此选项正确。综上所述，正确。B3、求下列二次函数的最大值或最小值：、求下列二次函数的最大值或最小值： y=-x22x3; y=x24x解：（解：（1）y= -
3、-（x-1）2-2 当当x=1时，时，y有最大值为有最大值为 -2。 （2）y=（x+2）2-4 当当x= -2时，时，y有最小值为有最小值为- 4。归纳：一般地，因为抛物线归纳：一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是的顶点是 最低（高）点，所以当最低（高）点，所以当x= 时，二次函时，二次函 数数y=ax2+bx+c有最小（大）值有最小（大）值 。-202462-4xy（2）若）若3x3， 当当x= 时，函数最小值是时，函数最小值是 。当当x= 时，函数最大值是时，函数最大值是 。 1、图中所示的二次函数图像的解析式为： （1）当）当x= 时，函数最时，函数最小值是小值是 。 （3）
4、若）若0 x3， 当当x= 时，函数最小值是时，函数最小值是 。当当x= 时，函数最大值是时，函数最大值是 。 -2-255535130553自变量自变量x范围决范围决定最值的大小定最值的大小2. 2. 已知矩形的周长等于已知矩形的周长等于12cm,12cm,一条边长为一条边长为x(cm),(cm),面积面积为为y(cm(cm2 2), ),(1)(1)求求y与与x的函数关系式（写出的函数关系式（写出x取值范围）取值范围）. .(2)(2)矩形的长为多少时矩形的长为多少时, ,其面积最大？最大面积是多少？其面积最大？最大面积是多少？解解(1)(1)根据题意根据题意, ,得得 y=x(6-x)
5、当当x为为3cm3cm时时, ,最大面积是最大面积是9cm9cm2 2(0 x6)xx(2)y=x(6-x)y=-(x-3)2+9例题分析：例题分析：例例1：某水产养殖户用长：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗。要使围成的水面面积最大，则矩形的水面，投放鱼苗。要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它的边长应是多少米？ 解：设边长为解：设边长为x m，则，则S=x (20 x) （课本第（课本第2页问题页问题1） 变式：有一条长为有一条长为7.2米的木料，做成如图米的木料，做成如图2141所示的窗框，所示的窗框，问窗框的高和宽各取多少米
6、时这个窗户的面积最大问窗框的高和宽各取多少米时这个窗户的面积最大(不考虑木料不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积加工时的损耗和中间木框所占的面积)解：解：设销售单价定为设销售单价定为x元，每天所获利润为元，每天所获利润为y元，元，则则y(20010 x)(x8) 10 x2280 x160010(x14)2360.所以将销售单价定为所以将销售单价定为14元时元时，每天所获销售利润每天所获销售利润最大最大，且最大利润是且最大利润是360元元例3、如图在ABC中,AB=8,BC=6, B=90点P从点A开始沿AB边向点B以2秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1 秒的速度移动，如果P
7、、Q分别从A、B同时出发，（1）t秒后，BQ= ,AP= ,PB= . (2) 当t为多少， PBQ面积S最大？最大面积是多少？ABCPQ2t8-2tt解(1)设P点运动的时间为t秒，则BQ=t , AP=2t，PB=8-2t，86当当t=2秒时秒时， PBQ面积S最大是4。 1、周长为、周长为16 cm的矩形的最大面积为的矩形的最大面积为 _ 2.2.如图如图, ,有长为有长为24m24m的篱笆的篱笆, ,一面利用墙一面利用墙( (墙的最大可用墙的最大可用长度长度a a为为15m),15m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. .设设花圃的宽花圃的宽ABAB为
8、为x m,x m,面积为面积为S mS m2 2(1)(1)求求S S与与x x的函数关系式；的函数关系式；(2)(2)如果要围成面积如果要围成面积S为为45 m45 m2 2的花圃的花圃,AB,AB的长是多少米？的长是多少米？(3)(3)能围成面积比能围成面积比45 m45 m2 2更大的花圃吗更大的花圃吗? ?如果能如果能, ,请求出最请求出最大面积大面积, ,并说明围法；如果不能并说明围法；如果不能, ,请说明理由请说明理由xxx24-3xS=x(24-3x)=-3x2+24x （3 x8）3m或或5mS=-3(x-4)2+48对称轴对称轴为为x=4，当，当3 x45，当，当x=4时，时
9、，S取最取最大值大值48。拓展问题：拓展问题：如图所示如图所示, ,桃河公园要建造圆形喷水池桃河公园要建造圆形喷水池. .在水池在水池中央垂直于水面处安装一个柱子中央垂直于水面处安装一个柱子OA,OOA,O恰在水面中恰在水面中心心,OA=,OA=1.25m. .由柱子顶端由柱子顶端A A处的喷头向外喷水处的喷头向外喷水, ,水流在各水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下个方向沿形状相同的抛物线落下, ,为使水流形状较为漂亮为使水流形状较为漂亮, ,要求设计成水流在离要求设计成水流在离OAOA距离为距离为1m m处达到距水面最大高度处达到距水面最大高度2.25m.m.w(1)(1)如果不计其它因素
10、如果不计其它因素, ,那么水池的那么水池的半径至少要多少半径至少要多少m,m,才能使喷出的水流才能使喷出的水流不致落到池外？不致落到池外？w(2)(2)若水流喷出的抛物线形状与若水流喷出的抛物线形状与(1)(1)相同相同, ,水池的半径为水池的半径为3.5m,3.5m,要使水流不要使水流不落到池外落到池外, ,此时水流的最大高度应达此时水流的最大高度应达到多少到多少m(m(精确到精确到0.1m)0.1m)？w根据对称性根据对称性, ,如果不计其它因素如果不计其它因素, ,那么水池的半径至少要那么水池的半径至少要2.5m,2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外才能使喷出的水流不致落到池外. .w
11、解解: :(1)(1)如图如图, ,建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系, ,根据题意得根据题意得,A,A点坐标为点坐标为(0,1.25),(0,1.25),顶点顶点B B坐标为坐标为(1,2.25).(1,2.25).w当当y=0y=0时时, ,可求得点可求得点C C的坐标为的坐标为(2.5,0);(2.5,0);同理同理, ,点点D D的坐标为的坐标为(-2.5,0).(-2.5,0).w设抛物线为设抛物线为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k,+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1):y=-(x-1)2 2+2.25.+2.25.
12、数学化xyOAB(1,2.25)(0,1.25) C(2.5,0)D(-2.5,0)w由此可知由此可知, ,如果不计其它因素如果不计其它因素, ,那么水流的最大高度应达到约那么水流的最大高度应达到约3.72m.3.72m.w解解: :(2)(2)如图如图, ,根据题意得根据题意得,A,A点坐标为点坐标为(0,1.25),(0,1.25),点点C C坐标为坐标为(3.5,0).(3.5,0).w或设抛物线为或设抛物线为y=-xy=-x2 2+bx+c,+bx+c,由待定系数法可求得抛物线表达式由待定系数法可求得抛物线表达式为为:y=-x:y=-x2 2+22/7X+5/4.+22/7X+5/4.w设抛物线为设抛物线为y=-(x-h)y=-(x-h)2 2+k,+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-11/7):y=-(x-11/7)2 2+729/196.+729/196.数学化xyOAB(0,1.25) C(3.5,0)D(-3.5,0)B(1.57,3.72)
